Основные статистические характеристики случайных величин

Д е т е р м и н и р о в а н н о й называется такая величина, значение

которой постоянно и не изменяется в течение времени наблюдения за ее поведением. Значение с л у ч а й н о й величины невозможно предсказать при единичном наблюдении. Количественные характеристики случайного параметра не могут бытьраз и навсегда определены, так как они меняются во времени. Строго говоря, любая

физическая величина случайна, а детерминированная трактовка оправдана лишьточностью выполнения расчетов.

Из вышесказанного следует, что большинство параметров, характеризующихработу любой механической системы, случайны. Тогда, используя аппарат теориивероятностей, а в более сложных случаях и аппарат теории случайных функций, можно предсказать и количественно описать случайные закономерности, возникающие в процессе работы машин и механизмов.

Основные числовые характеристики случайных величин. Числовые характеристики случайной величины определяются из анализа единичных реализаций, происходящих в период наблюдения за этой величиной. Наука, которая занимаетсяметодами обработки опытных данных, полученных в результате такого наблюдения, называется математической статистикой. Поэтому методы обработки случайных величин называются статистическими.

Математическая статистика подробно анализирует поведение случайных величин. В данной главе приведены основные понятия теории вероятностей и математической статистики, которые необходимы для понимания физической сути проблем,

связанных с проектированием машин, механизмов и конструкций.

В простейшем случае случайное событие имеет два возможных исхода — да

или нет. Если при большом числе испытаний количество благоприятных исходов

равно числу неблагоприятных, то говорят, что случайные события взаимно независимы. Под в е р о я т н о с т ь ю благоприятного исхода понимают отношение фактического числа таких исходов к полному числу испытаний. Очевидно, что вероятность появления одного из двух независимых случайных событий равна 1/2.

Рис 2.1.1 Рис. 2.1.2.

Наблюдения за случайными событиями показали, что реализация двух последовательных благоприятных исходов происходит с вероятностью 1/4. Это означает, что вероятность сложного события, составленного из любого числа простых взаимно независимых, равна произведению вероятностей этих простых событий. В теории вероятностей такой вывод формулируется как теорема умножения вероятностей.

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом

распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайнойвеличины обычно задается с помощью гистограммы. Каждому значению случайнойвеличины Xiотвечает определенная вероятность Pi. В качестве примера на рис. 2.1.1 приведена гистограмма рассеяния (разброса) погрешности X одного из линейных размеров деталей в партии, полученной в результате механической обработки. По горизонтальной оси откладываются различные возможные значения данной случайной величины, а именно погрешности линейного размера, а по вертикали — количество деталей, имеющих такую погрешность. Если в интервал Δ xпопало niзначений случайной величины из общего количества N , то вероятностьPiпоявления такого значения равна:

P= ni/N

Рассчитав вероятности каждого из текущих событий, можно получить совокупность вероятностей и также изобразить ее в виде гистограммы, составленной изотрезков прямых. При Δ x→ 0 кусочно-линейная функция может быть замененанепрерывной функцией f (x), называемой ф у н к ц и е й п л о т н о с т и в е р о я т н о с т и. График функции f (x) называется к р и в о й р а с п р е д е л е н и я (рис.2.1.2). Геометрически вероятность P(x₀< Х< x)попадания случайной величиныX в диапазон (x₀, x)равна площади заштрихованной криволинейной трапеции:

Рис. 2.1.3.

P(x₀< Х< x)=ò ^х_х0=f(x)dx

Случайная величина может представлять собой совокупность более простых величин. В качестве примера рассмотрим контакт двух плоских деталей (рис.2.1.3). Случайным здесь является размер A, полученный в результате сложения взаимно независимых случайных размеров A1 и A2. Рассеяние линейных размеров A1 и A2 вызвано ошибками изготовления и может быть описано функциями плотности вероятности f₁( x 1) и f₂( x 2) соответственно (рис. 2.1.4). Полученный после контакта размер A также оказывается рассеянным и характеризуется функцией плотности f (x), аргумент которой равен x₁+ x 2. Результат сложения можно определить прямым подсчетом. Для этого под кривой плотности f₁( x 1) выделяем элементарный участок dx1. Число деталей из первой партии, имеющих размер x1, равноN f₁( x₁) dx₁. Аналогично для деталей из второй партии — N f₂( x₂) dx₂из них имеют размер x2. Вероятность того, что одновременно найдутся детали с размерами x1 и x2, по теореме об умножении вероятностей равна произведению

f x = f₁( x₁) f₂( x₂).

Рис. 2.1.4.

Различные виды функций плотности вероятности. Функция плотности вероятности случайной величины в общем случае может иметь совершенно произвольный вид. Однако есть ряданалитических зависимостей, которые используются в математической статистике в качествефункций плотности наиболее часто. Остановимся на них более подробно. Показательное (экспоненциальное) распределение. Случайная величина имеет показательное распределение, если ее функция плотности вероятности представима в виде:

Рис. 2.1.5.

где положительная величина θ — параметр распределения (рис. 2.1.5).

Равномерное распределение. Говорят, что случайная величина распределена на участке от aдо b равномерно, если f (x) на этом участке постоянна (рис. 2.1.6),

Распределение называют еще равновероятным.

Рис. 2.1.6.

Треугольное распределение. Если случайная величина на участке (a, b) представляет собой сумму двух других случайных равномерно распределенных величин, то можно показать, что функция плотности вероятности этой величины подчиняется так называемому треугольному распределению:

Рис. 2.1.7.

Нормальное распределение. Можно показать, что алгебраическая сумма шести и более равномерно распределенных случайных величин дает случайную величину, распределенную по нормальному закону (закону Гаусса). Нормальный закон распределения играет важнейшую роль в теории вероятностей вообще и в ее инженерных приложениях в частности. Среди других законов распределения он занимает особое место. Нормальным распределением можно описатьлюбое сложное событие, составленное из совокупности простых взаимно независимых случайных явлений. Вот почему например, фактический разброс линейных размеров деталей после механической обработки подчиняется именно закону нормального распределения. Функция плотности вероятности в этом случае имеет вид

где x m и σ — параметры нормального распределения, т. е. математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение соответственно. Кривая нормального распределения имеет симметричный колоколообразный вид (рис. 2.1.8).

Рис. 2.1.8.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒