Цель 5. Выяснить, какие еще существуют методы решения иррациональных уравнений.

Этапы и виды деятельности учеников представлены в табл. 3.

Таблица 3

Этап	Вид деятельности учеников	Время, мин
1. Целеполагание	Эвристическая беседа с учителем, коллективное обсуждение поставленных проблем, формулировка личных целей на данный урок и результат их достижения
2. Индивидуальная деятельность учеников по выполнению задания	Изучение соответствующего материала в учебнике, разбор приведенных примеров, выполнение задания и представление его результатов в указанной форме
3. Обсуждение выполнения заданий	Обсуждение выполненных заданий в группах, сформированных по уровням, представление заданий у доски участниками групп
4. Сведения из истории обсуждаемого вопроса	На основе краткого сообщения учителя о том, как решали задачи на составление иррациональных уравнений в Древней Греции и Древнем Египте, сравнение методов решения, рассмотренных на уроке, с историей вопроса

272 Глава 12. Личностно-ориентйрованные уроки

Окончание табл. .?

Этяа	Вид деятельности учеников	Время, • мин
5. Рефлексия	Осознание примененных способов познания, возникших проблем и путей их разрешения, постановка целей для работы дома	> 5• ) ь 1,
6. Задание на дом	Получение инструкций учителя по выполнению домашнего задания каждого уровня	2 |

Формулировки заданий ученикам даются на каждом этапе урока. Рассмотрим пример, как изучается материал на 2-м этапе урока. \ 2-й этап. Уровень I. Даны уравнения:

л/х⁴+19 = 10; л/2х-1=2; 3+> /Зх + 1=х; 7х + 2=72х-3;

х + 72х + 3 = 6; у/9-х² =^/х + 9; > /х+2=х; 7х²+5х+1 + 1-2х = 0.>

1. Распределите эти уравнения на несколько групп по какому-, либо признаку.

2. По какому признаку вы сгруппировали уравнения?

3. Чем отличается решение уравнений одной группы от другой?

4. Решение какой группы уравнений требует большего числа математических операций?

5. Какие из уравнений вы включите в свою карточку в качестве " образца? Решите их.

6. Какие из уравнений вы включите в свою карточку в качестве, заданий? Решите их.

7. Опишите общий алгоритм решения иррациональных урав-; нений методом возведения в квадрат обеих частей уравнения. {

8. Составьте карточку в соответствии с указанной в задании схемой; _; 1 Уровень II. Даны уравнения:

' V*⁴ +19=10; 3+л/3х+1=х; > /Зх² + 5х + 8-> /Зх² + 5х + 1=1; л/2х+1 = 7х²-2х+4; х²+5х+2-3> /х²+5х+2 = 4;

7х²-28 = 2; ^5+у[х+^5-^! х=4х; > /х³+8+л/х³+8 = 6.

1. Распределите эти уравнения на несколько групп по какому-либо признаку.

2. По какому признаку вы сгруппировали уравнения?

Математика

3. Чем отличается решение уравнений одной группы от другой?

4. Возможно ли решить все эти уравнения одним методом?

Каким?

5. Выберите любые два уравнения и решите их двумя способами. Сравните решения. Какой способ решения показался вам более рациональным?

6. Решите оставшиеся уравнения, не забывая выбрать более рациональный способ и выполнить проверку решения. Результаты выполнения задания занесите в таблицу в соответствии с предок^ женной схемой.

Уровень III. Даны уравнения: ____

72х+5-л/Зх-5=2; 7x^3 = 73^1; > /2х + 3 + л/2х + 1=1;

7х-5-л/2х-1=х² + 3; л/2-х+х-3 = л/х⁼Т;

7х+! +х²+х = 2+л/2; 7хЛ-л/х+1 = 3; 7х²-1 + 7x^2 =-1;

> /б-4х-х²=х+4; 10л/х=х+2.

1. Распределите эти уравнения на несколько групп по какому-либо признаку.

2. По какому признаку вы сгруппировали уравнения?

3. Чем отличается решение уравнений одной группы от другой?

4. В каких случаях не нужно было находить ОДЗ?

5. Сформулируйте результаты своего исследования в виде предписаний, подтвержденных примерами.

Предполагаемые результаты выполнения заданий учениками:

уровень I, П. Составленные учениками карточки и таблицы, которые будут отличаться между собой полнотой изложения теории, количеством примеров, подбором примеров;

уровень III. Уравнения могут быть сформированы по-разному, и результатами выполнения этого задания будут различные выводы учащихся о том, в каких случаях необходимо искать ОДЗ.

Культурно-исторические аналога по рассматриваемой проблеме.

Сообщение учителя о том, как решалась задача по нахождению катета прямоугольного треугольника, предложенная учащимся в самом начале урока, в Древнем Египте и об иррациональных числах в учении пифагорийцев.

Задание ученикам по рефлексии их деятельности.

Ученикам предлагается записать краткие ответы на вопросы:

— Перечислите мыслительные операции, которые вам пришлось сегодня использовать;

274 Глава 12. Личностно-ориентированные уроки

— Какая из них далась вам труднее других?

— Как вы преодолели встретившиеся трудности?

— Достигли ли вы поставленных в начале урока целей?

— Над чем вам еще надо поработать?

— Сможете ли вы справиться с ними самостоятельно? Формы контроля и оценки результатов урока.

Оценка проделанной работы каждого ученика в группах при обсуждении работ.

Ответ у доски представителей групп.

Проверка учителем выполненных заданий с выставлением отметки.

Задания на дом

Дома учащиеся продолжают работать над тем материалом, которым занимались на уроке. Причем разработанные ими карточки, таблицы и предписания используются как справочные материалы.

Уровень I. Примените знания, полученные на сегодняшнем уроке, и обобщите изученный метод. С помощью составленной вами карточки-консультанта решите методом возведения в одну и ту же степень примеры из учебника.

Уровень II. Даны уравнения:

^х²-3х+3 + ^х²-3х+6 = 3', V*² +х+7 +л]х² +х+2=> /Зх² + Зх+19; л1х²+х+4+у1х²+х+1 = ^2х²+2х+9; -у1х³+Ъ+Ух³+& = 6; ху1х² +15-ЛсУх² +15 = 2; х² +^х² +20 =225

х²-4х-6 = > /2х²-8х+12; ^х²-Зх + 5+х² =Зх+7.

Сделайте замену в каждом из этих уравнений (используйте разложение квадратного трехчлена на множители и выделение полного квадрата). Решите 5 любых уравнений, пользуясь составленной вами на уроке таблицей.

Уровень III. Решите уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения и пользуясь сделанными вами на уроке предписаниями:

V*³ +4х-1-8л/*⁴-х =л/*³-1+2> /х;

у! х²-х+^2-х-х² =у/х~-[;

6х²+7хЛ+х=2М1+х);

Математика

х⁵--^Зх-1 -100 =х⁵+#3; с-1-104;

1 + 2хУГ7_+2х2=1 2 Рефлексия учителя

1. Первое ощущение, которое возникло, это что я разрабатываю урок иначе, нежели раньше. Я постаралась заглянуть в себя и не пользовалась никакими книгами, кроме учебника математики и учебных материалов модулей 3 и 4. Учебный материал модулей содержит очень интересный и ценный материал. Разбирала и обдумывала каждый пункт, ведя как бы внутренний диалог сама с собой, вспоминая, применяла ли я это на практике и где могла бы применить.

2. Главным своим результатом я считаю то, что посмотрела на урок математики новым взглядом. Хотя я часто использую на своих уроках проблемное обучение, достаточно трудный для усвоения учащимися материал давала в виде готовых выводов. Наверное, раньше тему «Иррациональные уравнения» я дала бы детям в виде лекции. При работе над заданием 3 я все время помнила слова «образовательная среда», представляя себе, что я должна погрузить детей в такую атмосферу, в которой они будут полностью заняты изучаемой темой, будут стараться сделать какие-то открытия для себя.

В будущем хотелось бы попробовать разработать не один урок, а целую тему, поставив долгосрочные и ближайшие цели и составив задания таким образом, чтобы они проходили через всю тему, результатом работы учащихся над темой было бы их собственное маленькое исследование.

3. Трудно было подобрать такие задания, которые позволили бы слабым учащимся самим прийти к выводам о способах решения иррациональных уравнений, и такие, которые были бы интересны сильным, помогли им провести маленькое научное исследование. Чтобы справиться с этим, представляла себе своих учеников, вела с ними мысленный диалог о том, что им непонятно, какие вопросы возникают, какие трудности.

Другой проблемой оказалась рефлексия учащихся. Хотелось провести ее каким-то иным способом, чем просто задавание вопросов. Но эта трудность пока не решена.

4. Какие способы рефлексии при изучении сложных тем, направленные на осознание ребенком своих успехов и неудач в обучении, существуют? Выстраивание индивидуальной образовательной

276 Глава 12. Личностно-ориентированные уроки

траектории учеников возможно в любой момент их обучения? Или учащиеся должны быть как-то подготовлены к работе в новых условиях? Например, сейчас начиная с IV четверти можно ли перейти на работу с детьми по такой системе или это лучше делать с начала года?

А. В. Хуторской. Наиболее открытым для индивидуальных траекторий учащихся является 2-й этап вашего урока, с начальным заданием: «Распределите эти уравнения на несколько групп по какому-либо признаку». Это действительно открытое математическое задание без явно заданных решений и с возможностью различных путей его решения.

Согласен с вашими словами: «Считаю, что ключевой ситуацией должно стать обсуждение выполненных заданий в группах, когда учащимся предоставляется возможность сравнить свое выполнение задания с результатами, полученными другими учащимися...», важностью этой работы (рефлексивной по сути), а также с вашим опасением, что времени может не хватить. Очевидно, что если у ребят получится что-нибудь существенное, то времени на обсуждение точно не хватит. Лучше отвести этому часть следующего урока.

О ваших заданных в собственной рефлексии вопросах. Способов рефлексивной работы с детьми должно быть много. Любое обращение к проведенной деятельности по решенной (решаемой) задачи — уже рефлексия. Для детей интересны графические формы рефлексии типа «Начерти график изменения своей активности (продуктивности и т. п.) на протяжении урока» (ось у — 100%, ось х — этапы урока). Начиная с IV четверти можно дать возможность каждому ученику начать анализировать и оценивать (а может быть, и корректировать, если успеют) свою математическую деятельность в течение года.

Образовательные параметры, которые должны подлежать диагностике по теме «Иррациональные уравнения», 11 класс

Учитель В.В. Михайлова.

С точки зрения учащегося: выбираются параметры, которые соответствуют уровню изучаемой темы.

С точки зрения педагога оцениваются:

— умение решать иррациональные уравнения различными методами;

— умение выбрать наиболее рациональный способ решения;

— умение находить ОДЗ и определять необходимость ее нахождения.

Математика 277

Формы и способы диагностики индивидуальной образовательной деятельности учеников.

Текущая диагностика может проходить в форме проверочных работ, тестирования, беседы с учителем.

Образцы заданий:

1. Объясните, почему данные уравнения не имеют решения (проверяется умение находить ОДЗ, понимание необходимости ее нахождения):

> /х³+2+л/дс³-2=1; л/х¹2-л/х+3 = 4.

2. Сколько решений имеют уравнения (проверяется умение находить ОДЗ):

711х+3-л/2^ =, /9х+7-> /х^2; -1х^1 + у[х=--_г

х²+х+12л[х+1 = 36.

3. Рассмотрите решения уравнений. Какие переходы (равносильные или переход к следствию) используются при решении этих уравнений? (проверяется умение осознанно выбирать способ решения уравнений):

А.

#2х²-3л: +1=#5х-3; (^/2х²-3х+1)⁵=(^з)⁵;

2х²-3х+1 = 5х-3;

2х²-& с+4 = 0. Б.

у1х+4-у/х-4=у12х-6; х+Л-2у1х² -16+х-4=2х-б1 л/х²-16 = 3;

х²=25.

Формы проведения итоговой диагасчликимогутбыть различными: тест, контрольная работа, математическое сочинение и т. д. В качестве задания можно предложить учащимся написать математическое сочинение на тему «Откуда берутся посторонние корни? » К этому сочинению учащимся предлагается набор уравнений, которые они могут использовать в качестве примеров в своем сочинении. Таким образом проверяется не только понимание темы, но и полученные умения.

Глава 12. Личностно-ориентированные уроки

Примеры итогового контроля и формы оценки:

1) Математическое сочинение. Оценено может быть следующим образом: за правильное изложение теории — 1 балл, за правильное решение уравнений — 3 балла, за творческий подход к изложению материала — 1 балл. Таким образом, набирается традиционная отметка.

2) Традиционная контрольная работа. В математике это довольно эффективный вид итогового контроля. Оцениваются количество и сложность выполненных заданий. Позволяет определить уровень усвоения учеником учебного материала.

3) Зачет, который предусматривает помимо традиционного решения задач устный ответ ученика учителю. Здесь оценка может быть не только количественной, но и качественной.

4) В качестве контрольного задания эмоционально-образного типа можно было бы предложить следующее. Марк Твен сказал: «Кто не знает куда направляется, очень удивится, что попал не туда». Опишите, к чему могло бы привести решение иррациональных уравнений без знаний тех теоретических вопросов, которые вы изучили в данной теме.

5) Для осуществления самоконтроля и самооценки ученика можно предложить следующее задание, направленное на проверку понимания усвоенного материала:

Составьте иррациональные уравнения, которые:

А. Имеют два различных корня и решаются методом возведения в степень.

Б. Имеют два различных корня и решаются методом замены переменной.

В. Имеют один корень и решаются методом нахождения ОДЗ.

Г. Не имеют корней.

Дайте решить свои уравнения товарищу и проверьте правильность решения. Обсудите с ним составленные вами уравнения: чем они были интересны и что в них не понравилось.

. Итоговый контроль со стороны учителя должен проводиться после итоговой самооценки ученика. Таким образом, ученик будет иметь возможность доработать найденные им же самим недочеты. В тоже время итоговый контроль со стороны учителя должен носить не только контролирующий, но и координирующий характер.

Пример индивидуальной самооценки образовательных результатов ученика по изучаемой теме.

У меня есть незаурядный ученик. Он любит разобраться во всем сам, докопаться до самой сути. Кроме того, мальчик одаренный,

Математика

•279

обладает хорошими способностями практически по всем предметам, победитель многих олимпиад. Работать с ним и трудно и интересно, держишь себя под постоянным контролем. Попробую дать его самооценку, как я ее себе представляю.

На занятиях по теме «Иррациональные уравнения» я поставил перед собой цель разобраться в методах решения иррациональных уравнений и находить наиболее рациональные пути их решения. Я узнал, что к решению иррациональных уравнений применимы все те приемы, которые применимы к решению уравнений вообще. Но эти уравнения требуют особого внимания при их решении, потому что иногда уравнение выглядит довольно сложным, а решение его очевидно и вытекает из ОДЗ. Разбираться с иррациональными уравнениями было очень интересно, так как решение почти каждого уравнения представляет собой маленькое исследование. При этом развиваются такие качества, как внимание и логическое мышление.

Лучше всего у меня получалось выбрать рациональный способ решения. Прежде чем взяться за решение, я делал устную прикидку и почти всегда определял уравнения, которые не требуют решения, а только определения ОДЗ.

Некоторые уравнения, которые решаются способом замены, оказались трудными. Замена в них была неочевидна. Нужно было произвести математические операции, чтобы ее увидеть, и мне не всегда удавалось догадаться, как приступить к решению.

К общим знаниям о решении различных видов уравнений добавились знания о специальных приемах решения иррациональных уравнений. Четче стал представлять себе отношения равносильности и следствия. Стал более внимательным. Очень понравилась работа над математическим сочинением «Откуда берутся лишние корни? », почувствовал себя автором учебника, старался объяснить доступно и грамотно.

Желаю себе научиться решать такие иррациональные уравнения, которые содержат еще и другие функции, например тригонометрические, потому что они часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы.

Пример качественной характеристики учителем индивидуальных образовательных результатов ученика.

Главный результат твоего обучения решению иррациональных уравнений — это то, что ты стал более внимательно относится к решению математических задач, осознал, что прежде чем делать большие письменные выкладки, нужно оценить задачу, сделать прикидку, потому что решение часто лежит на поверхности. Ты хорошо воспользовался своим умением анализировать задачу и выбирать рациональный способ ее решения.

280 Глава 12. Личностно-ориентированные уроки

Хочу отметить твои работы «Всегда ли надо искать ОДЗ? », в которой ты выступил в качестве исследователями «Откуда берутся лишние корни? », в которой ты выступил в роли учителя. Обе они написаны математически грамотно и интересно.

Вместе с тем советую тебе не забывать пройденные темы. Решение некоторых уравнений тебе не удалось, так как ты старался найти необходимые пути решения только в недавно изученном материале.

Думаю, что тебе необходимо больше обсуждать свою работу с товарищами, совершенствовать свой математический язык.

Желаю тебе разобраться в трансцендентных уравнениях (тех, которые содержат различные функции) и научиться решать иррациональные уравнения с параметром. Они требуют еще большего внимания и анализа, чем обычные иррациональные уравнения, так что есть к чему применить твой потенциал.

Пример (табл. 4) количественной характеристики учителем индивидуальных образовательных результатов выбранного ученика по изучаемой теме (1 — низкий, 2 — ниже среднего, 3 — средний, 4 — выше среднего, 5 — высокий)

Таблица 4

Количественная характеристика - индивидуальных образовательных результатов

Креативные качества	Оценка	Когнитивные качества	Оценка	Оргдеятельно-стные качества	Оценка
Воображение		Логическое познание		Целеполагание
Интуиция		Эмоционально-образное познание		Планирование
Инициативность		Смысловое видение		Работоспособность
Придумывание		Умение задавать вопросы		Рефлексия
		Прогнозирование		Самооценка	4'
				Техника ведения дискуссий
				Навыки работы-в группе

Математика

Основная проблема, связанная с разработкой систем диагностики и контроля индивидуальных образовательных результатов, как мне кажется, заключается в том, что в сегодняшней школе всех учащихся оценивают по одному эталону. Необходим индивидуальный эталон оценки каждого ученика, который не будет зависеть от его индивидуальных способностей, а позволит оценить ученика на уровне его сегодняшних возможностей. Оценка должна быть ориентирована на прирост знаний, умений и навыков ученика. Как создать такую систему оценки, я пока не знаю. Считаю, что помимо количественной оценки учащегося должна быть и его качественная оценка. И уж совсем не устраивает меня наша 5-балльная система отметки, которая фактически является 3-балльной. Думается, что данный вопрос требует гораздо более длительной проработки и осмысления, чем отведенное на него время.

Рефлексия учителя •

Это задание оказалось для меня самым сложным. Испытала чувство растерянности и беспомощности. Я много размышляла и раньше над поставленными вопросами, кое-что пробовала на уроках. Представляю свою школу, представляю свой педагогический коллектив и не представляю, как перестроить его работу по диагностике и контролю индивидуальных результатов учащихся. Сильны старые традиции и нежелание перестраиваться.

Как ни странно, главным результатом сегодня стало осознание того, что я шла не совсем верным путем. Помогла наша телеконференция (выпуск № 7) и отклик учителя по поводу «лестницы изучения материала». Изучение темы мной тоже построено по типу «лестницы». А как мне кажется, индивидуальная образовательная траектория подразумевает не «лестницу», а что-то типа лабиринта с большим выбором различных путей продвижения к выходу. «Лестница» же подразумевает одну траекторию, только с разными конечными пунктами.

Трудно было придумать формы контроля и задания по ним для учащихся с не очень хорошими математическими способностями. Получилось, что для слабых учеников, кроме традиционных, никаких других форм диагностики и контроля мною не найдено.

Не будет ли оценка по типам личностных качеств несколько субъективной? Пробовала провести похожую оценку в своей школе. Мнения учителей по естественным и гуманитарным дисциплинам об одном и том же ученике очень отличаются. Каковы же критерии такой оценки?

282 Глава 12. Личностно-ориентированные уроки

А. В. Хуторской. Вам удалось выявить ключевые противоречия между существующей традиционной системой образования и индивидуально-личностной, опирающейся на понятие индивидуальной образовательной траектории. Вы поставили очевидные проблемы: «Представляю свою школу, представляю свой педагогический коллектив и не представляю, как перестроить его работу по диагностике и контролю индивидуальных результатов учащихся. Сильны старые традиции и нежелание перестраиваться». Конечно, «во многая мудрости многая печали», но лучше это знать, чем не замечать. Так вот, без определенной системы действий изменить школьную систему невозможно. Например, даже если вы великолепно разобрались с индивидуализированной системой обучения и оценки, знаете, как и что надо делать, этого будет недостаточно. Вы должны знать, как все это применить на уровне школы. А это уже инноватика. И это — отдельная тема. Так что желаю дальнейшего движения!

Информатика

Открытые задания

Авторы заданий: И.П. Евдокимова, Л.В. Коробейникова, В.П. Ко-роповская, О.А. Красавина, О.В. Крымцева, СВ. Малышева, СВ. Масюкевич, Е.В. Погодина, А.В. Хуторской.

⇐ Предыдущая14151617181920212223Следующая ⇒

Поделиться: