Построение модели в форме пространства состояний по дифференциальному уравнению n -го порядка

Для одномерной системы легко записать матрицы канонических форм пространства состояний по передаточной функции. Построение развернутых моделей для многомерных объектов, описанных, например, передаточными матрицами, представляет более сложную задачу так называемой минимальной реализации.

Переход от одного дифференциального уравнения n-го порядка (2.1) к системе уравнений в нормальной форме пространства состояний (2.18) неоднозначен из-за произвола в выборе переменных состояний. Действительно, невырожденное преобразование вектора переменных состояния

 

 

где w — новый вектор состояния, не изменяет оператора преобразования вход-выход. Той же самой остается и передаточная функция. Покажем это. Подставляя (2.46) в (2.18), получим (при коэффициенте обхода d=0)

 

 

Поскольку матрица преобразования Т невырожденная, существует обратная матрица Т^-1. С учетом этого

 

 

Введя новые обозначения А = Т^-1 AT; В = ТВ; С = СТ, получим

 

 

Системе уравнений в нормальной форме (2.47) соответствует та же передаточная функция, что и системе (2.18). По формуле, полученной в предыдущем параграфе, имеем

 

 

Выразим новые матрицы А, В, С через исходные и проведем преобразования

 

 

Чаще всего выбирают следующие связи между переменными состояния

 

 

Это сразу определяет первые п-1 уравнений состояния

 

 

Если т = 0, т.е. дифференциальное уравнение имеет вид:

 

 

то n-е уравнение состояния находится просто:

 

 

Здесь υ₁ = у; v_n = d^n-1/dt^n-1. Матрицы нормальной формы в так называемом каноническом наблюдаемом базисе имеют вид:

 

 

Если оператор при воздействии В(р), т. е. полином числителя В передаточной функции W , имеет степень 0 <т ≤ п, то вид матрицы-столбца изменится; она является решением следующей системы линейных уравнений:

 

 

где В — искомая матрица-столбец (вектор);

 

 

L — треугольная матрица коэффициентов

 

 

Очевидно, что при таком выборе переменных состояния нет вопроса о вычислении начальных условий, так как v(0) = у(0).

В ряде случаев удобен другой выбор переменных состояния, исключающий необходимость вычисления матрицы В. Матрица состояния А имеет ту же форму (2.48) — так называемую сопровождающую форму Фробениуса (G. Frobenius). Матрица входа В определяется так:

 

 

а матрица выхода равна

 

 

В этом каноническом управляемом базисе у уже не является первой по номеру переменной состояния, а выражается как линейная комбинация переменных состояния. Здесь необходим перерасчет начальных условий через обращение матрицы наблюдаемости (см. п. 2.7.1):

 

 

Коэффициент обхода d отличен от нуля только при равенстве степеней т и п полиномов В и А:

 

 

До записи матриц нормальной формы при d 0 передаточную функцию рекомендуется представлять в виде суммы коэффициента обхода d и правильной дроби:

 

 

где т₁ = deg B₁, < п, а полином А имеет единичный старший коэффициент.

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: