СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Не всегда получается описать адекватно сложное социально-экономическое явление с помощью только одного соотношения (уравнения). Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее использования все участвующие в ней переменные подразделяются на:

§ Экзогенные (независимые) - значения которых задаются «извне», автономно, в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми) ;

§ Эндогенные (зависимые) - значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые .

§ Лаговые - экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Например: - текущая эндогенная переменная, - лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 1 период назад), - тоже лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 2 периода).

§ Предопределенные переменные - переменные, определяемые вне модели. К ним относятся лаговые и текущие экзогенные переменные , а также лаговые эндогенные переменные .

Все эконометрические модели предназначены для объяснения текущих значений эндогенных переменных по значениям предопределенных переменных. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений. 1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция только от предопределенных переменных :

2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от всех зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

В рассмотренных 2-ух видах систем каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и параметры уравнения определяются с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

3. Система взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений, когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы (т.е. выступают в роли факторов):

Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других.

В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели.

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т.к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК. В результате оценки получаются смещенными.

Некоторые из уравнений системы могут быть представлены в виде тождеств, т.е. параметры этих уравнений являются константами.

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели, в которой все эндогенные переменные выражены через предопределенные переменные:

Особенность приведенной формы: так как правая часть каждого из уравнений модели содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такие системы относят к независимым. Тогда параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.

Зная оценки этих коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели (косвенный МНК).

Проблема идентификации .

Параметры структурной формы модели по оценкам приведенных коэффициентов можно определить не всегда. Для этого необходимо, чтобы модель была идентифицируемой.

Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированы.

Если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное уравнение, то вся модель считается сверхидентифицированной.

Если среди всех уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное, то вся модель считается неидентифицированной.

Уравнение называется неидентифицированным, если оценки его структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной модели.

Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно однозначно (единственным способом) найти по коэффициентам приведенной модели.

Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно получить более одного численного значения.

Правила идентификации

Введем следующие обозначения:

М- число предопределенных переменных в модели;

т- число предопределенных переменных в данном уравнении;

К - число эндогенных переменных в модели;

k - число эндогенных переменных в данном уравнении.

Необходимое (но недостаточное) условие идентификации.

Для того чтобы уравнение модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус 1», т.е.: ;

Если , уравнение точно идентифицировано.

Если , уравнение сверхидентифицировано.

Эти правила следует применять к структурной форме модели.

Достаточное условие идентификации. Введем обозначения: А - матрица коэффициентов при переменных не входящих в данное уравнение.

Достаточное условие идентификации заключается в том, что ранг матрицы А должен быть равен . Ранг матрицы - размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Сформулируем необходимое и достаточное условия идентификации:

1) Если и ранг матрицы А равен , то уравнение сверхидентифицировано.

2) Если и ранг матрицы А равен , то уравнение точно идентифицировано.

3) Если и ранг матрицы А меньше то уравнение неидентифицированно.

4) Если , то уравнение неидентифицированно. В этом случае ранг матрицы А будет меньше .

Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).

Алгоритм КМНК включает 3 шага:

1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.

Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Пример.

На основе данных с помощью необходимого и достаточного условия провести идентификацию модели.

Решение:

Рассмотрим выполнение данного задания на основе примера варианта 100. В соответствии с таблицей 1 и таблицей 2 Приложения Б определим коэффициенты при параметрах каждого уравнения, и запишем получившуюся систему уравнений:

Проверим каждое уравнение на идентифицируемость.

Введем следующие обозначения:

М - число предопределенных переменных в модели;

т - число предопределенных переменных в данном уравнении;

К - число эндогенных переменных в модели;

k - число эндогенных переменных в данном уравнении.

Необходимое условие идентификации:

Если , уравнение точно идентифицировано.

Если , уравнение сверхидентифицировано.

Проверим каждое уравнение на идентифицируемость по необходимому условию идентификации:

Таблица 3 – Проверка уравнений системы на идентификацию

Ошибка! Ошибка связи.

Достаточное условие идентификации. Введем обозначения: А - матрица коэффициентов при переменных, не входящих в данное уравнение.

Проверим каждое уравнение на идентифицируемость по достаточному условию.

Уравнение 1:

В первом уравнении отсутствуют переменные и . Составим матрицу коэффициентов при этих переменных в уравнениях 2 и 3:

, уравнение (1) точно идентифицируемо по достаточному условию.

Во втором уравнении отсутствуют переменные и . Составим матрицу коэффициентов при этих переменных в уравнениях 1и 3:

, уравнение (2) неидентифицируемо по достаточному условию.

В третьем уравнении отсутствуют переменные и . Составим матрицу коэффициентов при этих переменных в уравнениях 1 и 2:

, уравнение (3) неидентифицируемо по достаточному условию.

В результате проведенных вычислений выяснили, что уравнение (1) системы точно идентифицируемо, а уравнения (2) и (3) – неидентифицируемы. Следовательно, модель в целом признается неидентифицируемой. Для оценки параметров 1-го уравнения необходимо применить косвенный метод наименьших квадратов.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒