Применение производной к исследованию функции.

2.1. Интервалы возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (признак монотонности дифференцируемой функции).

Пусть функция дифференцируема . Если то не убывает, если же то не возрастает на .

Интервалы, на которых функция либо убывает, либо возрастает, называются интервалами монотонности.

Пример. Найти интервалы монотонности функции

Исследуем знак производной (см. рис.)

+ – + -1 3 х

Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутках .

2.2. Экстремумы функции.

Теорема (Ферма) 2.(необходимое условие экстремума дифференцируемой функции).

Пусть функция имеет в точке экстремум. Если в этой точке существует производная, то

Замечание 1. Необходимое условие экстремума достаточным не является.

Пример. , но точка точкой экстремума не является.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых или не существует; при этом точки, в которых , называются стационарными точками.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Теорема 3. (первое достаточное условие экстремума непрерывной функции).

Пусть непрерывная функция дифференцируема всюду на за исключением, быть может, критической точки . Если при и при , то – точка минимума; если же при и при , то – точка максимума.

То есть, если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «-» на «+», то в критической точке функция имеет минимум; если с «+» на «-» - то максимум; если же при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Пример. Найти экстремумы функции

Исследуем знак производной

В критической точке экстремума нет, в критической точке – минимум и

2.3. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

Пусть график функции имеет касательные во всех точках интервала .

Определение. График функции называется выпуклым вверх (вниз) на , если во всех точках он лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

На график выпуклый вверх, на – выпуклый вниз.

Определение. Точкой перегиба графика функции называется точка , отделяющая участок графика, выпуклый вверх, от участка, выпуклого вниз.

В этой точке график, можно сказать «перегибается» через касательную.

Теорема 4. (достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции). Пусть функция имеет непрерывную вторую производную . Тогда, если , то ее график имеет выпуклость, направленную вверх, если , то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз.

Теорема 5. (необходимое условие точки перегиба). Пусть функция имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки перегиба . Тогда

Теорема 6. (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки и . Тогда, если при переходе через меняет знак, то – точка перегиба; если не меняет знак, то точкой перегиба не является.

2.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой, если расстояние от точки , лежащей на этой кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль одной из ветвей кривой в бесконечность.

Асимптоты бывают трех видов: горизонтальные, вертикальные, наклонные. – горизонтальная асимптота – вертикальная асимптота – наклонная асимптота

Определение. Прямая является вертикальной асимптотой кривой , если хотя бы один из односторонних пределов в точке бесконечен.

В этом случае в точке функция имеет разрыв второго рода.

Пример. 1. Функция определена при всех , причем , поэтому график этой функции имеет бесконечное множество вертикальных асимптот.

2. График функции имеет, очевидно, три вертикальные асимптоты: .

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если представима в виде:

Теорема. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции . Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты: ,

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

2.5. Общая схема исследования функции и построение ее графика

1) Область существования функции (область значений и область определения функции).

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба. (Если они имеются).

8) Асимптоты. (Если они имеются).

9) Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥ ).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥ ).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ ¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢ ¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢ ¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢ ¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢ ¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢ ¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢ ¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Дифференциал функции.

Пусть функция определена в окрестности и имеет производную в этой точке

При этом . Тогда для достаточно малых можно записать

Причем при . В этом случае приращение функции можно записать в виде

Или

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

где не зависит от , но вообще зависит от .

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Таким образом, сказать, что имеет производную в точке или что дифференцируема в точке - это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.

Доказательство.

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления ∆ y в виде , где можно положить .

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, если , можно записать

Предел левой части при существует и равен :

Это означает, что существует производная .

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: