Основные функции и критерии оптимизации

 

Выбор функционалов, рассматриваемых при оптималь­ном проектировании, является частью постановок задач оптими­зации. На этот выбор влияют многие обстоятельства: ос­новное назначение конструкций, условия эксплуатации, техноло­гические возможности ее создания, ограничения по стоимости, свойства модели, принимаемой для описания механического по­ведения конструкции, априорные свойства оптимальной задачи. Далее обсудим некоторые типичные функционалы, наиболее часто рассматриваемые при оптимизации конструкций.

Вес – одна из основных характеристик конструкции, и поэтому в большинстве работ по оптимальному проектированию этот функционал либо рассматривается в качестве оптимизируе­мого критерия качества, либо фигурирует среди других прини­маемых ограничений. Вес конструкции характеризует как расход материалов, необходимых для ее создания, так и некоторые ее эксплуатационные свойства. Например, увеличение веса конст­рукций летательных аппаратов приводит не только к увеличению количества материалов, идущих на изготовление конструкции, но и к большему расходу топлива при полете, ухудшению ряда дру­гих летных характеристик.

Вес – интегральная характеристика конструкции. Для сплош­ных однородных тел вес пропорционален занимаемому ими объ­ему:

 

 

где g – удельный вес материала. В этом случае для изменения веса конструкции требуется варьирование области интегрирования W. Для тонкостенных конструкций из однородных материалов вес представляется интегралом от функции распределения «толщин» h:

 

 

Например, для сплошной пластинки, закрепленной по контуру Г в плоскости х, у (х, у – декартовы координаты), f = h (х, у), W – область, ограниченная контуром Г. В этом случае уменьшения веса конструкции можно добиваться как изменением функции h (x, у) при фиксированной области и, так и одновременным варь­ированием толщин и формы областей. Однако в задачах оптими­зации конструкций материал делится на «конструктивный», ко­личество и способ размещения которого по конструкции отыскива­ются, и «неконструктивный», положение и количество которого заданы. Так, при проектировании трехслойных пластин наиболее часто рассматриваются задачи отыскания оптимального распреде­ления толщин внешних армирующих слоев при фиксированном среднем слое. При этом функционал веса J представляется в виде суммы интегралов Jа + Jc (от толщин армирующих слоев и средин­ного слоя пластинки), а минимизация J сводится к минимизации веса Ja внешних слоев. В этом состоит свойство аддитивности функционала веса.

В случае оптимизации неоднородных тел функционал веса за­висит от структуры материала, например от концентрации свя­зующего и армирующих добавок композитных материалов. Если обозначить через ha, gа, hc, gc концентрации и удельные веса армирующих и связующих компонент, то

 

 

где W – область, занимаемая конструкцией.

В ряде работ по теории оптимального проектирования в качестве меры жесткостных свойств конструкции используется величина работы, производимой внешними силами при квазистати­ческом нагружении упругого тела. Этот функционал называется податливостью конструкции. Пусть упругое тело закреплено на части границы Гu, а к другой части Гs приложены нагрузки q. Тогда податливость определяется интегралом по Гs от скаляр­ного произведения векторов упругих смещений и и внешних сил:

 

 

При более общем определении функционала податливости можно под q и и соответственно понимать обобщенные силы и обоб­щенные перемещения. Например, в качестве обобщенных сил мож­но рассматривать распределение моментов сил, приложенных к балке, в качестве обобщенных смещений – углы поворотов попе­речных сечений в соответствующих точках.

Следует заметить, что в общем случае указанный функционал не является строгой мерой жесткостных свойств конструкции. Дей­ствительно, из малости значения интеграла J не следует малость величин перемещений отдельных точек упругого тела. Однако в некоторых частных задачах оптимального проектирования функ­ционал характеризует максимальные смещения точек конст­рукции и может приниматься в качестве критерия жесткости.

В теории оптимального проектирования тонкостенных конструкций, сжатых консервативными силами, также рассмат­риваются функционалы вида рэлеевских отношений, определяющие критические значения параметров нагружения, для которых про­исходит потеря устойчивости. Обозначим через р параметр нагру­жения, рТ– работу, совершаемую при приведении единицы объема конструкции в критическое состояние, а через П – плотность потенциальной энергии упругих деформаций после потери устой­чивости. С использованием классических представлений теории упругой устойчивости приходим к следующему выражению для критического значения р:

 

 

Наиболее типичными в теории оптимального проектирования сжатых конструкций являются задачи максимизации критического значения p0 (p0 – минимальное из собственных значений) при заданном весе конструкции и задачи минимизации веса при ограничении p0 ³ m, где m – заданное число. Заметим, что в отличие от других спектральных задач оптимального проектирования, в которых ставятся ограничения и на высшие собственные значения (выс­шие частоты в задачах оптимального управления спектром частот собственных колебаний), учет в задачах оптимального проекти­рования ограничений по устойчивости основан на рассмотрении только минимальных собственных значений. Возможны, однако, случаи, когда при оптимальном проектировании для учета огра­ничения на величину критической нагрузки требуется рассмотре­ние высших собственных значений. Эта ситуация реализуется для задач оптимизации с кратными критическими нагрузками.

Ранее рассматривались функционалы интегрального вида, учет которых в задачах оптимизации осуществляется клас­сическими методами вариационного исчисления. Однако многие важные задачи приводят к функционалам, зависящим от значе­ний функций состояния в заранее неизвестных точках. Локальный характер имеют основные прочностные и деформа­ционные характеристики. К локальным функционалам относится такая характеристика жесткости конструкции, как максимальное смещение точек упругой среды. Применительно к изгибу балок и пластин жесткость оценивается величиной максимального прогиба

 

 

а задача оптимизации жесткости при варьировании переменной проектирования h естественно формулируется как задача миними­зации максимального прогиба.

К локальным функционалам относятся и многие прочностные характеристики конструкции. Типичный функционал этого вида может быть записан следующим образом:

.

 

Здесь f = f (sij(х)) интенсивность напряжений sij или другая мера напряженного состояния произвольной точки конструкции, а W0 – множество точек, где реализуется максимум f. Заметим, что при пропорциональном нагружении тел требование расширения диапазона допустимых нагрузок приводит к задаче минимизации величины f.

 

Переменные проектирования

 

Цель многих исследований по оптимальному проекти­рованию состоит в том, чтобы выявить наиболее эффективный из способов оптимизации. Обычно при оптимальном проектировании конструкций имеется широкий выбор переменных проектирования, варьированием которых можно влиять на величину критерия качества. Например, уменьшение веса конструкции может быть достигнуто в результате распределения толщин, управления ани­зотропией материалов, армирования, создания предварительно напряженного состояния и т. д. Важно знать, какие способы оп­тимизации или их комбинации приводят к большему выигрышу по функционалу. Даже в тех случаях, когда по причинам большой стоимости или трудностям технологического характера возмож­ности создания оптимальных конструкций ограничены, исследо­вание оптимальных проектов имеет важное значение, так как позволяет теоретически оценить качество традиционных неопти­мальных конструкций. Действительно, используемые на практике конструкции могут оказаться близкими к оптимальным и их даль­нейшее улучшение – экономически неоправданным. Однако вы­яснить это можно, только проведя соответствующие исследова­ния по оптимальному проектированию.

Далее на конкретных примерах обсудим некоторые вопросы, связанные с введением переменных проектирования.

Размерность. Здесь под размерностью векторных функ­ций будем понимать не число компонент вектора, а количество независимых переменных, от которых зависят скалярные функции состояния. Размерность функции состояния зависит от многих факторов: формы конструкции, свойств материалов, характера внешних воздействий, условий закрепления конструкции и т. д. Уменьшение размерности функций состояния в конкретных зада­чах от трех до двух или даже до единицы обусловливается нали­чием симметрии, а также осреднениями но одной или двум из пространственных координат (тонкостенные конструкции). В от­личие от функций состояния размерность переменных проекти­рования может быть произвольна, и этим обстоятельством можно пользоваться при постановках задач. Действительно, при опти­мальном проектировании некруглых пластинок переменной тол­щины распределение прогибов (функция состояния) зависит от двух независимых координат х, у в плоскости пластинки. В то же время распределение толщин (переменная проектирования) мо­жет рассматриваться либо так же, как функция двух переменных h (x, у), либо как функция только одной из независимых координат, например h(x). Заметим, что рассмотрение «управлений» понижен­ной размерности хотя и не столь эффективно в смысле выигрыша по функционалу, однако представляет определенный интерес в связи с их более простой практической реализацией. Другим примером использования в двумерных задачах одномерных управ­лений является проектирование оптимальных стрингеров и шпан­гоутов, подкрепляющих пластинки и оболочки.

При оптимальном проектировании балок часто рассмат­риваются задачи, когда поперечное сечение балки меняется вдоль пролета. Имеются различные возможности как задания типа по­перечного сечения балки, так и способов изменения параметров сечения по пролету балки. Например, можно рассматривать бал­ки круглого сечения, радиус которых r меняется по пролету, т. е. r = r (x), или балки прямоугольного поперечного сечения пере­менной высоты h1(x) и ширины h2(x). Поэтому в качестве перемен­ных проектирования (будем обозначать через h) могут принимать­ся одна или несколько функций, задание которых полностью определяет форму балки, т. е. вид поперечного сечения и закон изменения геометрических размеров (параметров) сечения по пролету. Так, для сплошных балок круглого поперечного сече­ния задание функций r = r(х) фиксирует их форму, а для сплошных прямоугольных балок задание формы происходит при выборе двух функций h1(x) и h2(x).

Основной жесткостной характеристикой балок, фигурирующей в дифференциальных уравнениях равновесия и граничных усло­виях, является величина ЕI, где Е – модуль Юнга материала балки, а I – момент инерции поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через нейтральную линию балки. Через посредство этой величины в основном и проявляется влияние способа распределения «толщин» на функцию прогибов.

Ограничим рассмотрение зависимостями вида:

 

,

 

где Aa – константа, зависящая от типа поперечного сечения стержня и модуля Юнга. Для стержней постоянного прямоуголь­ного сечения a = 0, A0 = Eh₂h₁3/12 (h2 – ширина, a h1 – высота сечения). Для сплошных прямоугольных стержней переменной высоты h1 и постоянной ширины h2 имеем a = 3, h = h1, A3 = Eh2/12. В случае переменной ширины сечения h2(х) и постоянной высоты a = 1, h = h2 и A1 = Eh13/12. Если отношение высоты се­чения к ширине остается величиной постоянной (h1/h2 = m) по пролету балки, а поперечные сечения представляют собой подоб­ные прямоугольники, то a = 4, h = h1, A4 = E/12m..

Часто бывает удобным при оптимальном проектировании балок брать в качестве управляющей функции распределение площадей сечений S = S (x). Связь между S и ЕI различна для разных ти­пов балок и представляется формулой

 

аналогичной предыдущей формулой. Так, для балок прямоугольного поперечного сечения переменной ширины и постоянной высоты эта зависимость имеет вид ЕI = Eh12 S(x)/12. В случае же постоянной ширины h2 = const и переменной высоты h1(x) имеем EI = (E/12 h22) S3(x). Для круглых балок переменного радиуса EI (x) = (E/4 p) S2 (x).

При оптимальном проектировании упругих пластин и отыска­нии распределений толщин между цилиндрической жесткостью EI и толщинами пластинки h также используется первая из двух приведенных зависимость. Равенства a = 1 и a = 3 соответствуют случаям трехслойной и сплошной пластин. В случае a = 3 под h понимается тол­щина пластинки, a A3 = E/(12 (1 – n2)), где n – коэффициент Пуассона материала пластинки. В случае a = 1 конструктивная переменная ½ h имеет смысл толщины внешних армирующих слоев пластинки, а А1 = ЕН2/[4 (1 – n2)], где H – постоянная толщина среднего слоя.

В качестве переменных проектирования в теории оптими­зации конструкций могут приниматься коэффициенты уравнений, граничных условий, ограничений, а также сами границы областей, где определены эти уравнения (задачи с неизвестными границами). Вопросы оптимизации коэффициентов и границ обычно рассмат­риваются отдельно и для решения этих задач используются раз­личные методы. Однако это разделение часто оказывается услов­ным. Так, в ряде случаев можно использовать отображение иско­мой области на некоторую заданную каноническую область. При этом неизвестные функции, задающие отображение областей, бу­дут уже фигурировать в качестве неизвестных коэффициентов в уравнениях и функционалах, определенных на канонической об­ласти.

 

Основные ограничения

 

Необходимые ограничения представляют собой условия несущей способности и работоспособности отдельных элементов.

Для растянутых элементов ограничения представляют собой условия прочности растянутых элементов вида:

 

 

где i – номер элемента; Fi – площадь поперечного сечения; Ri – расчетное сопротивление; Ni – расчетное усилие в элементе.

Если растянутый элемент гибкий (канат или пучок про­волок), то для того, чтобы предотвратить возможность исклю­чения его из работы, записывается также ограничение на знак усилия, т. е. условие работоспособности

N_i≥ 0

 

Для сжатых элементов необходимые ограничения пред­ставляют собой условия устойчивости

j_iR_iF_i – N_i ≥ 0

 

где ji – коэффициент продольного изгиба; Ni – расчетное усилие сжатия в элементе, записанное со знаком «плюс». Для изогнутых элементов ограничения записываются как условия прочности или общей устойчивости:

 

 

где r_i = W_i/F_i – ядровое расстояние характерного сечения; М_j – расчетный изгибающий момент в характерном (опасном сечении изгибаемого элемента; j – номер характерного (опасного) сечения; jsi – коэффициент снижения расчетной сопротивления при потере общей устойчивости балок.

Поскольку в изгибаемом элементе возможно несколько опасных сечений, два последних ограничения должны быть записаны для каждого из них. Если изгибаемый элемент имеет переменное по длине сечение, его следует аппроксимировать элементом ступенчатого сечения, имеющего в пределах длины каждой ступени постоянное сечение. При этом i будет номером участка элемента (ступени). Эти ограничения должны быть записаны для опасных сечений в пределах каждого участка. Соответственно и в выражение целевой функции должна входить сумма объемов или стоимостей всех участков.

Для растянуто-изогнутых элементов ограничение – условие прочности – имеет вид:

 

 

Для сжато-изогнутых элементов решающим может быть либо условие прочности, либо, что чаше, условие устойчивости. Тогда ограни­чение будет таким:

Из всех перечисленных ограничений только первые два являются линейными (площадь поперечного сечения элемен­та – линейная функция действующего в нем растягивающе­го усилия). Что же касается остальных ограничений, то и для линейно деформируемых систем они являются сложными нелинейными зависимостями. Чтобы применить для решения оптимизационных задач линейное программирование, необхо­дима их линеаризация, которая производится следующим об­разом: в условиях устойчивости центрально-сжатых элемен­тов вводится допущение о постоянстве коэффициента продольного изгиба ji. Действительно, его значения колеб­лются в сравнительно узких пределах – от 1 до наименьше­го значения, определяемого предельной гибкостью. Напри­мер, предельная гибкость поясов ферм, опорных раскосов и стоек, передающих опорные реакции, равна 120. что соответствует значениюj = 0.448 (для стали класса С38/23).

Как показали многочисленные исследования, изменение значений коэффициентов продольного изгиба и снижения рас­четного сопротивления при потере общей устойчивости балок js в этих пределах мало сказывается на результатах решения задачи оптимизации в части распределения внутренних уси­лий. Тем не менее, возможно построение итерационного про­цесса, в котором на каждом шаге итерации значения указан­ных коэффициентов уточняются.

Ядровое расстояние r изменяется в значительных пределах и может существенно влиять на результаты оптимизационно­го расчета. Вместе с тем, в определенных и доста­точно широких пределах величину r, как и величины j и js. можно принимать постоянной, определив первоначально ее значение на основании опыта проектирования или приближенных расчетов.

 

3.7. Методы поиска оптимальных конструктивных вариантов

 

Решение любой задачи оптимизации ищут определенными методами, зависящими от условий рассматриваемой задачи проектирования, степени изученности проектируемой конструктивной формы, уровня подготовки проектировщика. При всем многообразии методы поиска оптимальных решений можно условно объединить в три основные группы: сравнение вариантов, решение экстремальных задач, математическое программирование.

Метод сравнения вариантов заключается в разработке по имеющемуся технологическому заданию нескольких возможных вариантов проекта конструкции и сравнении полученных результатов по какому-либо критерию. Относительная простота этого метода позволяет решать задачи любой сложности, варьируя компоновочными и геометрическими параметрами, материалами, формами и размерами сечений элементов, типами узлов и соединений.

Основным недостатком метода сравнения вариантов, помимо весьма большой трудоемкости, является то, что в качестве лучшего принимается один из рассмотренных вариантов. В то же время оптимальное решение может оказаться за пределами рассмотренных вариантов.

Математические методы решения экстремальных задач нашли применение в задачах проектирования, содержащих один, реже несколько искомых параметров. Суть метода заключается в составлении аналитического выражения оптимизируемого функционала и последующего исследования его на экстремум. Применение ЭВМ в настоящее время позволяет решать и многопараметрические задачи.

Основные недостатки этих методов – сложность установления прямых аналитических зависимостей между искомым функционалом и оптимизируемыми параметрами, а также трудности, связанные с нахождением глобальных минимумов исследуемых функционалов, которые для многопараметрических задач оказываются весьма сложными.

В значительной мере преодолеть препятствия, возникающие при попытках аналитическим путем определить оптимальные параметры конструкции, позволяет математическое программирование. С его помощью можно решать задачи, описываемые не только жесткими уравнениями, но и значительно более гибкими неравенствами, очерчивающими область допустимых решений.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. DSM-IV-TR: Основные характеристики.
2. I. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ НАПИСАНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
3. I.1. Основные предпосылки и механизмы развития речевой деятельности
4. II. Основные задачи управления персоналом.
5. II. Основные принципы создания ИС и ИТ управления.
6. III. Основные идеологические течения в истории гражданского права. Идеализм и позитивизм
7. III. Основные учебники, учебные пособия, словари и хрестоматии.
8. IV. Критерии оценки выпускных квалификационных работ
9. IV. ОСНОВНЫЕ ПРИЧИНЫ ЗАБОЛЕВАНИЙ.
10. IV. Основные условия культуры
11. Microsoft Office Word. Дополнительные функции
12. V. Критерии оценки индивидуального проекта