Понятие линейного пространства.

Определение. Линейным пространством называется совокупность (множество) элементов (объектов) , в котором задано правило, ставящее в соответствие каждым двум элементам некоторый третий элемент, называемый их суммой: , и указано правило, ставящее в соответствие каждому элементу и каждому числу некоторый новый элемент этой же совокупности, называемый их произведением: .

При этом выполняются следующие условия (аксиомы):

1) – коммутативности;

2) – ассоциативности;

3) существования в пространстве нейтрального (нулевого) элемента , от прибавления которого никакой вектор не изменяется:

;

4) существования в пространстве для каждого элемента элемента , противоположного ему, такого, что в сумме они дают нулевой элемент : ;

5) ;

6) – ассоциативность относительно умножения на число;

7) – дистрибутивность относительно сложения чисел;

8) – дистрибутивность относительно сложения элементов.

Определение: Линейное пространство называется векторным пространством. Элементы векторного пространства называются векторами.

Если действие умножения на числа определено только на множестве вещественных чисел , то векторное пространство называется вещественным; если – на множестве всех комплексных чисел , то –комплексным векторным пространством.

Примеры линейных пространств:

1. Совокупность многочленов всех степеней с комплексными коэффициентами: образует линейное пространство. -элементом здесь является многочлен, у которого все коэффициенты нуль; противоположным элементом является многочлен, у которого все коэффициенты те же, что у исходного, но с противоположным знаком. Легко проверить выполнение и всех остальных аксиом.

2. Легко убедиться, что совокупность многочленов, степени , также является линейным пространством. Однако совокупность многочленов степени уже не является линейным пространством. Сумма таких многочленов может вывести за пределы этого множества; оно не содержит - элемента.

Следствия из аксиом:

1. единственность - элемента.

2. единственность противоположного элемента.

3. умножение любого вектора на число нуль дает -элемент.

4. умножение любого вектора на число дает противоположный элемент.

 

Исследование системы векторов на линейную зависимость и линейную независимость.

Определение: Линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …..а_n называется вектор вида где λ ₁, λ ₂ , … λ _n - любые действительные числа.

Определение: Система ненулевых векторова₁, а₂, …..а_n называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ ₁, λ ₂ , λ ₃ не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

Если же равенство для данной системы векторов возможно лишь при λ ₁=0, λ ₂=0, … λ _n=0, то данная система векторов называется линейно независимой.

Свойства векторов линейного пространства:

1. Если среди векторов а₁, а₂, …..а_n имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если часть векторов а₁, а₂, …..а_n являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые

3. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима.

Базис пространства.

Определение: Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (п+1) векторов уже являются зависимыми.

Размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Число п называется размерностью пространства R и обозначается dim (R).

Определение: Совокупность п - линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Теорема. Каждый вектор х линейного пространства R можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Теорема. Если e₁, e₂…, e_n — система линейно независимых векторов пространства R и любой вектор а линейно выражается через e₁, e₂…, e_n, то пространство R является n-мерным, а векторы e₁, e₂…, e_n — его базисом.

Разложение вектора по базису

Пусть система векторов а₁, а₂, …..а_n является базисом, а вектор b — их линейная комбинация. Тогда верна следующая теорема.

Теорема: Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Таким образом, в произвольном базисе пространства R а₁, а₂, …..а_n любой вектор этого пространства можно представить в виде разложения по базисным векторам , причем это разложение является единственным для данного базиса.

Числа называются координатами вектора b в этом базисе.
Для нахождения коэффициентов разложения α в случае произвольного базиса, нужно приравнять соответствующие координаты линейной комбинации векторов слева и координаты вектора b.

Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый и новый Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса и новому задается матрицей перехода , коэффициентами которой являются коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису и записываются в столбцы этой матрицы. Эта матрица неособенная, так как ее строки являются (а следовательно, и базисные векторы) линейно независимыми.

Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы А ^-1.

Зависимость между координатами вектора в разных базисах.

Пусть вектор х имеет координаты (х₁, х₂, …х_n) относительно старого базиса и координаты (х₁^*, х₂^*, …х_n^*) относительно нового базиса, т.е.

, т.е. в матричной форме или

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: