Отыскание собственных векторов и собственных

значений линейного преобразования

Определение: Пусть – квадратная матрица размеров . Если в Rⁿ существует ненулевой вектор такой, что для числа выполняется

, то называется собственным значением, а вектор – правым собственным вектором матрицы , соответствующим ее собственному значению .

Замечание. Помимо правых собственных векторов иногда используются также итак называемые левые собственные векторы матрицы , которые удовлетворяют уравнению

Необходимость в различении правых и левых собственных векторов матриц обусловлена тем, что операция умножения матриц и, в частности, умножения матрицы на вектор, не коммутативна.

Матричное уравнение с помощью преобразований приводится к эквивалентному виду: , где – единичная матрица тех же размеров, что и матрица .

В развернутой форме матричное уравнение является однородной СЛАУ с квадратной матрицей относительно координат собственного вектора:

Данную СЛАУ можно решить по формулам Крамера. Она является однородной и может иметь ненулевое решение в том случае, если ее определитель равен 0. Таким образом, имеет место уравнение , которое называют характеристическим уравнением матрицы .

Левая часть уравнения представляет собой полином степени n относительно собственного значения , коэффициенты которого различным образом выражаются через элементы матрицы .

Если уравнение так или иначе решено, т.е. найдены собственные значения , то после подстановки каждого из них в исходную СЛАУ получают однородную СЛАУ конкретного вида для определения собственного вектора матрицы , который соответствует ее конкретному собственному значению.

Поскольку матрицы СЛАУ исходного типа являются, по определению, вырожденными, то в указанных СЛАУ всегда, по крайней мере, одно из уравнений является линейной комбинацией остальных уравнений. После удаления из СЛАУ такого уравнения они становятся недоопределенными относительно неизвестных и, следовательно, имеют бесконечно много решений. Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Каждому собственному значению матрицы соответствуют бесконечно много собственных векторов, которые отличаются друг от друга постоянным множителем.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Корни этого уравнения, т.е. собственные значения матрицы , равны: , и .

Собственному значению соответствует собственный вектор , координаты которого определяем, решая однородную СЛАУ вида:

Из первых двух уравнений данной СЛАУ следует, что .

После подстановки этого значения в СЛАУ получаем три эквивалентных уравнения, из которых оставим, например, первое, т.е. . Тогда, выбирая в качестве свободной переменной , получаем .

Полагая , находим общее выражение для собственного вектора :

.

Собственному значению соответствует собственный вектор , координаты которого определяем, решая однородную СЛАУ вида:

Так как третье уравнение этой СЛАУ есть удвоенная сумма первых двух, т.е. их линейная комбинация, то его можно удалить из СЛАУ. В этом случае СЛАУ принимает следующий вид:

Складывая оба уравнения, получаем , откуда следует .

Полагая , находим общее выражение для собственного вектора :

.

Собственному значению соответствует собственный вектор , координаты которого определяем, решая однородную СЛАУ вида:

Так как первое и второе уравнения СЛАУ отличаются только знаками коэффициентов, то удалив из СЛАУ, например, первое уравнение, получаем СЛАУ вида:

Сложив второе уравнение данной СЛАУ с ее первым уравнением, умноженным на 2, получим уравнение , откуда следует, что .

Полагая , находим общее выражение для собственного вектора :

Сравнение результатов примера показывает, что различным собственным значениям матрицы соответствуют различные собственные векторы. Однако можно показать, что эти векторы, кроме того, еще и линейно независимы.

В самом деле, принимая для определенности , составим из координат найденных собственных векторов матрицы матрицу

,

которая, как легко убедиться, невырожденная: , что и означает линейную независимость векторов .

Утверждение. Собственные векторы невырожденной матрицы, соответствующие ее различным собственным значениям линейно независимы.

 

Свойства собственных значений матриц:

· Все собственные значения симметрической матрицы , т.е. матрицы, у которой для всех ее элементов выполняется , действительные числа.

· Сумма всех собственных значений матрицы равна сумме ее диагональных членов, т.е. .

· Произведение всех собственных значений матрицы равно значению ее определителя, т.е. .

 

 

Лекция № 5.

Тема: Квадратичные формы

План:

1. Запись квадратичной формы в матричном виде

2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции.

3. Исследование на положительную (отрицательную) определенность.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: