Основные допущения при расчете рам

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

При расчете плоских рам на устойчивость метод перемещений получил широкое распространение. Это объясняется тем, что получить кинематически определимую основную систему значительно проще, чем статически определимую. Для определения критической нагрузки плоской рамы методом перемещений используются следующие допущения:

1. Нагрузка рамы прикладывается только в узлы (узловая нагрузка) и является однопараметрической, то есть все силы изменяются одновременно по одному параметру. Таким образом, для определения критической нагрузки достаточно найти критическое значение параметра нагрузки.

2. Предположение об узловой нагрузке позволяет считать, что напряженное состояние рамы перед потерей устойчивости является безизгибным, то есть стержни рамы сжаты либо растянуты.

3. Критическое состояние достигается в упругой области работы материала.

4. Рассматривается плоская рама, нагруженная системой сил, лежащей в ее плоскости. Принято, что при потере устойчивости деформации рамы происходят в ее плоскости, то есть предполагается, что изгибная жесткость элементов рамы из ее плоскости достаточно велика. Тогда при потере устойчивости перемещения всех элементов рамы будут определяться углами поворота жестких узлов рамы и линейными смещениями узлов.

Выбор основной системы

Выбор основной системы при расчете рамы на устойчивость ничем не отличается от выбора основной системы при статическом расчете рам методом перемещений.

Составим канонические уравнения метода перемещений. Их особенностью при узловой нагрузке будет отсутствие всех свободных членов

((1)

Канонические уравнения метода перемещений являются системой однородных алгебраических уравнений статического равновесия системы с числом степеней свободы, равным числу неизвестных перемещений.

Система этих уравнений удовлетворится в двух случаях:

1. Все неизвестные метода перемещений равны нулю . Это соответствует отсутствию изгиба стержней рамы, то есть рама находится в устойчивом положении.

2. Неизвестные перемещения отличны нуля ( ).

Условия ненулевого решения, то есть отклоненного смежного состояния рамы при потере устойчивости, согласно статическому методу определения критической силы заключается в равенстве нулю определителя системы канонических уравнений метода перемещений:

((2)

Коэффициенты системы (1) зависят от продольных усилий в стержнях рамы. Поэтому условие (2) является уравнением устойчивости: из него можно найти значение критической нагрузки рамы.

Коэффициенты определителя (2) определяются из основной системы метода перемещений, как реакции по -му направлению от с учетом продольно- поперечного изгиба сжатых стержней по формулам табл.1. Применяя в качестве основного параметра для одного из стержней . Поскольку все силы пропорциональны , то каждый стержень можно характеризовать параметром , линейно выражающимся через - числовой коэффициент, не зависящий от .

Таким образом, элемент определителя (2) являются функциями одного параметра и в дальнейшем это позволяет исследовать, как зависят решения системы однородных уравнений (1) от этого параметра .

Кроме того, необходимо обратить особое внимание на то, что поправочные функции и вводятся только для сжатых стержней.

Для стержней, в которых в основной системе отсутствуют сжимающие силы, поправочных множителей вводить не следует. В отличие от расчета на прочность в табл.1 приводится случай шарнирного описания стержня, в котором при наличии сжимающей силы при относительном смещении концов возникает поперечная сила. Отметим, что поперечные силы во всех случаях отнесены к первоначальным состояниям стержней, то есть к недеформированному состоянию.

Подстановка в уравнение (2) выражений коэффициентов, от параметра , и раскрытие определителя позволяют получить уравнение устойчивости:

((3)

Это уравнение трансцендентное, сложное для решения. Поэтому желательно получить какое-то либо приближенное значение корня или диапазон его существования.

Варианты оценки параметра .

Вариант №1.

Для оценки критического значения параметра нагрузки необходимо предварительно рассчитать на устойчивость две рамы. Одна рама получается из заданной схемы при помощи введения дополнительной связи. Дополнительную связь необходимо вводить таким образом, чтобы число неизвестных метода перемещений уменьшилась, а полученная новая расчетная схема была более жесткой, а устойчивость ее выше. Решая эту задачу, можно оценить значение критического параметра продольной силы сверху - . Вторая расчетная схема получается при помощи понижения степени статической неопределимости. Полученная вторая схема должна быть менее жесткой, менее устойчивой, значение критического параметра продольной силы также будет меньше. Таким образом, решая дополнительно две задачи, возможно провести оценку параметра на устойчивость сверху ( ) и снизу ( ), а искомый параметр для заданной схемы будет находиться в интервале .

Вариант № 2.

Заданную схему можно разбить на две схемы при помощи введения шарнира таким образом, чтобы одна рама была более, а вторая менее жесткой. Решая по отдельности каждую раму, получим два значения критического параметра и , а искомый параметр для заданной схемы будет находиться в интервале . Этот прием особенно удобен в том случае, когда заданная рама дважды кинематически неопределима.

Форму потери устойчивости можно установить следующим образом. В систему (1) подставить найденное значение корня тогда очевидно, определитель, составленный из коэффициентов этой системы, равен нулю, а система (1) имеет бесконечное число решений и не является линейно независимой, то есть одно из решений уравнений может быть получено как линейная комбинация других уравнений. Если же одному из неизвестных, например , придать какое-либо значение (наиболее удобно принять ) то используя уравнений системы (1), можно получить остальные неизвестные . Это аналогично определению отношений , которые и характеризуют форму потери устойчивости.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется потерей устойчивости?

2. Что называется критической силой?

3. Сформулируйте статический критерий устойчивости.

4. Какое дифференциальное уравнение из теории изгиба лежит в основе вывода формулы Эйлера?

5. Запишите каноническое уравнение метода перемещений.

6. Какие формы потери устойчивости возможны в симметричных рамах?

7. Поясните смысл расчета по деформированной схеме.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒