Метод вращение вокруг проецирующей оси

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 9Следующая ⇒

Этот метод заключается в том, что любая точка вращается вокруг какой-либо оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекции. При этом точка в пространстве движется по траектории - окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Система плоскостей проекций остается неизменной.

Например, при вращении точки А вокруг оси i (рис. 9.3), перпендикулярной к П₁, она движется по траектории, которая проецируется на плоскость П₁ в виде окружности (точки А₁ A₁', А₁", a₁'" и т.д.), а на плоскость П₂ - в виде горизонтальной линии. Все фронтальные проекции точки А (А₂, А₂', А₂" и т.д.) находятся на фронтальном следе горизонтальной плоскости. Точка i₁ горизонтальная проекция оси i, а прямая i₂ — ее фронтальная проекция.

Если вращать точку А вокруг оси i, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций П₂ (рис. 9.4), то фронтальные проекции А₂, А₂', А₂" и т.д. точки А будут лежать на окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси i и горизонтальной плоскости проекции. При этом горизонтальные проекции А₂ А₂', А₂" и т.д. точки А будут расположены на прямой линии параллельной оси х и проходящей через горизонтальную проекцию точки А (А₁).

Метод плоскопараллельного перемещения

Применение метода вращения вокруг проецирующей оси при преобразовании нередко приводит к наложению на исходную новых проекций. При этом чтение чертежа представляет определенные сложности. Избавиться от указанного недостатка позволяет метод плоскопараллельного перемещения.

Суть метода заключается в том, что все точки фигуры перемещаются в пространстве параллельно некоторой плоскости проекций. Это означает, что каждая точка объекта перемещается в плоскости уровня.

Например, прямая общего положения АВ, заданная своими проекциями A₁ B₁ и А₂В₂ (рис. 9.5), перемещается таким образом, чтобы горизонтальная проекция А В стала параллельной оси х .

При этом фронтальная проекция прямой АВ ( А₂В₂) перемещаются параллельно оси х (фронтальные проекции концов отрезка займут новое положение А₂ и В₂ ). При перемещении длина горизонтальной проекции отрезка АВ остается постоянной, а величина фронтальной проекции А₂ В₂ станет равной натуральной величиной отрезка. При этом угол α - угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекции П₁.

При перемещении прямой АВ во фронтальной плоскости уровня можно достичь положения прямой, перпендикулярного плоскости П₁.

Этот метод применяется для определения натуральной величины отрезка, его угла наклона к плоскостям проекций, расстояния между параллельными прямыми и натуральной величины плоской фигуры.

Метод вращения вокруг линии уровня

(частный случай метода вращения)

Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня - горизонталь или фронталь. Таким образом, плоскость как бы поворачивается вокруг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, параллельного одной из плоскостей проекций.

Например, повернем плоский угол, образованный пересекающимися прямыми а и b (рис. 9.6).

Для решения поставленной задачи проводят в плоскости угла линию уровня (в данном случае горизонталь h) и используют ее как ось вращения, вокруг которой будут вращаться прямые а и b и вершина К. Все точки вращаются в плоскостях, перпендикулярных к горизонтали, при этом положение точек 1 и 2 остается неизменным, а точка К вращается вокруг горизонтали. Из горизонтальной проекции К₁ точки К проводят линию, перпендикулярную к оси вращения h₁ . Отрезок K₁O₁ - горизонтальная проекция радиуса вращения точки К. Находят натуральную величину этого радиуса (например способом прямоугольного треугольника).

На продолжении проекции прямой O₁K₁ откладывают натуральную величину радиуса О_к и получают положение т. К после поворота ( К₀). Соединив точки 1₁ и 2₁ с точкой К₀, получают натуральную величину угла при вершине К.

Этим методом находится натуральная величина любой плоской фигуры, занимающей общее положение в пространстве.

Метод совмещения плоскостей

Этот метод является частным случаем способа вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается какой-либо след плоскости в которой лежит та или иная фигура. При этом каждая точка, принадлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость P, заданную своими следами P₁ и P₂, необходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций П₁ (рис. 9.7).

Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе P₂ плоскости P произвольную проекцию точки A и находят ее горизонтальную проекцию A ₁, которая лежит на оси х . Из проекции A₁ точки А проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости P₁ (любая точка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендикулярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точки A — точку A₀, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом Р_хА₂=R_вр (R_{вращения} - радиус поворота проекции точки А). Точка A₀ принадлежит одновременно и плоскости П₁ и новому (совмещенному) положению плоскости P. Через точку A₀ проводят новый фронтальный след P₀ плоскости P. Следы P₁ и P₀ характеризуют новое (совмещенное) положение плоскости P.

Примеры решения задач

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.

9.6.1. Задание: определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к плоскости П₁ _.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC, перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A₁B₁C₁ проводят ось x_{1, 4} новой системы плоскостей проекций П₁/П₄ перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h₁. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П₄.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П₁/П₂.

При соединении новых проекций А₄, B₄, С₄ получают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П₁ – угол α. На чертеже это угол между осью x_{1, 4} и проекцией С₄А₄В₄.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П₅, параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x_{4, 5} проводят параллельно С₄А₄В₄ на произвольном расстоянии. Получают новую систему П₄/П₅. Полученный треугольник А₅В₅С₅ и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси (рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят горизонталь h ( h₁, h₂) через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции h₂, она проходит через проекцию точки A₂ и проекцию точки 1₂ при этом h₂ параллельна оси х ). Далее находят горизонтальную проекцию h₁ горизонтали h (через проекции A₁ и 1₁ ). Через точку А проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П₁. На фронтальной проекции через вершины А₂ и В₂ проводят следы горизонтальных плоскостей уровня Δ и Σ в которых при вращении будут перемещаться точки А и В. Вершина С принадлежит плоскости П₁ поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П₁. На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i₁ поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П₂ она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'₁ займет новое положение - перпендикулярно к оси х .

При этом на фронтальной проекции А₂ остается неизменной, находясь на следе плоскости Σ ₂ и ее обозначим a₂'.

На горизонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С вокруг оси i так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости ₂, а вершина С - по оси х . Соединив новые положения проекций всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'₂В'₂С'₂, сливающуюся в линию. Плоскость треугольника ABC заняла проецирующее положение. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П₁ – угол α.

На втором этапе проводят ось j через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'₂ ≡ j'₂, а горизонтальная проекция j'₁ пройдет через проекцию С'₁. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'₂ и В'₁, вокруг j₂ до совмещения с осью х, при этом проекции B'₁ и A'₁ будут перемещаться параллельно оси х и займут новое положение В" ₁, и А" ₁ вершина С останется на месте. Соединив точки между собой, получают новое положение плоскости (оно соответствует натуральной величине треугольника ABC).

3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.11).

Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразуют чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А₂1₂ ║ х, ). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П₁ . В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проекций П₁, А принадлежит плоскости Σ, В — плоскости Δ.

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h₁ треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П₂.

Для этого на свободном поле чертежа вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A₁^′B₁^′C₁^′ с условием, чтобы А₁1₁ П₂, а значит А₁^′1₁^′ х . При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение – (фронтальная проекция А₂В₂С₂ заменится А'₂В'₂С'₂ ). Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П₂.

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А₂'В₂'С₂' располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П₁. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости θ, Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А₁'В₁'С₁'. От нового положения фронтальной проекции А₂" В₂" С₂" проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются ( θ ₁, T₁, P₁ ), и получая проекции точек А₁" В₁" C₁". Соединив эти проекции, получают треугольник ABC в натуральную величину.

4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис.9.12)

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h , фронтальная проекция которой будет параллельна оси х . Отмечают точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1₁. Прямая A₁1₁ является горизонтальной проекцией h₁ горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Определяют натуральную величину радиуса вращения точки С.

Для определения натуральной величины радиуса вращения используют любой метод (в данном случае способ прямоугольного треугольника) строят прямоугольный треугольник, в котором O₁C₁ - один из катетов. Второй катет - разность координат Δ z отрезка О₂С₂, взятого с фронтальной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O₁C₀ - натуральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра O₁C₁ откладывают |R_Bp.| и получают новое положение вершины С после вращения — С₀. Проекция вершины В₀ получается пересечением луча C₀1₁ и перпендикуляра к горизонтальной проекции h₁ проведенного через проекцию точки В₁.

Треугольник A₀B₀C₀ есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

5) Решение методом совмещения (рис. 9.13).

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости Σ, которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь f и находят горизонтальный след этой фронтали – N₁. По условию задачи вершина С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проекций П₁. Тогда горизонтальный след Σ ₁ плоскости Σ проводят через проекции N₁ и C₁. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью х , находят точку схода следов Σ _х. Учитывая, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след Σ ₂ плоскости Σ проводят через точку Σ _х параллельно проекции фронтали f₂.

Для нахождения натуральной величины треугольника ABC необходимо построить совмещенное положение плоскости Σ с горизонтальной плоскостью проекций П₁. Для этого через вершину А проводят горизонталь h₁ . На фронтальном следе Σ ₂ фиксируют точку 2₂. Ее горизонтальная проекция - точка 2₁ . Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости Σ. Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 2₀, проводят из 2₁ перпендикуляр к горизонтальному следу Σ, а из центра Σ _х дугу окружности радиусом Σ _х2₂ до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив Σ _х с 2₀, получают совмещенное положение фронтального следа Σ ₀ - Далее через точку 2₀ проводят горизонталь h₀ всовмещенном положении. На этой горизонтали находят точку А₀, проведя перпендикуляр из точки A₁ к горизонтальному следу Σ ₁.

По такой же схеме строят совмещенное положение точки В₀. Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией С₁ т.е. С ₁≡ С₀. Соединив построенные точки, получают треугольник А₀В₀С₀ - это и есть натуральная величина треугольника ABC.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 Следующая ⇒