Порядка с постоянными коэффициентами

Если , то уравнение будет иметь вид:

и называться линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть приведено к виду

Общее решение этого уравнения определяется формулой

где - общее решение соответствующего однородного уравнения , а - частное решение исходного уравнения .

В простейших случаях, когда функция является показательной, или многочленом, указанное частное решение находится с помощью метода неопределенных коэффициентов.

1. Если , где - постоянные, то частное решение ищут в виде , когда не является корнем характеристического уравнения или в виде , когда - простой корень характеристического уравнения, или , когда - кратный корень указанного уравнения.

2. Если , где - постоянные, то частное решение ищут в виде , когда , и в виде , когда .

3. Если , где - многочлен степени , то частное решение дифференциального уравнения ищут в виде в случае, когда , и в виде , когда , .

Пусть дано неоднородное уравнение

правая часть которого есть сумма двух функций и .

Если является частным решением , а - частным решением , то - частное решение .

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни

Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой .

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.

Так как в данном случае (т.е. имеет вид где , ) и не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде .

Найдя производные этой функции и , и подставляя выражения для , в исходное уравнение, получаем .

Так как - решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех , т.е. является тождеством: , откуда . Следовательно, частное решение имеет вид .

Соответственно, общее решение .

 

Лекция № 19.

Тема: Числовые ряды

План:

1. Основные понятия.

2. Признаки сходимости рядов.

3. Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды.

 

Основные понятия.

Определение: Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂…u_n…, соединенных знаком сложения: u₁ +u₂+…+u_n+…=

Числа u₁, u₂…u_n – называются членами ряда, член u_n – называется общим или n-ым членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член: u_n=f(n), n=1, 2, …

Пример:

1) 2+5+8+11+14+… общий член равен u_n=2+3(n-1)

2) +…общий член u_n=

Определение: Частичной суммой ряда называется сумма первых n –слагаемых ряда. Обозначается: S_n

Определение: Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т. е. , S- сумма ряда.

Определение: Если конечный предел последовательности частичных сумм не существует или равен ∞, то ряд называется расходящимся.

Пример: Найти сумму ряда:

Решение: Составим частичную сумму:

Учитывая, что

Тогда

Следовательно, S=1

Свойства сходящихся рядов:

1. Если ряд u₁ +u₂+…+u_n+… сходится и имеет сумму S, то и ряд

λ u₁ +λ u₂+…+λ u_n+…, полученный умножением данного ряда на число λ, также сходится и имеет сумму λ S

2. Если ряды u₁ +u₂+…+u_n+… и v₁ +v₂+…+v_n+… сходятся и их суммы соответственно равны S₁ и S₂, то ряд (u₁ + v₁)+(u₂+ v₂)+…+(u_n+v_n)+…, представляющий собой сумму данных рядов, также сходится и его сумма равна S=S₁+S₂

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного ряда путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов.

Определение: Ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием его первых n-членов, называется n-ым остатком ряда и обозначается r_n

4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы при n→ ∞ остаток ряда стремился к нулю, т.е.

Признаки сходимости рядов.

Теорема: (Необходимый признак сходимости).Если ряд сходится, то предел его общего члена u_n при n→ ∞ равен нулю, т. е.

Следствие: Если предел общего члена ряда u_n при n→ ∞ не равен нулю, т. е. , то ряд расходится

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение: , следовательно, необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.
Замечание: Рассмотренная теорема выражает лишь необходимый признак, но недостаточный признак сходимости ряда. Если , то из этого еще не следует, что ряд сходится. (Например: 1+ )

Теорема: (Признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами и , при чем члены первого не превосходят членов второго ряда, т.е при любом n ≤

Тогда:

1. Если сходится второй ряд, то сходится и первый ряд

2. Если расходится первый ряд, то расходится и второй ряд.

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение: Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом: +…+

Члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда , то на основании признака сравнения исходный ряд сходится

«Эталонные ряды», используемые для сравнения:

1. Геометрический ряд сходится при и расходится при

2. Гармонический ряд расходится

3. Обобщенный гармонический ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1

Теорема: (Предельный признак сравнения). Если и ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся, либо расходятся

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом (выбор такого ряда для сравнения может подсказать то, что при больших n ). Так как , то ряд расходится, т. к. расходится гармонический ряд.

Теорема (Признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1) – го члена к n – му члену . Тогда, если l< 1, то ряд сходится, если l> 1, то ряд расходится, если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример 1: Исследовать сходимость ряда:

Решение: Составим предел отношения

.

По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 2: Исследовать сходимость ряда:

Решение: Составим предел отношения

Указание: (n+1)! =n! (n+1)

По признаку Даламбера ряд расходится.

Замечание: Если , то ряд расходится.

Теорема (Признак Коши).Если для ряда с положительными членами u₁+u₂+u₃+…+u_n+… величина имеет конечны предел l при n→ ∞, т. е. , то:

1. если l< 1, то ряд сходится

2. если l> 1, то ряд расходится

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение:

Следовательно, ряд сходиться

Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть дан ряда , члены которого положительны и не возрастают, т.е. u₁≥ u₂≥ u₃≥ …≥ u_n≥ …, а функция f(x), определенная при x≥ 1, непрерывная и невозрастающая и f(1)=u₁, f(2)=u₂, …f(n)=u_n, …Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

Пример: Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда

Решение: Пусть f(x)= . Функция f(x) при x> 0 (а значит и при x≥ 1) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла

Если α =1, то

Если α ≠ 1, то

Данный ряд сходится при и расходится при .

 

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться: