Анализ надежности системы при нечетком оценивании надежности ее элементов

Анализ надежности систем при нечетком оценивании надежности ее элементов представляет значительный практический интерес. Прежде всего к нему сводится оценка надежности системы по результатам испытаний ее компонент. В результате испытаний элементов системы получаем сравнительные показатели надежности элементов.

Как в этом случае получить доверительные пределы надежности системы? В настоящее время имеются решения только для отдельных частных случаев [3].

Представляя доверительные интервалы как нечеткое оценивание надежности можно решить весьма широкий круг задач.

 

Рассмотрим пример. Пусть заданы ССН системы и ее дерево отказов (см. рис

1 5

3

5555

2 4

 

Рис. 6.1. Структурная схема надежности

 

 

 

 

Рис. 6.2. Дерево отказов ССН, представленной на рис. 6.1.

 

Структурная функция у(Х), построенная по данному дереву, имеет вид

Будем считать, что элементы функционируют независимо.

Так как элементы на дереве отказов безповторны, то сразу можем получить h(r).

 

 

Если известны вероятности работы элементов за заданное время t, то функция надежности может быть представлена следующим образом

где p_i, i = 1, …, 5, есть значения ВБР элементов рассматриваемой системы. Если ввести обозначение q_i = 1 - p_i для вероятности отказа i-ого элементы, то формула (6.1) преобразуется к виду

и, соответственно, ВБР системы может быть вычислена по формуле

P=(1-q₃) (1-q₁q₂)(1-q₄q₅) (6.3)

 

Если заданы нечеткие ВБР элементов вида

P_i = {< p_i, μ _Pi (p_i)> } (6.5)

то они легко могут быть преобразованы к НМ Q_iпо правилу:

 

Тогда, подставив выражение для Q_i из (6.4.) в формулу (6.3), получим

Для вычисления ВБР системы по формуле (6.7.) необходимо уметь осуществлять операции перемножения нечетких множеств и вычитания их из единицы. Данные операции реализуются с помощью принципа обобщения Л.Заде [8], согласно которому

Q_i Q_j= {< q_ij, μ _{Qi Qj} (q_ij)> }

(6.8)

где q_ij = q_i q_j,

(6.9)

μ _{Qi Qj} (q_ij) = sup [μ _Qi (q_i) ^ μ _Qj (q_j)] (6.10)

1 - Q_i = { < p_i, μ _{i - Qi} (p_i) > }, (6.11)

где p_i = 1 - q_i, (6.12)

μ _{i - Qi} (p_i)= μ _Qi (q_i), (6.13)

 

При произвольном виде функции принадлежности НМ (6.4) вероятность (6.7) можно вычислить лишь приближенно с помощью дискретизации непрерывных НМ [4]. Однако данный способ является достаточно громоздким и дает приближенные результаты. В работе [9] предлагается ограничиться функцией принадлежности трапецеидальной формы, что позволяет получить аналитические выражения для расчета ФП НМ P.

Пусть вероятность отказа i-го элемента сложной системы есть нечеткое множество вида

определяемое функцией принадлежности

График данной ФП изображен на рис. 6.3.

Можно показать (см. [9] ), что произведение нечетких множеств Q_i и Q_j. есть нечеткое множество с функцией принадлежности

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.3. График функции принадлежности нечеткого множества Q_i

 

График ФП μ _{Qi Qj} (q_ij) изображен на рис. 6.4 сплошной линией.

Несмотря на то, что принятое выше допущение (6.14) о виде ФП НМ Q_i позволяет получить выражения для ФП результирующего НМ Q_i Q_i в явном виде, формула (6.16) достаточно сложна для практических расчетов.

 

 

 

 

 

Функция принадлежности данного нечеткого множества изображена на рис. 6.4 пунктирной линией.

 

 

 

Рис. 6.4. Графики функций принадлежности

 

Пусть max { Q_i Q_j } = Q_i, либо min { Q_i Q_j } = Q_j, тогда отношение порядка определяется следующим образом: Q_i > Q_j. ЕслиQ_iвключает Q_j, то есть Q_i > Q_j, то Q_i > Q_j. В других случаях Q_iи Q_j считаются эквивалентными: Q_i ≈ Q_j.

 

Примечание. Приведенное правило ранжирования нечетких множеств Q_iи Q_j введено в предположении о том, что рассмат­риваемые нечеткие множества являются нормальными и выпуклыми.

Нечеткое множество Q_i является нормальным и выпуклым тогда и только тогда, когда существует такое q_i^*, что max_qi { μ _Qi (q_i) } = μ _Qi (q_i^*) = 1,

а Q_iα ={ q_i| μ _Qi (q_i) ≥ α } есть выпуклое множество для любого α.

Тогда можно показать [10], что

 

 

(6.22)

( 6.23)

можно рассчитать нечеткую оценку P^* для вероятности безотказной работы системы:

(6.24)

 

 

Так как на практике для ряда элементов сложных систем существуют значения их ВБР, определённые традиционными статистическими методами, то в выражение для ВБР системы наряду с ВБР элементов, представленными в виде нечетких множеств, войдут значения ВБР в виде обычных чисел. В этом случае можно трактовать обычное число как частный случай нечеткого множества с функцией принадлежности, равной единице и все операции выполнять по приведенным в данном пункте формулам.

 

6.3. Сравнение результатов нечеткого оценивания надежности с требованиями

 

Одним из этапов анализа надежности сложной системы является принятие решения о том, удовлетворяет или нет уровень ее надежности предъявляемым требованиям. Обычно решение данной задачи сводится к сравнению рассчитанного значения показателя надежности с некоторой величиной Р_тр из интервала [0, 1]. В случае, если показатель надежности (например, ВБР) превышает либо равен Р_тр, считают, что необходимый уровень надежности достигнут. Данная задача решается без особых затруднений.

Однако в случае нечеткого оценивания безотказности системы проверка удовлетворения требованиям становится нетривиальной и требует пояснений.

Рассмотрим наиболее общий случай, когда и ВБР системы Р и требования к ней Р_тр заданы нечетко. Тогда имеем

P = {< p, μ _P (p)> }, (6.25)

P _тр = { p, μ _Pтр (p)} (6.26)

Указанные нечеткие множества изображены на рис.2.6.

Для решения поставленной задачи преобразуем нечеткое множество P _тр, которое задает нижний предел для значений ВБР системы, в нечеткое множество Р_доп , представляющее мно­жество допустимых значений ВБР:

Р_доп = {< p, μ _Pдоп (p)> }, (6.27)

 

 

Рис. 6.5.Проверка выполнения требований к безотказности системы.

где

c и d есть нижняя и верхняя границы носителя нечеткого множества P _тр.

Носителем нечеткого множества P _тр является обычное множество S_Pтр , для которого справедливо

Q_iα ={ p | μ _Pтр (p) ≥ 0 } (6.30)

 

Тогда можно сформулировать следующее правило.

 

Значение β обычно берется равным 0.5. Можно ввести индекс совместимости ξ , принимающий значе­ния 0 либо 1:

 

Расчет μ ^P_Pдоп по формуле (2.110) связан с интегрированием функций принадлежности НМ P и НМ P_доп. Если ФП указанных множеств заданы в явном виде, удобном для интегрирова­ния, то данная задача решается сравнительно легко. В противном случае можно применить следующий приближенный алгоритм:

а) Определяем a и b - минимальную и максимальную границы носителя S_p нечеткого множества

S_P = { p | μ _P (p) ≥ 0 }.

б) Задаемся шагом дискретизации Δ p нечеткого множества P и формируем дискретный носитель S^д _P:

S^д _P = { a; a+ Δ p; …; a+ (k-1)Δ p; …; b }

Δ p = (b – a)/N,

где N - количество интервалов.

в) Определяем мощность множества P по формуле:

N (P) = μ _P (p_k)

где

p_k = a+ (k-1)Δ p.

г) Определяем мощность множества P ∩ P_доп по формуле

N (P ∩ P_доп) = min [ μ _P (p_k), μ _Pдоп (p_k)].

д) Определяем совместимость НМ P и P_доп :

- рассчитываем функцию совместимости μ ^P_Pдоп :

μ ^P_Pдоп =

- сравнивая значение μ ^P_Pдоп со значением уровня β, определяем индекс

совместимости ξ :

 

 

 

Данный метод позволяет использовать произвольные функции принадлежности.

 

 

6.4. Преобразование нечеткой оценки надежности к четкому виду

 

Пусть дана оценка ВБР системы в виде нечеткого множества P

P = {< p, μ _P (p)> }.

Необходимо найти обычное множество Р, которое наилучшим образом по некоторому заданному критерию описывало бы результаты нечеткого оценивания ВБР.

В работе [Корман А. Введение в теорию нечетких множеств, 1982] в качестве такого критерия предлагается минимум евклидова расстояния, которое определяется по формуле:

при этом обычное множество, евклидово расстояние от которого до множества B минимально, называется ближайшим к B и обозначается A.

В нашем случае задача сводится, таким образом, к нахождению обычного множества Р минимально удаленного от НМ Р на евклидово расстояние, определенное как

 

Задача нахождения четкого множества Р решена (см. [9], стр. 38 ), и искомая ФП имеет вид:

Таким образом, Р Р.

Левая граница множества Р есть в данном случае формальный аналог нижней граничной оценки ВБР системы и может использоваться в дальнейших расчетах.

Рис.2.7 иллюстрирует особенности решения рассмотренной задачи.

 

 

 

Рис. 6.6. Определение обычного множества, ближайшего к нечеткому.

 

В заключение необходимо отметить, что при использовании данного правила перехода к обычному множеству, одному и тому же четкому множеству Р могут соответствовать различные ис­ходные НМ. На рис.2.7 показана ситуация с двумя НМ Р₁ и Р₂.

Очевидно, что степень доверия к четкой оценке ВБР должна зависеть от формы исходного НМ, степени его нечеткости, близости ФП НМ Р к ФП множества Р. В качестве такой количественной характеристики степени доверия может использоваться квадратичный индекс нечеткости, определяемый посредством евклидова расстояния [9]:

Таким образом, итоговая оценка ВБР имеет вид:

 

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: