Пересечение прямой линии и плоскости

Если одна из пересекающихся фигур занимает частное положение, то точка пересечения находится значительно проще.

7.2.1. Задание: найти точку пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью Р (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Решение: проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость Р занимает проецирующее положение (плоскость Р перпендикулярна к плоскости П₂. )

В первую очередь определяем фронтальную проекцию С₂ точки пересечения отрезка прямой АВ с плоскостью Р. Горизонтальная проекция С₁ искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции отрезка прямой АВ . На плоскость П₂ плоскость Р проецируется в линию, совпадающую с фронтальным следом Р₂, следовательно прямая видима по обе стороны от следа Р₂.

При определении видимости горизонтальной проекции прямой необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью Р, т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является часть проекции отрезка, расположенная левее проекции С₁.

7.2.2. Задание: найти точку пересечения проецирующей прямой т с плоскостью ( АВС ) (рис. 7.3).

Решение: из чертежа видно, что плоскость, заданная треугольником ABC, занимает общее положение относительно плоскостей проекции, прямая m является горизонтально проецирующей, m . В первую очередь определяется горизонтальная проекция k₁ искомой точки пересечения прямой m сплоскостью .

Для нахождения фронтальной проекции точки К₂ в плоскости треугольника ABC проводится вспомогательная прямая 1-2.

Построение начинается с горизонтальной проекции. В пересечении её фронтальной проекции 1₂-2₂ с фронтальной проекцией прямой m находят фронтальную проекцию К₂ искомой точки К.

7.2.3. Задание: найти точку пересечения прямой m общего положения с плоскостью общего положения Σ ( ABC ) (рис. 7.4).

Решение: в данной задаче прямая m и плоскость Σ занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме:

· прямую m заключают в плоскость . В данном случае плоскость является горизонтально проецирующей ( );

· находят линию DE пересечения плоскостей Σ ( АВС ) и ;

· определяют точку К пересечения прямой m с плоскостью Σ в пересечении прямых DE и т.д.

Видимость прямой m относительно плоскости ( АВС ) определяется с помощью метода конкурирующих точек.

Метод конкурирующих точек заключается в следующем:

Для определения видимости прямой m на горизонтальной плоскости выбирается пара точек 1 и D (см.рис.7.4). У этих точек координаты у одинаковы у₁=у_D, координаты z различны ( z_D > z₂), точка D выше точки 1 (координата точки D больше координаты точки 1 ). Следовательно, на горизонтальной проекции точка D видима, а 1 невидима.Tак как точка 1 принадлежит прямой m, то левее проекции точка K₁ прямая m находится ниже плоскости треугольника ABC, то есть она не видима (должна быть проведена штриховой линией).

Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 2 и 3 и рассмотреть вопрос видимости аналогично точкам 1 и D.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость параллельны, если в плоскости имеется прямая, параллельная заданной прямой.

7.3.1 Задание: построить проекции прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой m, принадлежащей плоскости Σ (BCD) (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Решение: в условии задачи задана фронтальная проекция m₂ прямой m. Находим горизонтальную проекцию m₁ прямой m. Условия параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-то прямой, расположенной в данной плоскости.

Используя это условие, строят проекции искомой прямой, проходящие через точку А; n₁ проводятся параллельно m₁ , n₂ — параллельно m_2.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ

К ПЛОСКОСТИ

Основные положения

Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость и перпендикулярная к ней прямая n .

Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости , т.е. . Каждый такой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоторого угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости h проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, так как его сторона параллельна плоскости П₁(h || П₁).

Если , то .

Угол между прямой n фронталью f плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона || П₂ ).

Если , то .

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости.

На рисунке 8.2 через точку N проведена прямая m, перпендикулярная к плоскости Σ. Для этого в плоскости Σ (а^b) определены горизонталь h и фронталь f, и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: .

Действительно, из чертежа следует, что прямая m перпендикулярна к прямой h, так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его ( h ) параллельна плоскости П₁. Точно так же прямая m перпендикулярна к прямой f. Но если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Рис. 8.2

В том случае, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра располагаются перпендикулярно к одноименным следам плоскости: .

Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют с помощью пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а- условие, 6 - решение) через точку А проведена плоскость , перпендикулярная к заданной прямой m .

Горизонталь h плоскости проходит через точку А ). Фронталь этой плоскости может быть также проведена через точку А, но может пересекать горизонталь и в любой другой точке, поскольку все они находятся в искомой плоскости.

На рисунке 8.4 фронталь f₂ проходит через точку В .

Рис. 8.3 Рис. 8.4

На рисунке 8.4 фронталь f₂ проходит через точку В .

На рисунке 8.5 показана прямая n перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости. Эта прямая является горизонталью.

На рисунке 8.6 изображена прямая n, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Эта прямая n является фронталью.

На рисунке 8.7 изображен отрезок прямой ( MN ), перпендикулярный к профильно проецирующей плоскости . Заметим, что, проведя проекции М₁N₁Σ ₁(Σ ₁≡ h ₁) M₂N₂ Σ ₂(Σ ₂≡ f ₂) мы еще не определим величину искомого перпендикуляра.

Это не должно нас удивлять, так как (h≡ f ), а перпендикулярность прямой и плоскости обеспечивается перпендикулярностью этой прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи нужно построить профильный след. Тогдa M₃N₃ Σ ₃.

Если требуется определить, перпендикулярна ли некоторая прямая т кзаданной плоскости Σ, то через какую-нибудь точку М этой прямой следует провести перпендикуляр n к плоскости Σ (рис. 8.8). При совпадении линии m и n прямая m перпендикулярна к плоскости Σ.

Рис. 8.5 Рис. 8.6

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Примеры решения задач

8.2.1. Задание: Построить перпендикуляр из точки А на плоскость ( ) и найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью.

Решение: исходя из принципа перпендикулярности прямой и плоскости (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости), необходимо в плоскости провести две пересекающиеся прямые: горизонталь h и фронталь f (рис. 8.9).

n₁

n₂

Рис.8.9

ис.8.9 ис.8.9

Затем из точки А проводим нормаль n к плоскости Σ. На основании теоремы о проецировании прямого угла

. Если плоскость задана следами, то

(рис. 8.10).

Основание перпендикуляра определяется как точка пересечения его с плоскостью. Для этого нужно провести через нормаль проецирующую плоскость , найти линию пересечения l(l₁, l₂)-2(2₁, 2₂)плоскостей Σ и и на пересечении проекции этой линии с проекцией нормали отметить общую точку В для нормали и плоскости.

Методы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ проекций

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 Следующая ⇒