Метод центрального проецирования

ПРЕДИСЛОВИЕ

В любой отрасли промышленности для изготовления отдельных деталей и составных частей машин создаются их геометрические (идеальные) образы, которые называются чертежами. Под чертежами понимают плоское изображение геометрических очертаний и размеров технического объекта, выполненное таким образом, чтобы можно было представить его объёмные формы.

У будущего инженера важно выработать и развить пространственное (объемное) «видение» плоского изображения. Это позволяет не только правильно читать и понимать плоские чертежи, но и, используя целый ряд правил и положений, грамотно их выполнять. Все эти вопросы рассматриваются студентами вузов при изучении первой общепрофессиональной дисциплины «Инженерная графика».

Важнейшей составной частью является курс начертательной геометрии, который в силу его большой значимости во многих образовательных стандартах выделен в отдельную дисциплину. Изучение этого курса преследует следующие основные цели:

· ознакомить студента с различными методами проецирования объекта на плоскость для получения изображения;

· развить пространственное представление об объёмных формах технических объектов и составляющих их частей по изображению этих объектов на плоскостях;

· сформировать и закрепить в сознании человека систему правил для решения графическими методами технических задач проектирования;

В отличие от других изданий лекционный курс минимизирован до объема, предусмотренного рабочей программой по начертательной геометрии для студентов специальности 190701 и 181400, достаточного для самостоятельной работы студента, выполнения им графических заданий.

Рекомендуется для студентов родственных специальностей, изучающих курс начертательной геометрии и обучаемых в ВУЗах министерства транспорта Российской Федерации.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

При изучении курса приняты следующие обозначения:

1.1 Плоскости проекций: горизонтальная — П₁;

фронтальная — П₂;

профильная — П₃;

дополнительная — П₄, П₅

… аксонометрическая — П¹.

1.2 Точки: А, В, С, Д... или 1, 2, 3, 4...

1.3 Проекции точек на плоскость: П₁— А₁, В₁, С₁, Д₁... или 1₁, 2_1,3, ₁, 4_1;

П₂ — А₂, В₂, С₂, Д₂... или 1₂, 2_2,3, ₂, 4_2;П₃ — А₃, В₃, С₃, Д₃... или 1₃, 2_3,3₃, 4₃; П¹ — А¹, В¹, С¹, Д¹... или 1¹, 2¹, 3¹, 4¹

1.4 Точки на развертках: А₀, В₀, С_о, Д₀- - - или 1₀, 2₀, З₀, 4₀...

1.5 Последовательный ряд точек: ...

1.6 Линии: a, b, c, d...

1.7 Проекции линий на плоскость:

П₁— a₁, b₁, c₁, d₁...

П₂ — a₂, b₂, c₂, d₂...

П₃ — a₃, b₃, c₃, d₃...

1.8 Линии уровня:

горизонтальная (горизонталь) — h;

фронтальная (фронталь) — f;

профильная — р.

1.9 Координатные оси проекций:

абсцисс — x;

ординат — y;

аппликат — z.

1.10 Новые оси абсцисс, полученные при замене плоскостей проекций: х₁, x₂.

1.11 Аксонометрические оси координат: x¹, y¹, z¹.

1.12 Последовательный ряд линий: ...

1.13 Прямая, проходящая через точки А и В: АВ.

1.14 Плоскости (поверхности): …

1.15 Знак принадлежности

1.16 Знак совпадения ≡

ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ.

МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Плоский чертеж какого-либо технического объекта может состоять из нескольких изображений, по которым и создается представление об объемных формах объекта. Такие плоские изображения называются проекциями рассматриваемого объекта.

Под проекцией любой точки понимают ее как бы «теневое» отображение на какой-либо плоскости. Так, если поместить материальную точку 1 между источниками света (световых лучей) 2 и какой-либо плоскостью 3 (рис. 2.1), на этой плоскости увидим тень 4 этой точки, которую и принято называть проекцией точки.

Рис. 2.1

Взаимное положение источника света и плоскости может быть произвольным. В зависимости от величины угла между лучом 2 - 1 - 4 и плоскостью 3 возможны два принципиально отличных варианта проекций точки:

· значение угла не равно 90°, тогда проекция точки называется косоугольной;

· значение угла равно 90° (прямой угол), тогда проекция называется прямоугольной, или ортогональной (от греч. orthogonios - прямоугольный).

Курс начертательной геометрии рассматривает два основных метода проецирования: центральный и параллельный.

Система плоскостей проекций в практике

Решения инженерных задач

Наибольшее практическое применение нашёл метод параллельного ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых расположена горизонтально, а другая - вертикально. Они соответственно получили обозначения: горизонтальная плоскость проекций – П₁, и фронтальная — П₂. Эти плоскости пересекаются между собой под прямым углом, образуя линию пересечения — ось х , и делят пространство на четыре четверти (квадранты), которые принято обозначать римскими цифрами I, II, III и IV (рис. 2.4).

В случае недостаточной информативности об объекте по двум проекциям на указанные плоскости П₁ и П₂ используют третью плоскость П₃, перпендикулярную плоскостям П₁ и П₂. Она называется профильной плоскостью проекций. Плоскость П₃ пересекается с плоскостью П₁ образуя ось у , и с плоскостью П₂, образуя ось z . Указанные плоскости делят всё пространство вокруг уже на восемь частей, которые называются октантами и обозначаются римскими цифрами от I до VIII.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ

Точки плоскостям проекций

Точка А принадлежит:

- горизонтальной плоскости проекций П₁ если А₁ ≡ А, а А₂ оси х и A₃ y;

- фронтальной плоскости проекций П₂, если А₂ ≡ А, а А₁ оси х и A₃ z;

- профильной плоскости проекций П₃ _, если , а А₁ оси y и A₂ оси z;

Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают. Так, точка А лежит на оси х , если А₁ совпадает с А₂; на оси у , если A₂ совпадает с А₃, и оси z, если А₂ совпадает с А₃.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

Задание прямой в пространстве

Любая прямая в пространстве может быть задана:

· двумя точками, принадлежащими этой прямой;

· одной точкой, принадлежащей данной прямой, и ее направлением.

В первом случае задаются координаты двух заданных точек, во втором — координаты точки и направляющим вектором.

Принадлежность точки прямой

Признаком принадлежности точки некоторой прямой является принадлежность проекций точки одноименным проекциям этой прямой. Так на рис. 4.4 точка А принадлежит отрезку прямой СВ , так как проекции точки А расположены на одноименных проекциях отрезка прямой СВ ( ).

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Горизонтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 4.5). Горизонтальный след обозначают обычно буквой М. При этом координата z точки М равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтального следа прямой на ней определяют точку с нулевой координатой z (рис. 4.5).

Фронтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекции (рис. 4.5). Обозначают фронтальный след чаще всего буквой N. Координата у точки N равна нулю. Следовательно, для нахождения фронтального следа N прямой на ней определяют точку, имеющую нулевую координату у .

Профильным следом прямой называют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след обычно буквой Р. Координата х точки Р равна нулю.

Пересекая плоскости проекции, прямая переходит из одной четверти (квадранта) пространства в другую. Линия общего положения и линия уровня может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая линия — через две четверти.

4.5. Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
к плоскостям проекции.

ПЛОСКОСТЬ

Задание плоскости

Плоскость на комплексном чертеже можно задать:

· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);

· прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);

· двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);

· двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);

· любой плоской фигурой (рис. 5.1, д);

· следами (рис.5.2)

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П₁ П₂, П₃. Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).

Следы плоскости

Линия пересечения какой-либо плоскости с плоскостью проекций (П₁, П₂, П₃) называется следом плоскости. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П₁ и обозначается Р₁, фронтальный — с плоскостью П₂ ( Р₂ ), профильный — с плоскостью П₃ ( Р₃ ). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях координат. Например, горизонтальный след плоскости Р (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией Р₁, фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у . По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве.

Плоскостей проекций

Любая произвольно взятая в пространстве плоскость может занимать общее или частное положение.

Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна и не параллельна ни к одной из плоскостей проекций (см. рис. 5.2). Все остальные плоскости относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня.

Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П₁ (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Горизонтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом ₁. Угол β, который образуется между плоскостями Σ и П₂, проецируется на П₁ без искажения. Фронтальный след ₂ перпендикулярен к оси x. Фронтально-проецирующая плоскость ( ) перпендикулярна к фронтальной плоскости П₂ (рис. 5.4).

Фронтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости ₂. Угол α, который образуется между заданной плоскостью и П₁, проецируется на П₂ без искажения. Горизонтальный след плоскости ₁ перпендикулярен к оси x.

Рис. 5.4

Профильно - проецирующая плоскость Т ( T₁, T₂ ) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П₃ (рис. 5.5).

а) б)

Рис. 5.5

Профильные проекции всех геометрических объектов, лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т₃.

Углы α и β, которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций П₁ и П₂ (угол α = углу наклона плоскости T к плоскости проекции П₁; угол β = углу наклона плоскости Т к плоскости проекций П₂), плоскость Т проецируются на плоскость П₃ без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х .

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x (рис. 5.6).

Следы такой плоскости ₁ ≡ ₂ совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости в системе двух плоскостей проекций. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рис. 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью, если угол α = β, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П₁ и П₂.

Рис. 5.6

Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей может быть три разновидности (рис. 5.7):

· горизонтальная плоскость параллельна плоскости П₁ и перпендикулярна к П₂, П₃ (рис. 5.7, а);

· фронтальная плоскость параллельна плоскости П₂ и перпендикулярна к П_1, П₃ (рис. 5.7, б);

· профильная плоскость параллельна плоскости П₃ и перпендикулярна к П_1, П₂ (рис. 5.7 в).

а) б)

в)

Рис. 5.7

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов

Главные линии плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, следует руководствоваться следующими положениями:

· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;

· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости;

· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости и параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых.

Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П₁ П₂, П₃.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня плоскости.

Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости -нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между - собой (рис. 5.9).

Рис. 5.8

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П₃.

а) б)

Рис. 5.9

К линиям уровня плоскости относятся и профильные прямые, лежащая в заданной плоскости и параллельные П₃.

К главным линиям плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

К плоскостям проекций

Плоскость общего положения наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П₁ - линия ската, к плоскости проекций П₂ - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П₂ .

Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующим линиям уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, между данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10).

Рис. 5.10

И ПЛОСКОСТИ

Прямой линии и плоскости

Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:

· прямая параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);

· прямая пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).

Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить взаимное

положение прямой линии и плоскости (рис. 7.1).

В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых. В задачах такого типа используют метод введения вспомогательной плоскости. Заключается он в следующем:

- через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится с учетом построений в ходе решения задачи, чтобы решение задачи было наиболее простым;

Строят линию пересечения плоскостей - заданной и вспомогательной ;

устанавливают взаимное положение прямой m и линии пересечения плоскостей n .

При этом возможны следующие случаи:

· прямая m параллельна прямой n, следовательно, прямая m параллельна плоскости Σ;

· прямая m пересекает прямую n, следовательно, прямая m пересекает плоскость Σ.

К ПЛОСКОСТИ

Основные положения

Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость и перпендикулярная к ней прямая n .

Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости , т.е. . Каждый такой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоторого угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости h проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, так как его сторона параллельна плоскости П₁(h || П₁).

Если , то .

Угол между прямой n фронталью f плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона || П₂ ).

Если , то .

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости.

На рисунке 8.2 через точку N проведена прямая m, перпендикулярная к плоскости Σ. Для этого в плоскости Σ (а^b) определены горизонталь h и фронталь f, и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: .

Действительно, из чертежа следует, что прямая m перпендикулярна к прямой h, так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его ( h ) параллельна плоскости П₁. Точно так же прямая m перпендикулярна к прямой f. Но если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Рис. 8.2

В том случае, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра располагаются перпендикулярно к одноименным следам плоскости: .

Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют с помощью пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а- условие, 6 - решение) через точку А проведена плоскость , перпендикулярная к заданной прямой m .

Горизонталь h плоскости проходит через точку А ). Фронталь этой плоскости может быть также проведена через точку А, но может пересекать горизонталь и в любой другой точке, поскольку все они находятся в искомой плоскости.

На рисунке 8.4 фронталь f₂ проходит через точку В .

Рис. 8.3 Рис. 8.4

На рисунке 8.4 фронталь f₂ проходит через точку В .

На рисунке 8.5 показана прямая n перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости. Эта прямая является горизонталью.

На рисунке 8.6 изображена прямая n, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Эта прямая n является фронталью.

На рисунке 8.7 изображен отрезок прямой ( MN ), перпендикулярный к профильно проецирующей плоскости . Заметим, что, проведя проекции М₁N₁Σ ₁(Σ ₁≡ h ₁) M₂N₂ Σ ₂(Σ ₂≡ f ₂) мы еще не определим величину искомого перпендикуляра.

Это не должно нас удивлять, так как (h≡ f ), а перпендикулярность прямой и плоскости обеспечивается перпендикулярностью этой прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи нужно построить профильный след. Тогдa M₃N₃ Σ ₃.

Если требуется определить, перпендикулярна ли некоторая прямая т кзаданной плоскости Σ, то через какую-нибудь точку М этой прямой следует провести перпендикуляр n к плоскости Σ (рис. 8.8). При совпадении линии m и n прямая m перпендикулярна к плоскости Σ.

Рис. 8.5 Рис. 8.6

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Примеры решения задач

8.2.1. Задание: Построить перпендикуляр из точки А на плоскость ( ) и найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью.

Решение: исходя из принципа перпендикулярности прямой и плоскости (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости), необходимо в плоскости провести две пересекающиеся прямые: горизонталь h и фронталь f (рис. 8.9).

n₁

n₂

Рис.8.9

ис.8.9 ис.8.9

Затем из точки А проводим нормаль n к плоскости Σ. На основании теоремы о проецировании прямого угла

. Если плоскость задана следами, то

(рис. 8.10).

Основание перпендикуляра определяется как точка пересечения его с плоскостью. Для этого нужно провести через нормаль проецирующую плоскость , найти линию пересечения l(l₁, l₂)-2(2₁, 2₂)плоскостей Σ и и на пересечении проекции этой линии с проекцией нормали отметить общую точку В для нормали и плоскости.

Методы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ проекций

Метод совмещения плоскостей

Этот метод является частным случаем способа вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается какой-либо след плоскости в которой лежит та или иная фигура. При этом каждая точка, принадлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость P, заданную своими следами P₁ и P₂, необходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций П₁ (рис. 9.7).

Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе P₂ плоскости P произвольную проекцию точки A и находят ее горизонтальную проекцию A ₁, которая лежит на оси х . Из проекции A₁ точки А проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости P₁ (любая точка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендикулярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точки A — точку A₀, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом Р_хА₂=R_вр (R_{вращения} - радиус поворота проекции точки А). Точка A₀ принадлежит одновременно и плоскости П₁ и новому (совмещенному) положению плоскости P. Через точку A₀ проводят новый фронтальный след P₀ плоскости P. Следы P₁ и P₀ характеризуют новое (совмещенное) положение плоскости P.

Примеры решения задач

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.

9.6.1. Задание: определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к плоскости П₁ _.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC, перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A₁B₁C₁ проводят ось x_{1, 4} новой системы плоскостей проекций П₁/П₄ перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h₁. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П₄.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П₁/П₂.

При соединении новых проекций А₄, B₄, С₄ получают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П₁ – угол α. На чертеже это угол между осью x_{1, 4} и проекцией С₄А₄В₄.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П₅, параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x_{4, 5} проводят параллельно С₄А₄В₄ на произвольном расстоянии. Получают новую систему П₄/П₅. Полученный треугольник А₅В₅С₅ и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси (рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят горизонталь h ( h₁, h₂) через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции h₂, она проходит через проекцию точки A₂ и проекцию точки 1₂ при этом h₂ параллельна оси х ). Далее находят горизонтальную проекцию h₁ горизонтали h (через проекции A₁ и 1₁ ). Через точку А проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П₁. На фронтальной проекции через вершины А₂ и В₂ проводят следы горизонтальных плоскостей уровня Δ и Σ в которых при вращении будут перемещаться точки А и В. Вершина С принадлежит плоскости П₁ поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П₁. На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i₁ поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П₂ она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'₁ займет новое положение - перпендикулярно к оси х .

При этом на фронтальной проекции А₂ остается неизменной, находясь на следе плоскости Σ ₂ и ее обозначим a₂'.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89