Запись квадратичной формы в матричном виде

Определение: Пусть – квадратная матрица размеров , а – произвольный вектор-столбец из Rⁿ. Квадратичной формой называется выражение вида ,

при этом, матрица А называется матрицей квадратичной формы, а ее ранг - рангом квадратичной формы.

Пример. Определить квадратичную форму с матрицей Согласно имеем:

Определение: Квадратичная форма называется симметрической, если – симметрическая матрица.

 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Каноническим видом квадратичной формы называется ее выражение в виде суммы квадратов координат некоторого вектора из Rⁿ: .

Определение: Невырожденная матрица называется ортогональной, если .

Утверждение. Для каждой симметрической квадратичной формы существует линейное преобразование с действительной ортогональной матрицей , приводящее ее к каноническому виду.

Используя данное утверждение в левой части и учитывая, что по свойству операции умножения матриц , а также определение , нетрудно получить соотношение , откуда следует, что числа в суть собственные значения матрицы .

Исследование на положительную (отрицательную) определенность.

Определение: Симметрическая квадратичная форма, или, что, в сущности, то же – симметрическая матрица, называется положительно (отрицательно) определенной, если для всех ненулевых выполняется

.

Утверждение. Собственные значения положительно (отрицательно) определенной матрицы строго положительны (отрицательны).

Утверждение. (Критерий Сильвестра знаковой определенности симметрической квадратичной формы) Симметрическая квадратичная форма с матрицей тогда и только тогда является:

1) положительно определенной, когда все миноры матрицы , которые расположены симметрично относительно ее главной диагонали строго положительны, т.е.

, , , ..., ;

2) отрицательно определенной, когда знаки миноров матрицы , которые расположены симметрично относительно ее главной диагонали, чередуются строго в следующем порядке:

, , , и т.д.

Именно знаковая определенность квадратичной формы, связанной с исследуемой функцией многих действительных переменных, позволяет идентифицировать так называемую стационарную точку функции, как точку локального минимума или максимума.

Лекция № 6.

Тема: Прямая линия на плоскости

План:

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

2. Угол между прямыми на плоскости, его вычисление.

3. Условие параллельности двух прямых.

4. Условие перпендикулярности двух прямых.

5. Расстояние от точки до прямой.

 

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

Определение.Уравнением линии называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии

Обозначение: В общем виде F(x, y)=0 или y=f(x) (если возможно),

где F(x, y), f(x) – некоторые функции

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

имеет вид y=kx+b, где k-угловой коэффициент прямой, равный k=tgα

Частные случаи:

ü b=0, следовательно, y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат и образует острый угол α с осью OX при k=tgα > 0 и тупой угол α с осью OX при k=tgα < 0

ü α =0, следовательно, k=tg0=0, следовательно, y=b- уравнение прямой, параллельной оси OX

ü α = , следовательно, k=tg – не существует, следовательно, x=a- уравнение прямой, перпендикулярный оси OX

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом

Пусть дана точка A(x₀, y₀), которая лежит на прямой l и задан угловой коэффициент k=tgα , тогда уравнение прямой имеет вид

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две токи, принадлежащие прямой l: A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), при чем x_a≠ x_b, y_a≠ y_b, тогда уравнение прямой имеет вид

4. Уравнение пучка прямых Если в уравнении

k-произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку M(x, y), кроме прямых,

y

параллельных оси OY, где нет углового коэффициента. (x, y)-координаты центра пучка прямых

5. Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая l отсекает на осях координат OX и OY отрезки соответственно а≠ 0 и в≠ 0.

a

Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки А(а, 0) и В(0, в) =1

6. Общее уравнение прямой

Имеет вид Ax+By+C=0, где А и В – одновременно не равны 0 т. е. А²+В²≠ 0

Частные случаи:

ü В=0, A≠ 0 Ax+C=0 (Обозначим: x=a уравнение прямой, параллельной оси OY(x=0 - уравнение оси OY)

ü Пусть В≠ 0

(Обозначим ).

a. Если A≠ 0 и С ≠ 0, то y=kx+b-уравнение прямой с угловым коэффициентом.

b. Если A≠ 0 и С =0, то y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат

c. Если A=0 и С ≠ 0, то y=b – уравнение прямой, параллельной оси OY

d. Если A=0 и С=0, то y=0 – уравнение оси OX

7.Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Заданы точка М(x₀, y₀) и ненулевой вектор . Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному ненулевому вектору имеет вид

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Это уравнение можно записать в виде Ax+By+C=0, где А и В- координаты нормального вектора, С= - Ax₀ – By₀ – свободный член.

 

Угол между двумя прямыми.

Пусть даны две прямые ,

Обозначим ,

Тогда угол между этими прямыми определяется по формуле или .

Данный угол получается поворотом прямой к прямой против часовой стрелки

 

3. Условие параллельности прямых

Если прямые параллельны, то угол =0

Если прямые заданы общими уравнениями + , + =0, то , , тогда условие параллельности прямых имеет вид .

4. Условие перпендикулярности прямых

Если прямые перпендикулярны, то угол =

Если прямые заданы общими уравнениями + , + =0, то , , тогда условие перпендикулярности прямых имеет вид

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: