Сущность оптимального проектирования

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 17Следующая ⇒

При проектировании конструкции инженер может выбрать одну из двух следующих стратегий. Традиционная процедура проектирования состоит в том, что вначале интуитивно назначают геометрию конструкции и материал (или материалы), а затем при заданных нагрузки находят переменные, характеризующие поведение или состояние конструкции, такие, как напряжения, деформации или перемещения После модификации геометрии эта процедура повторяется, и это происходит до тех пор. кока найденное поведение конструкции не станет удовлетворять некоторым заданным требованиям, которые обычно выражаются в форме неравенств, определяющих верхние пределы напряжений и перемещений или нижний предел несущей способности. Недостатки описанной процедуры очевидны. Во-первых, последовательные перерасчеты требуют выполнения большого объема вычислений. Во-вторых, проект может оказаться весьма неэкономичным даже в том случае, когда выбранные интуитивно характеристики конструкции удовлетворяют ограничениям.

Чтобы исключит» эти недостатки, можно несколько перестроить традиционную процедуру. При осуществлении процесса, который носит название оптимального проектирования, сначала задают требования к

Рис. 3.3.1. – Основные стратегии проектирования конструкций

поведению конструкции вместе с расчетными нагрузками и геометрическими ограничениями, а затем определяют целевую функцию, или функцию стоимости. Цель последующего расчета состоит в таком выборе геометрии и материала (или материалов) конструкции, при которых достигается требуемое поведение конструкции и ее стоимость оказывается минимальной. Сопоставление двух указанных подходов к проектированию конструкций дано на рис. 5.

По своей сути оптимальные решения являются решениями экстремальными, так как характеризуются минимальным или максимальным значением одного или нескольких параметров.

В современной терминологии постановка задачи оптимального проектирования включает в себя следующие этапы:

1. Выбор критерия оптимизации, т.е. параметра, экстремума которого необходимо достичь

2. Выбор переменных проектирования, т.е. параметров, изменяя которые можно влиять на величину критерия оптимизации

3. Формулировка системы ограничений, т.е. системы неравенств и уравнений, показывающих, в каких пределах могут изменяться переменные проектирования

4. Формулировка целевой функции, показывающей, каким образом критерий оптимизации зависит от переменных проектирования

5. Нахождение экстремума целевой функции, при котором значения переменных проектирования соответствуют оптимальному варианту.

Очень часто решение задач оптимального проектирования удобно осуществить графически.

Пример 1. Простая задача оптимального проектирования элемента конструкции. Рассмотрим тонкостенную свободно опертую трубчатую стойку (рис. 6). Стойка работает при единственном условии нагружения, представленном силой Р = 22241 Н. Длина (l = 254 см), модуль упругости (Е = 6.9Е10 Н/м²) и плотность (r = 2770 кг/м³) – это заданные параметры. В качестве двух независимых параметров проектных переменных берутся средний диаметр D = (D₀+D₁)/2 и толщина стенки Т, которые минимизируют массу стойки

при условии выполнения следующих ограничений на проектные переменные:

D £ Dmax = 89 мм

T ³ Tmin = 1 мм

(D/T) ³ 10

и ограничений на характеристики конструкции:

Отметим, что ограничения на характеристики конструкции, выражаемые двумя последними неравенствами, предохраняют от двух видов разрушения, а именно от эйлеровой и локальной потери устойчивости (продольного изгиба). Ограничения на проектные переменные накладывают на проект геометрические условия практического характера.

Область всех возможных положительных значений D и T называется двумерным пространством проектирования. Теперь можно дать следующую графическую интерпретацию ограничений на проектные переменные: все точки пространства проектирования, лежащие слева от линии а-а, вверху от линии b-b и внизу от линии с-с, удовлетворяют ограничениям, выражаемым соответственно тремя вышеуказанными неравенствами. Множество всех проектных решений, удовлетворяющих ограничениям на проектные переменные, еще более сужается, если наложить также ограничения на характеристики конструкции. Именно точки пространства проектирования, лежащие вверху справа от линии d-d, удовлетворяют ограничению на устойчивость по Эйлеру, а точки, лежащие вверху от линии е-е, удовлетворяют ограничению на локальную устойчивость. Заметим, что в данном примере (при Тmin = 1мм) ограничение по условию локальной устойчивости излишнее, поскольку требование по толщине стенки более ограничительно. Множество точек, удовлетворяющих всем ограничениям на проектные переменные и характеристики конструкции, называется допустимой областью пространства проектирования. Кривые h-h, g-g и f-f представляют три различные линии постоянной массы, равной соответственно W1 = 2, 7 кг, W2 = 1, 8 кг, W3 = 1, 1 кг.

Поскольку функция цели и ограничения выражаются явными функциями двух независимых проектных переменных T и D, построение границ, диктуемых ограничениями, и линий уровня целевой функции не представляет труда. Оптимальный проект легко найти, просматривая мысленно пространство проектирования, для того чтобы отыскать точку минимальной массы в допустимой области, а именно точку j (D = 81 мм, Т = 1 мм, W = 1, 82 кг). В данном примере минимум массы лежит в вершине, образованной пересечением границ, соответствующих условию устойчивости по Эйлеру [g1(D, T)=0] и нижнему пределу толщины трубы (Т = 1 мм). Однако если изменить ограничения на проектные переменные, положив Dmax = 127 мм и Tmin = 0, 4 мм, то оптимальный в смысле минимума массы проект будет соответствовать точке k (D = 102 мм, Т = 0, 5 мм, W = 1, 1 кг). В этом случае оптимальный проект оказывается в вершине, образованной пересечением границ, соответствующим условиям по Эйлеру [g1(D, T)=0] и локальной устойчивости [g2(D, T)=0]. Важный вывод из анализа этого примера заключается в том, что при первоначальной постановке задачи оптимизации конструкции в общем случае не известно, какие из ограничений-неравенств окажутся критическими (т.е. обратятся в равенства) для оптимального проекта.

Приведенные выше результаты наводят на мысль о том, что, хотя и нельзя сказать заранее, какие ограничения окажутся критическими, оптимальный проект всегда соответствует некоторой вершине в пространстве проектирования. Однако эта догадка неверна, поскольку в общем случае целевая функция и функции, описывающие ограничения на характеристики, нелинейны. Это обстоятельство ясно демонстрируется с помощью второго примера.

Пример 2. Простейшая задача оптимального проектирования системы. Рассмотрим симметричную двухстержневую плоскую ферму при единственном условии нагружения, определяемом силой 2Р = 305 кН (рис. 7). Пусть два одинаковых трубчатых стержня имеют кольцевые поперечные сечения с заданной толщиной стенок Т = 2.54 мм. Расстояние по горизонтали между опорными точками (2B = 1524 мм) и свойства материала также являются заданными параметрами со следующими значениями: E = 2.1Е5 МПа, r = 8400 кг/м3, sт = 420 МПа. Средний диаметр трубчатых стержней D и высота фермы H принимаются в качестве двух независимых проектных переменных. Ставится задача нахождения таких D и H, которые минимизируют массу фермы

Рис. 3.3.2. – Проектирование трубчатой стойки

при следующих ограничениях на характеристики конструкции:

Последние два ограничения предохраняют от двух видов разрушения, а именно от эйлеровой потери устойчивости и от пластического течения. В этом примере не задается никаких ограничений на проектные переменные.

Область всех возможных положительных значений D и H представляет собой двухмерное пространство проектирования двухстержневой фермы. Положив g1(D, H)=0 и g2(D, H)=0, можно построить критические кривые, отражающие ограничения на характеристики конструкции, и заметить, что они делят пространство проектирования на допустимую и недопустимую области. Далее, присваивая величине W различные конкретные значения, можно построить линии постоянной массы в пространстве проектирования. Осмотр пространства проектирования (рис. 7, б) показывает, что проект минимальной массы соответствует точке р, в которой D = 62, 7 мм, H = 762 мм, W = 8, 9 кг. В этом примере оптимальный проект не находится в вершине: напротив, оказывается, что единственное критическое ограничение в точке р – это ограничение по пределу текучести (т.е., в точке р пространства проектирования напряжение равно 420 МПа). Интересно и важно заметить, что если повысить предел текучести, к примеру, до 700 МПа (путем термообработки материала), оставив постановку задачи оптимального проектирования в остальном неизменной, то картина пространства проектирования изменится (рис. 7, в). Теперь оптимальный в смысле минимума массы проект соответствует точке р’ (D = 47, 5 мм, H = 513, 1 мм, W = 5, 76 кг). Таким образом, в этом случае оптимальный проект оказывается в вершине, образованной пересечением границ, определяемых условием устойчивости по Эйлеру и пределом текучести.

Эти два примера ясно показывают, что, вообще говоря, невозможно предвидеть, сколько или какие ограничения окажутся критическими для оптимального проекта. Поэтому для правильной постановки общей задачи оптимального проектирования конструкций использование ограничений тира неравенства является существенным.

б в

Рис. 3.3.3. – Проектирование простейшей системы: а) симметричная двухстержневая ферма; б) пространство проектирования при sТ = 420 МПа; б) пространство проектирования при sТ = 700 Мпа

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒