Понятие матрицы. Виды Матриц.

Е.Ю. Романова

 

МАТЕМАТИКА

 

Курс лекций

для студентов инженерного факультета

направлений подготовки 23.03.01, 23.03.03 и 35.03.06

 

Тверь

Тверская ГСХА

 

 

Романова Е.Ю. Математика: курс лекций для студентов инженерного факультета направлений подготовки 23.03.01, 23.03.03 и 35.03.06 / М.Ю. Петров. – Тверь: Тверская ГСХА, 2016. – 83 с.

 

Курс лекций рассмотрен и утвержден на заседании предметно-методической комиссии кафедры ФМД и ИТ (протокол №1 от 12 сентября 2016 г.).

 

Курс лекций содержит научно-теоретические знания и освещает содержание дисциплины в соответствии с рабочей программой дисциплины «Информационные технологии в отрасли».

Курс лекций предназначен для студентов инженерного факультета направлений подготовки 23.03.01, 23.03.03 и 35.03.06.

 

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

 

ФГБОУ ВО Тверская ГСХА

Лекция № 1

Тема: Матрицы и определители.

План:

1. Понятие матрицы. Виды Матриц.

2. Действия над матрицами.

3. Виды определителей и правила их вычисления.

4. Минор, алгебраическое дополнение.

5. Свойства определителей.

6. Обратная матрица.

7. Ранг матрицы.

Понятие матрицы. Виды Матриц.

Определение. Матрицей размера m n называется таблица чисел, , содержащая m строк и n столбцов.

= или = , =1, 2, …, , 1, 2, …, .

– элемент матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца.

Определение. Если , то матрица называется квадратной n-го порядка, в противном случае – прямоугольной.

Элементы , = 1, 2, …, n квадратной матрицы А образуют ее главную диагональ.

Матрица размера 1хn называется матрицей-строкой, а матрица размера – матрицей-столбцом.

Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть

На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой .

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.

 

2. Действия над матрицами

Определение. Пусть = и = , =1, 2, …, , =1, 2, …, – матрицы размера . Матрица = также размера называется суммой матриц и , если , =1, 2, …, , =1, 2, …, .

Пример. = , = =

Определение. Произведением матрицы = размера на число называется матрица = того же размера, элементы которой , =1, 2, …, , k=1, 2, …, .

Пример. = =

Определение. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Определение. Матрица называется противоположной для и обозначается .

Очевидно, что для любой матрицы А.

Определение. Разностью матриц и одного размера называется сумма и обозначается .

Определение. Транспонированной матрицей для матрицы размера называется матрица размера , полученная из заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами.

То есть, если = , то , =1, 2, …, , =1, 2, …, .

Пример. = ;

Определение. Если = , то матрица А называется симметрической.

Все диагональные матрицы симметрические, так как равны их элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Справедливы следующие свойства операции транспонирования:

Определение. Пусть = – матрица размера , = – матрица размера . Произведение этих матриц – матрица = размера , элементы которой вычисляются по формуле:

, =1, 2, …, , =1, 2, …, ,

то есть элемент -й строки и -го столбца матрицы равен сумме произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы .

Пример.

= , =

Произведение – не существует.

Замечание. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной.

Пример.

Обратная матрица

Определение. Матрица называется обратной для матрицы , если она вместе с удовлетворяет условию: , где – единичная матрица.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если . Если , то называется вырожденной.

Пример. по свойству 6 определителей, то есть – вырожденная.

, значит, – невырожденная.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем одну.

Обратная матрица для матрицы - го порядка имеет вид:

.

Пример. Найти матрицу, обратную для .

=3 существует.

Проверка:

Ранг матрицы.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rangА, или r (А).

Из определения следует:

а) ранг матрицы А_тхп не превосходит меньшего из ее размеров,

т.е. r (А).≤ min(т; п)

б) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю,

т.е. А =0;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r ≥ п тогда и только тогда, когда матрица А - невырожденная.

Теорема. Рангматрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Определение: Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

Замечание. Условие r≤ k всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r, так как имеется минор r-го порядка, не равный нулю:

Пример: Определить ранг матрицы

Решение: Все миноры третьего порядка равны нулю, т.к. каждый определитель содержит нулевой столбец.

Есть минор второго порядка, отличный от нуля

Следовательно, ранг r(A)=2.

 

Лекция №2

Тема: Решение систем линейных уравнений

План:

1. Общие понятия системы линейных уравнений.

2. Формулы Крамера.

3. Метод обратной матрицы.

4. Метод Гаусса.

Формулы Крамера.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x_i = где D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i =

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x₁ =

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x₂ =

D₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₃ =

Замечание 1. Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹ 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

Замечание 2. При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

 

Метод обратной матрицы.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Пусть дана система уравнений: Составим матрицы:

A = - матрица коэффициентов при переменных или матрица системы;

B = - матрица –столбец свободных членов;

X = - матрица – столбец неизвестных.

Тогда систему уравнений можно записать: A× X = B. Домножим слева обе части равенства на A^-1: A^-1× A× X = A^-1× B, т.к. А^-1× А = Е, то Е× Х = А^-1× В, то справедлива следующая формула:

Х = А^-1× В

Таким образом, для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу.

Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30≠ 0 ⇒ обратная матрица существует.

M₁₁ = ; M₂₁ = ; M₃₁ = ;

M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ =

M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =

A^-1 = ;

Cделаем проверку:

A× A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = × = .

Получили решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

 

4.Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

 

Полагая, что в системе коэффициент a₁₁ отличен от нуля (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x₁). Преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x₁ с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.

В полученной системе

,

считая, что (что всегда можно получить, переставив уравнения или слагаемые внутри уравнений), оставляем без изменений первые два уравнения системы, а из остальных уравнений, используя второе уравнения, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную x₂. Во вновь полученной системе

при условии оставляем без изменений первые три уравнения, а из всех остальных с помощью третьего уравнения элементарными преобразованиями исключаем неизвестную x₃.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

1) если в результате приходим к системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

3) если получается ступенчатая система коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

Рассмотрим квадратную систему: (1)

У этой системы коэффициент a₁₁ отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x₁ не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a₁₁¹ 0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x₁ (это и являлось целью преобразований 1 – 4): (2)

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде матрицы

. (3)

Матрица (3) называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы.

Системе (2) соответствует расширенная матрица

.

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a₂₂ не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x₁ исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x₂ — из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x₃ из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a₃₃ ¹ 0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой: .

Полученная матрица соответствует системе

. (4)

Из последнего уравнения этой системы получаем x₄ = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x₃ = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x₂ = 1, а из первого — x₁ = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x₄, затем x₃ и т. д.).

Определение: Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей.

Матрица коэффициентов системы (4) – треугольная матрица.

Замечание: Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Рассмотрим другой пример: . (5)

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы:

1) первую строку оставим без изменения;

2) вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой;

3) вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой;

4) четвертую строку заменим разностью между четвертой и первой;

5) пятую строку заменим разностью пятой строки и удвоенной первой.

В результате преобразований получим матрицу

.

Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, приведем ее элементарными преобразованиями к следующему виду:

.

Если теперь, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки привести к нулю коэффициенты при x₃ в четвертой и пятой строках, то после деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получим матрицу

.

Каждая из двух последних строк этой матрицы соответствует уравнению 0x₁+0x₂+0x₃+0x₄+0x₅ = 0. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел x₁, x₂, ¼, x₅, и его следует удалить из системы. Таким образом, система с только что полученной расширенной матрицей эквивалентна системе с расширенной матрицей вида

. (6)

Последняя строка этой матрицы соответствует уравнению
x₃ – 2x₄ + 3x₅ = –4. Если неизвестным x₄ и x₅ придать произвольные значения: x₄ = С₁; x₅ = С₂, то из последнего уравнения системы, соответствующей матрице (6), получим x₃ = –4 + 2С₁ – 3С₂. Подставив выражения x₃, x₄, и x₅ во второе уравнение той же системы, получим x₂ = –3 + 2С₁ – 2С₂. Теперь из первого уравнения можно получить x₁ = 4 – С₁+ С₂. Окончательно решение системы представляется в виде .

Рассмотрим прямоугольную матрицу A, у которой число столбцов m больше, чем число строк n. Такую матрицу A назовем ступенчатой.

Очевидно, что матрица (6) — ступенчатая матрица.

Если при применении эквивалентных преобразований к системе уравнений хотя бы одно уравнение приводится к виду

0x₁ + 0x₂ + ¼ 0x_n = b_j (b_j ¹ 0),

то система несовместна или противоречива, так как ни один набор чисел x₁, x₂, ¼, x_n не удовлетворяет этому уравнению.

Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к ступенчатому виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.

В последней системе можно получить все решения, придавая конкретные числовые значения параметрам С₁ и С₂.

Определение: Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали ступенчатой матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются основными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x₁, x₂, x₃. Остальные переменные называются неосновными. В рассмотренном выше примере это переменные x₄, и x₅. Неосновным переменным можно придавать любые значения или выражать их через параметры, как это сделано в последнем примере.

Основные переменные единственным образом выражаются через неосновные переменные.

Определение: Если неосновным переменным приданы конкретные числовые значения и через них выражены основные переменные, то полученное решение называется частным решением.

Определение: Если неосновные переменные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением.

Определение: Если всем неосновным переменным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базисным.

Замечание: Одну и ту же систему иногда можно привести к разным наборам основных переменных. Так, например, можно поменять местами 3-й и 4-й столбцы в матрице (6). Тогда основными будут переменные x₁, x₂, x₄, а неосновными – x₃ и x₅.

Определение: Если получены два различных набора основных переменных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число переменных, называемое рангом системы.

Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений: .

Проведем преобразование расширенной матрицы системы по методу Гаусса:

.

Как видно, мы не получили ступенчатой матрицы, однако последнюю матрицу можно преобразовать, поменяв местами третий и четвертый столбцы: .

Эта матрица уже является ступенчатой. У соответствующей ей системы две неосновные переменные – x₃, x₅ и три основные – x₁, x₂, x₄. Решение исходной системы представляется в следующем виде:

.

Приведем пример системы, не имеющей решения:

.

Преобразуем матрицу системы по методу Гаусса:

.

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению 0x₁ + 0x₂ + 0x₃ = 1. Следовательно, исходная система несовместна.

 

Лекция № 3.

Тема: Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

План:

1. Понятие вектора. Коллинарность, ортогональность и компланарность векторов.

2. Линейная операция над векторами.

3. Скалярное произведение векторов и его применение

4. Векторное произведение векторов и его применение

5. Смешанное произведение векторов и его применение

1. Понятие вектора.Коллинарность, ортогональность и компланарность векторов.

Определение: Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.

Обозначение: , ,

Определение: Длиной или модулем вектора вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Определение: Вектор называется нулевым, если начало и конец вектора совпадают.

Определение: Вектор единичной длины называется единичным. Определение: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( || ).

Замечание:

1.Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

2. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение: Два вектора называются равными, если они коллинеарные,

одинаково направлены и имеют одинаковые длины ( = )

Определение: Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях

2. Линейные операции над векторами:

Произведением вектора на число λ называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если λ > 0, и противоположно ему, если λ < 0

Противоположным вектором – называется произведение вектора на число (-1), т. е. – =(-1)

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольников)

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма, где вектор представляет собой диагональ параллелограмма

Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

Например, суммой четырех вектор является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило многоугольника)

Вектор , определяемый таким образом, представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда)

Разностью двух векторов называется сумма вектора и вектора , противоположного (можно вычитать векторы по правилу , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору )

Замечание: в параллелограмме, построенном на векторах , одна направленная диагональ является суммой этих векторов, а другая – разностью.

Определение: Координатами вектора называются координаты его конечной точки.

y

На плоскости Oxy координатами вектора являются числа x и y ( (x, y)), а в пространстве Oxyz – три числа x, y, z ( (x, y, z))

В соответствии с приведенными выше операциями над векторами, имеем:

пусть даны векторы (x₁, y₁) и (x₂, y₂), тогда

1. = (x₁ +x₂, y₁+y₂)

2. = (x₁ - x₂, y₁- y₂)

3.

4.

Аналогично, для вектора в пространстве (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂)

1. = (x₁ +x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

2. = (x₁ - x₂, y₁- y₂, z₁ - z₂)

3.

4.

Лекция № 4.

Тема: Линейные пространства, базис. Линейные преобразования.

План:

1. Понятие линейного пространства.

2. Исследование системы векторов на линейную зависимость и линейную независимость.

3. Базис пространства.

4.Отыскание собственных векторов и собственных значений линейного преобразования.

 

Базис пространства.

Определение: Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (п+1) векторов уже являются зависимыми.

Размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Число п называется размерностью пространства R и обозначается dim (R).

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: