ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВХОД-ВЫХОД СИСТЕМ С РАСКРЫТОЙ СТРУКТУРОЙ

 

Модели с раскрытой структурой в форме графов, структурных схем или дифференциальных уравнений в причинно-следственной форме являются развернутыми моделями объектов и систем управления. Задачи анализа обычно требуют исследования непосредственных связей выходов со входами, т. е. рассмотрения свернутых моделей в терминах вход-выход: передаточных функций; частотных или временных характеристик .

Для построения моделей вход-выход: - — характеристик систем с раскрытой причинно-следственной структурой — можно предварительно записать системы уравнений и воспользоваться способами, описанными в 2.6. Передаточные функции структурных схем и графов можно получить и непосредственно. Для этого применяют последовательное эквивалентное преобразование графов или формулу Мэзона.

 

2.11.1. Последовательное применение правил эквивалентного преобразования графов

Основными правилами эквивалентных преобразований графов и структурных схем являются полученные в § 2.10 правила получения эквивалентных передаточных функций типовых соединений. Они соответствуют правилам исключения переменных в системах уравнений (см. п. 2.6.1).

Пример 7. Рассмотрим пример получения передаточной функции для структурной схемы, изображенной на рис. 2.13. Входом системы является вход звена q = 1, выходом — выход звена q =5.

 

Рис. 2.13. Пример структурной схемы

 

Наиболее рациональная последовательность преобразований здесь следующая. Звенья W ₂ и W ₆ образуют контур; их можно заменить одним звеном с передаточной функцией

 

 

В полученной структурной схеме звенья в прямом пути соединены последовательно; их можно заменить одним звеном с передаточной функцией:

 

 

В результате получена типовая структура с обратной связью, передаточная функция которой равна

 

 

Ясно, что последовательность преобразований, приводящая к цели, в общем случае неединственна. С другой стороны, последовательность

 

Рис. 2.14. Пример графа, не имеющего типовых подграфов

 

преобразований, использующая только три правила для типовых структур, существует не всегда. На рис. 2.14 изображен пример такого графа. Необходимо ввести дополнительные правила — переноса вершин съема (рис. 2.15) и суммирования (рис. 2.16) сигналов.

 

Рис.2.15. Иллюстрация правила переноса вершины съема

 

Рис. 2.16. Иллюстрация правила переноса вершины суммирования

 

Покажем, что дополнительные правила позволяют найти последовательность преобразований графа (см. рис. 2.14). Перенесем вершину съема, т. е. вместо дуги (1,3) введем еще одну дугу (1,4) с передаточной функцией W ₄ / W ₃ . В результате получим граф, преобразования которого по известным трем правилам позволяют найти искомую передаточную функцию:

 

 

Формула Мэзона

Пусть исходная модель представлена в форме структурной схемы (С-графа) или сигнального графа Мэзона. Для вычисления передаточной функции можно:

• записать систему уравнений (2.16) и воспользоваться формулой (2.22);

• провести последовательную топологическую редукцию графов по правилам эквивалентных преобразований;

• применить топологическую формулу Мэзона.

Формула Мэзона для получения передаточных функций сигнальных графов является топологическим аналогом правила Крамера.

Прежде всего введем несколько понятий из теории сигнальных графов. Путем в графе называется последовательность вершин и дуг, в которой каждый элемент встречается только раз. Контур — замкнутый путь. Контуры называются некасающимися, если они не имеют общих вершин. Передаточные функции путей и контуров равны произведению передаточных функций образующих их дуг. Передаточная функция графа от вершины r (вход) до вершины q (выход) равна

 

 

где Δ(s)— определитель графа:

 

 

причем K_k ( s ) — передаточные функции контуров графа; K_k ( s ) K_l ( s ) — произведения передаточных функций некасающихся пар контуров; K_k ( s ) Kl ( s ) K_m ( s ) — произведения передаточных функций попарно некасающихся троек контуров; P^p_qr( s )—передаточная функция р-го пути в графе от вершины r до вершины q ; Δ^p_qr( s ) — минор p-го пути, равный определителю подграфа, полученного удалением из исходного графа p-го пути.

 

Пример 8. Рассмотрим диаграмму графа, изображенную на рис. 2.8. Граф имеет два касающихся контура с передаточными функциями:

 

 

Определитель графа равен:

 

 

Между вершиной входа f и вершиной выхода y имеется один путь с передаточной функцией

 

 

После удаления этого пути не остается ни одного контура, поэтому минор пути Равен единице

 

 

Таким образом, передаточная функция графа между вершинами f и у в соответствии с формулой (2.45) равна:

 

 

Если в эту формулу подставить дробно-рациональные выражения для передаточных функций (2.28), то получим:

 

 

Знаменатель этого выражения A ( s ) представляет собой характеристический полином (ХП) системы.

ХП системы, в которой разомкнуты все контуры, равен произведению ХП (знаменателей передаточных функций) всех дуг

 

 

Можно показать, что определитель графа равен отношению ХП A ( s ) и A₀(s) соответственно исходной системы и системы, в которой все контуры разомкнуты:

 

 

Очевидно, для бесконтурного графа имеет место: A ( s )= A ₀ ( s ) и Δ(s)=A ₀ ( s )/ A ₀ ( s )=1

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: