ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

ВВЕДЕНИЕ

Учебная дисциплина «Математика» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям 35.02.08 Электрификация сельского хозяйства.

В результате изучения дисциплины обучающийся должен:

уметь: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать: значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППССЗ; основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности; основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики; основы интегрального и дифференциального исчисления.

Техник-электрик должен обладать общими компетенциями, включающими в себя способность:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Техник-электрик должен обладать профессиональными компетенциями, соответствующими видам деятельности:

Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования (в т.ч. электроосвещения), автоматизация сельскохозяйственных предприятий.

ПК 1.1. Выполнять монтаж электрооборудования и автоматических систем управления.

ПК 1.2. Выполнять монтаж и эксплуатацию осветительных и электронагревательных установок.

ПК 1.3. Поддерживать режимы работы и заданные параметры электрифицированных и автоматических систем управления технологическими процессами.

Обеспечение электроснабжения сельскохозяйственных предприятий.

ПК 2.1. Выполнять мероприятия по бесперебойному электроснабжению сельскохозяйственных предприятий.

ПК 2.2. Выполнять монтаж воздушных линий электропередач и трансформаторных подстанций.

ПК 2.3. Обеспечивать электробезопасность.

Техническое обслуживание, диагностирование неисправностей и ремонт электрооборудования и автоматизированных систем сельскохозяйственной техники.

ПК 3.1. Осуществлять техническое обслуживание электрооборудования и автоматизированных систем сельскохозяйственной техники.

ПК 3.2. Диагностировать неисправности и осуществлять текущий и капитальный ремонт электрооборудования и автоматизированных систем сельскохозяйственной техники.

ПК 3.3. Осуществлять надзор и контроль за состоянием и эксплуатацией электрооборудования и автоматизированных систем сельскохозяйственной техники.

ПК 3.4. Участвовать в проведении испытаний электрооборудования сельхозпроизводства.

Управление работами по обеспечению работоспособности электрического хозяйства сельскохозяйственных потребителей и автоматизированных систем сельскохозяйственной техники.

ПК 4.1. Участвовать в планировании основных показателей в области обеспечения работоспособности электрического хозяйства сельскохозяйственных потребителей и автоматизированных систем сельскохозяйственной техники.

ПК 4.2. Планировать выполнение работ исполнителями.

ПК 4.3. Организовывать работу трудового коллектива.

ПК 4.4. Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ исполнителями.

ПК 4.5. Вести утвержденную учетно-отчетную документацию.

Выполнение работ по одной или нескольким профессиям рабочих, должностям служащих.

Данное методическое пособие содержит общие рекомендации по выполнению контрольной работы, краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольной работы, образцы решения задач, приведены примеры использования математических методов при решении экономических задач, контрольные задания.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Контрольная работа имеет 10 вариантов. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре шифра.

Контрольная работа включает решение шести задач, которые направлены на проверку знаний, что одновременно предполагает проверку умений их логично излагать, перестраивать, аргументировать и иных умений, предусмотренных требованиями к уровню подготовки выпускников, умения применять полученные знания для решения познавательных и практических задач.

К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения соответствующего материала по учебнику.

При выполнении контрольной работы следует строго придерживаться указанных ниже правил.

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради. На титульном листе работы должно быть указано: название учебного задания и учебной дисциплины, номера контрольной работы и варианта, фамилия, инициалы, шифр и учебная группа студента (приложение 1). В конце работы следует указать использованную литературу, поставить дату окончания работы и расписаться.

2. В работу должны быть включены все задания, указанные в варианте. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задания не своего варианта, не засчитываются.

3. Задания контрольной работы следует располагать в порядке возрастания их номеров. Перед выполнением каждого задания надо записать полностью его условие.

4. Задание следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при выполнении данного задания. Не допускаются сокращения слов, кроме общепринятых. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью.

5. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно, в противном случае студент лишается возможности проверить степень своей подготовленности по дисциплине. Если будет установлено, что контрольная работа выполнена не самостоятельно, то она не будет зачтена, даже если в ней все задания выполнены верно.

6. Получив прорецензированную контрольную работу, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в выполнение задания те или иные исправления или дополнения и представить их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных заданий, вся работа должна быть выполнена заново. При представленных исправлениях должны обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

7. Во время сессии студент должен пройти собеседование по зачтенной контрольной работе.

8. Каждый студент выполняет контрольную работу своего варианта.

9. Задания, выполненные не полностью или не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются студенту.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Матрицы.

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

Действия с матрицами:

Умножение матрицы на число.

Пример:

Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:
Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:
Найти разность матриц ,

Умножение матриц.

Как умножить матрицы?

Начнем с самого простого:

Пример:
Умножить матрицу на матрицу
Сразу привожу формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что! Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Пример 1

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти AUB и A∩ B

Решение

AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19}, A∩ B = {1, 3, 5, 7, 9}. Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Пример 2 Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A. Решение А\В = {2, 4, 6, 8}. В\А = {11, 13, 17, 19}.

Симметрической разностью множеств A и В называется множество

А Δ В, которое состоит из тех элементов, которые не являются общими для двух заданных множеств.

Пример 3.

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {3, 4, 5, 6, 7}

Найти АΔ В.

Решение

Декартовым произведением А× В множеств А, В называется множество всех упорядоченных пар (а, b), где а А, b В. Кратко это записывают так А× В ={(а, b), а А, b В}.

Декартовым квадратом множества А называют декартово произведение множества А на множество А (т.е. само на себя).

Если перемножаются одинаковые множества, используется обозначение степени:

Aⁿ = A × A × A ×...× A

Пример 4.

Пусть А = {1, 2}, В = {1, 5, 7}.

Найти А× В; А× А; В².

Решение

А× В ={(1, 1), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 5), (2, 7)}.

А× А = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1)}

В²= {(1, 1), (1, 5), (1, 7), (5, 1), (5, 5), (5, 7), (7, 1), (7, 5), (7, 7)}.

Интегральное исчисление.

1.Основные правила интегрирования

1. Если

то

где

– произвольная постоянная. 2.

где

– постоянная. 3.

2.Таблица основных неопределенных интегралов

1.. 2. 3.. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

3.Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. Пример:

)dx = 2

dx -

dx + 3

= 2

+3 arcsin x + C При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2, 4, 6, 11.

4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а)

где

– монотонная, дифференцируемая функция; б)

– новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид:

. (1) Во втором случае:

. (2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. Пример 1. Вычислить интеграл:

Решение. Сделаем замену переменных t=x+1 и найдем дифференциал от обеих частей, тогда dt = (x+1)'dx ⇒ dt= dx Подставляя все в исходный интеграл, получим:

+C =

+C, где C - const. Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных. В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Пример 2:

(положим t = 2x+3, тогда x= t- , dx = dt)

= =- +C= =- +C

Пример 3:

dx= (положим t= x²+25, тогда dt = 2x dx, x dx= dt) = * dt= dt= +C = +C = +C = +C

Определенный интеграл.

Если существует определенный интеграл от функции f(x), то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .

Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл

и имеет место формула

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1:

Необходимо найти определенный интеграл

Имеем:

Таким образом искомый интеграл равен 6.

Пример 2:

Вычислить интеграл:

Решение:

=( 3 + 4 +5x) = +2 -

- ( +2 26- 8=18.

Приложение определенного интеграла в экономике

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Задача. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q², где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.

Решение.

Основные понятия теории комплексных чисел.

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью комплексного числа , число называется мнимой частью комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Сложение комплексных чисел

Пример 1:

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2:

Найти разности комплексных чисел и , если

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3:

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Деление комплексных чисел

Пример 4:

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!! ).

Распишу подробно:

Пример подобран «хороший», если взять два произвольных числа, то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

Решение.

Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N – n небракованных можно выбрать

k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно . Искомая вероятность равна:

p = (1)

Замечание:

Всякое k-членное подмножество n-членного множества называется сочетанием из n элементов по k.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается .

Справедлива формула

= , (2)

n! =1 2 3 4 … n

Пример 2:

В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение.

Искомую вероятность найдем по формуле (1) для случая

N =12, n =7, k = 6, s = 4.

p = = = = .

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1.

Номер варианта	Задание: Найти произведение матриц АВ = С, если А, В даны:
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =

Задание №2.

Номер варианта	Задание: Для множеств А и В найти: АUВ; А∩ В; АΔ В; А\В; А× В; А× А; В².
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =
	А = , В =

Задание №3.

Номер варианта	Задание: Выполнить действия
	(1+3i)+(-3+i)	(5-3i)× (2-5i)	(5+4i)-(-3+4i)	(2+3i)/(2-3i)
	(-4+3i)+(4-3i)	(3+5i)× (2+3i)	(4+2i)-(-1+2i)	(5-4i)/(-3+2i)
	(-2+5i)+(2-5i)	(3-4i)× ( -7+3i)	(7-2i)-( -4+3i)	(-5+2i)/(6-7i)
	(3-4i)+(-3+4i)	(6+7i)× (-5+2i)	(-9+4i)-( 3+5i)	(1+8i)/( -3+i)
	(7-2i)+(-7+3i)	(1+8i)× (-9+4i)	(2+3i)-(-3+i)	(-8+i)/(7-2i)
	(-5+2i)+(5-2i)	(3+4i)× ( -8+i)	(-3+4i)-(6+7i)	(6-7i)/( -1+2i)
	(-6+7i)+(6-7i)	(7-2i)× ( -3+i)	(3+5i)-(-9+4i)	(3+4i)/( -5+2i)
	(1+8i)+(-8+i)	(2+3i)× (6-7i)	(-5+2i)-(3+4i)	(-9+4i)/(5-7i)
	(-9+4i)+(9-4i)	(-5+2i)× ( 7-2i)	(-4+3i)-( 2+3i)	(6+7i)/( 1+8i)
	(8-5i)+(-8+5i)	(-1+2i)× (6+7i)	(7-5i)-(-8+i)	(3+5i)/(-4+3i)

Задание №4.

№ варианта	Задание: Исследовать свойства функции и построить её график
	y =
	y =
	y =
	y =
	y =
	y =
	y =
	y =
	y =
	y =

Задание №5.

12 3 4 Следующая ⇒