Виды определителей и правила их вычисления.

Каждой квадратной матрице можно по определенным правилам поставить в соответствие некоторое число, которое называется ее определителем.

Определителем первого порядка называется число, соответствующее квадратной матрице , которое равно самому элементу .

Определителем второго порядка называется число, соответствующее квадратной матрице , которое вычисляется по правилу:

Пример.

Определителем третьего порядка называется число, соответствующее квадратной матрице , которое вычисляется по правилу:

Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников.

Пример.

Минор, алгебраическое дополнение.

Определение. Минором элемента квадратной матрицы называется определитель матрицы, получаемой из вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Пример.

и так далее: матрица третьего порядка имеет 9 миноров.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется число .

Пример.

Для матрицы :

Для матрицы : и так далее.

Определение. Определителем квадратной матрицы порядка называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом:

Это равенство называется разложением определителя по элементам первой строки.

Пример.

 

5. Свойства определителей:

1. Определитель можно разложить по элементам первого столбца:

Замечание 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

2. При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется: .

Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны.

3. Если в определителе поменять местами две строки (два столбца), то определитель изменит свой знак, не изменившись по абсолютной величине.

4. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на число , то величина определителя умножится на это число.

Замечание 2. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Замечание 3. Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю.

6. Определитель, имеющий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю.

7. Определитель можно разложить по элементам любой строки (любого столбца): - разложение определителя по элементам -й строки.

или - разложение определителя по элементам -го столбца.

8. Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) на

алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки

(столбца) равна нулю, то есть при и при .

9. Определитель не изменится от прибавления ко всем элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

10. Определитель произведения двух матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц: ( – квадратные матрицы одного порядка).

Пример. , так как элементы первой и второй строк этого определителя соответственно пропорциональны.

 

Обратная матрица

Определение. Матрица называется обратной для матрицы , если она вместе с удовлетворяет условию: , где – единичная матрица.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если . Если , то называется вырожденной.

Пример. по свойству 6 определителей, то есть – вырожденная.

, значит, – невырожденная.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем одну.

Обратная матрица для матрицы - го порядка имеет вид:

.

Пример. Найти матрицу, обратную для .

=3 существует.

Проверка:

Ранг матрицы.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rangА, или r (А).

Из определения следует:

а) ранг матрицы А_тхп не превосходит меньшего из ее размеров,

т.е. r (А).≤ min(т; п)

б) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю,

т.е. А =0;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r ≥ п тогда и только тогда, когда матрица А - невырожденная.

Теорема. Рангматрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Определение: Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

Замечание. Условие r≤ k всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r, так как имеется минор r-го порядка, не равный нулю:

Пример: Определить ранг матрицы

Решение: Все миноры третьего порядка равны нулю, т.к. каждый определитель содержит нулевой столбец.

Есть минор второго порядка, отличный от нуля

Следовательно, ранг r(A)=2.

 

Лекция №2

Тема: Решение систем линейных уравнений

План:

1. Общие понятия системы линейных уравнений.

2. Формулы Крамера.

3. Метод обратной матрицы.

4. Метод Гаусса.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: