Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа: если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции: при . Для отрицательных значений аргумента, пользуются теми же таблицами, так как функция φ (x) чётна, т.е. φ (-x)=φ (x). Итак, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближённо равна где .

Интегральная теорема Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие A появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближённо равна определённому интегралу: где и .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределённый интеграл не выражается через элементарные функции. Итак, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях от k₁ до k₂ раз: где и .

Формулы полной вероятности и Байеса.

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить в результате появления одного из событий Н1, Н2, …, Нn, которые образуют полную группу. Эти события будем называть гипотезами.

Теорема: Полная вероятность события А равна сумме парных произведений всех гипотез, образующих полную группу на соответствующие условные вероятности события А, т.е.

Р(А) =

Доказательство: Р(А) = Р(Н₁ А + Н₂ А + …+ Н_n А) = Р(Н₁ А) + Р(Н₂ А) + …+ Р(Н_n А) = Р(Н₁ )Р_H1 (А) + Р(Н₂ )Р_H2 (А) + Р(Н_n )Р_Hn (А).

Формула Байеса

Если событие А в результате испытания произошло, то возможно переоценить вероятность гипотез Н_i, образующих полную группу, по формуле Бейеса:

, где Р(Н_i) – вероятность гипотезы, РА­(Н_i) – вероятность гипотезы Н_i после переоценки, при условии, что событие А уже произошло; Р_Hi­(А) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы Н_i.

Доказательство: Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий А и Н_i в двух формах:

откуда или с учетом формулы полной вероятности . Эта формула называется формулой Байеса.

Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики.

Случайную величину можно задать законом распределения вероятностей.

Законом распределения называется таблица, в первой строке которой перечислены все значения случайной величины, а во второй – соответствующие им или вероятности, или частости, или частоты (Pi, Wi, Mi )

Сумма вероятностей полной системы событий равна 1.

Случайная величина может быть задана полигоном.

Полигоном называется многоугольник, вершинами которого являются точки (xi, рi), взятые из закона распределения, а сторонами – отрезки, соединяющие эти точки.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание.

Математическое ожидание ДСВХ равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е.

Если ДСВХ принимает счетное множество значений, то

Свойства математического ожидания

1. М(С) =С, где С=const;

2. М(СХ)= СМ(Х);

3. М(XY) =M(X)M(Y), где Х и У- независимые случайные величины;

4. М(Х+У) = М(Х) +М(У), где Х и У- независимые случайные величины.

Заметим, что математическое ожидание для данной ДСВХ есть величина постоянная.

Для полного представления о ДСВХ недостаточно знать только математическое ожидание.

Дисперсией ДСВХ (D(X)) называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания. Для вычисления D(X) пользуются формулой, которая выводится на основании свойств математического ожидания:

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Законы распределения: биноминальный, равномерный, нормальный, показательный, Пуассона.

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: