Частные производные функции нескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать . Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Частные производные высших порядков.

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение: .

Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Пример. Вычислить производные второго порядка и от функции .

.

3. Экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство

, то точка М0 называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство

, то точка М0 называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x, y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум. Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи. Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума: =0 (1)

Кроме того: (2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

4. Производная по направлению.

Как известно, производная функции одной переменной характеризует скорость ее изменения при изменении . Поэтому, очевидно, частная производная функции по переменной характеризует скорость изменения этой функции в результате изменения , или, по-другому, в направлении оси , а частная производная по – скорость изменения функции в направлении оси . Однако, в каждой точке плоскости, кроме этих двух направлений, существует еще бесконечное множество других, и во многих случаях представляет интерес скорость изменения, или производная функции, по любому заданному направлению.

Рассмотрим функцию . На произвольно направленной оси в плоскости XOY выберем фиксированную точку и переменную точку (см. рис.)

Определение. Производной функции в точке по направлению называется .

Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке в направлении .

Выведем формулу вычисления производной по направлению. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат зафиксирована точка – произвольная, а направление образует с положительным направлением угол (см. рис.). Обозначим . Тогда , поэтому функция на выбранном направлении фактически зависит от одной переменной Поэтому в соответствии с определением

.

Пусть теперь – функция трех переменных, – фиксированная, – произвольная точка и – направляющие косинусы заданного направления в пространстве. Тогда, и

.

Определение. Градиентом функции в точке называется вектор .

Замечание: указывает на направление наискорейшего возрастания функции в точке M. При этом скорость наибольшего возрастания в данной точке равна .

Пример. Вычислить производную по направлению вектора функции в точке , если . Найти направление наискорейшего возрастания этой функции в точке .

Найдем частные производные первого порядка в точке :

.

Найдем вектор заданного направления и его направляющие косинусы:

.

Производная по направлению . Это означает, что движение в направлении вектора из точки , лежащей на поверхности, будет подъемом (высота будет увеличиваться).

Направление наискорейшего возрастания функции в точке – .

 

Лекция № 16.

Тема: Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

План:

1. Понятие дифференциального уравнения 1 – го порядка

2. Уравнения с разделяющими переменными

3. Однородные дифференциальные уравнения 1 – го порядка.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

5. Уравнения Бернулли

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: