МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Стр 1 из 10Следующая ⇒

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

______________________________________________________________

Н.А. Ерзакова

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

к практическим занятиям

и контрольные задания

для студентов II курса

всех специальностей

дневного обучения

Москва — 2007

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ”

______________________________________________________________

Кафедра прикладной математики

Н.А. Ерзакова

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

к практическим занятиям

и контрольные задания

для студентов II курса

всех специальностей

дневного обучения

Москва — 2007

ББК 22.161.5

Е70

Рецензент: докт. техн. наук, проф. В.Л. Кузнецов

Ерзакова Н.А.

Е70 Теория функций комплексной переменной: Учебное пособие к практическим занятиям и контрольные задания.- М.: МГТУ ГА, 2007. – 60 с.

Учебное пособие содержит краткое изложение информации к теории функций комплексной переменной. Все факты проиллюстрированы примерами с подробным комментарием.

Данное пособие издается в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ОПД.Ф.06 "Теория функций комплексной переменной" по Учебному плану для студентов специальности 230401 "Прикладная математика".
Работа включает в себя около 100 примеров с решениями, контрольные задания с ответами и 7 рисунков.

Учебное пособие может быть также полезным для аспирантов и преподавателей технических вузов, университетов, а также для научных работников и инженеров; может быть использовано при дистанционной форме обучения.

Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры Прикладной математики 08.02.07 (протокол № 3) и методического совета 28.02.07.

Редактор Т.М. Приорова

______________________________________________________________________

Подписано в печать

Печать офсетная Формат 60x84 1/16 4,61 уч.-изд. л.

3,75 усл. печ. л. Заказ №. Тираж 300 экз.

____________________________________________________________________

Московский государственный технический университет ГА

125993 Москва, Кронштадский бульвар, д. 20

Редакционно-издательский отдел

125493 Москва, ул. Пулковская, д. 6а

Ó Московский государственный

технический университет ГА, 2007

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

1. Основные понятия теории функций комплексной переменной……………....………………………………………………………….5

1.1. Комплексные числа. Основные элементарные функции комплексной переменой………………………………………………………5

1.2. Условия Коши – Римана. Аналитические функции……. ...11

1.3. Интеграл от функции комплексной переменной……………….13

2. Ряды…….……..………………………………………………..................16

2.1. Сумма числового ряда. Признаки абсолютной сходимости …..16

2.2. Условная сходимость…………….…..…….……………………..22

2.3. Функциональные ряды………...………....………………………24

3. Особые точки и разложения в ряды…….………………................30

3.1. Ряд Лорана……...…………………………………………………30

3.2. Классификация изолированных особых точек……………….35

4. Теория вычетов……………………………………...……………………39

4.1. Вычет…………………………………………………………..….39

4.2. Применение вычетов к вычислению интегралов…………........41

5. Элементы операционного исчисления………………………………….45

5.1. Понятие оригинала и изображения……………………………..45

5.2. Восстановление оригинала по изображению…………………..50

Приложения………………………………………………………………54

1. Линейные дифференциальные уравнения…………………..54

2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений......57

Тест…………………………………………………………………………59

Введение

Теория функций комплексной переменной – логически стройная математическая дисциплина, позволяющая производить математические операции в области комплексных чисел. Она имеет огромное значение не только для математики (алгебры, дифференциальных уравнений, аналитической теории чисел) и различных прикладных математических дисциплин (аэродинамики, гидродинамики, небесной механики, теории упругости), но и широко используется при решении многих инженерных задач.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение в электротехнике, радиотехнике, в теории электромагнитного поля.

Работа содержит известные формулы, основные понятия теории функций комплексной переменной. Перечисляются различные признаки сходимости числовых рядов. При этом в формулировках признаков Даламбера и радикального признака Коши акцентируется внимание на случаи невыполнения необходимого условия сходимости. В учебном пособии, в частности, подробно рассмотрен пример разложения в ряд Лорана рациональной дроби. Заметим, что из-за громоздкости изложение решения подобных примеров вызывает затруднение у преподавателей. В целях более глубокого изучения материала по теории функций комплексной переменной рекомендуется литература:

1. Высшая математика. Специальные разделы / Под ред. А.И. Кириллова.- М.: Изд-во физ.-мат.литературы, 2001.

2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.

3. Свешников А.Г. , Тихонов А.Н. Теория функции комплексной переменной.- М.:Физматлит, 2001.

4. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч 3.: Учебное пособие для втузов // Под. ред. А.В. Ефимова, А.С.Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат.литературы, 2003.

5. Терещенко А.М. Теория функций комплексной переменной. Учебное пособие. -М.: МИЭТ, 2006.

Основные понятия теории функций комплексной переменной

Ответы

1.0.1. а) ; б) ; ;

в) г)

1.0.2. а) б)

в) г)

д)

е) .

1.0.3. а) б) ; в) ; г)1728; д)

1.0.4. а) б) , ;

в) г) , ;

д) е)

1.0.5. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

1.0.6. а) б)

в) г)

1.0.7. а) б) в) г) .

Ряды

Первый признак сравнения

Пусть , и в числовом ряду (2.1.1). Тогда

1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если же расходится ряд , то расходится и ряд .

Пример 2.1.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как показано в примере (2.1.2) ряд сходится. Кроме того, имеет место неравенство при всех . Так как исследуемый ряд “меньше” сходящегося ряда, то он также сходится.

Условная сходимость

Теорема Лейбница. Если и для всех , то знакочередующийся ряд сходится. При этом для всех - модуль -ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.

Пример 2.2.1. Проверить выполнение условий теоремы Лейбница для ряда . В случае положительного ответа оценить .

Решение. Вычисляем . Кроме того, последовательность монотонно убывает. Следовательно, все предположения теоремы Лейбница выполнены. Поэтому справедлива оценка остатка ряда по модулю

. 

Абсолютная сходимость числового ряда. Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Условная сходимость числового ряда. Если ряд сходится, а ряд из модулей расходится, то исходный ряд называется условно сходящимся.

Пример 2.2.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для исследования абсолютной сходимости рассмотрим ряд . Как известно (пример 2.1.10), гармонический ряд расходится. Поэтому у исходного ряда нет абсолютной сходимости. Однако как показано в примере 2.2.1 исходный ряд удовлетворяет предположениям теоремы Лейбница. Поэтому ряд сходится. 

Для проверки условной сходимости, помимо признака Лейбница, применяются также следующий признак:

Признак Абеля - Дирихле. Пусть дан ряд , в котором последовательность монотонно стремится к , а последовательность частичных сумм ряда равномерно ограничена, тогда ряд - сходится.

Пример 2.2.3. Для произвольно заданного вещественного числа доказать равномерную ограниченность последовательности частичных сумм ряда .

Решение. Заметим, что . Поэтому для частичной суммы имеет место равенство .

Как показано в примере 2.1.1 для частичной суммы геометрической прогрессии (независимо от знаменателя) справедливо равенство:

Поэтому

. Следовательно,

. Отсюда при всех .

Замечание. Аналогичная оценка имеет место для последовательности частичных сумм ряда при .

Пример 2.2.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как показано в примере 2.1.5 ряд расходится. Поэтому расходится ряд .

Отсюда нет абсолютной сходимости у ряда . Исследуем условную сходимость по признаку Абеля – Дирихле. Как показано в примере 2.2.3, частичные суммы ряда равномерно ограничены числом . Кроме того, последовательность монотонно стремится к . Следовательно, ряд сходится по признаку Абеля – Дирихле. 

В задачах 5.0.1 – 5.0.6 исследовать абсолютную сходимость числового ряда с общим членом u_n.

5.0.1. u_n= (-1)ⁿ⁺¹/(2n-1) . 5.0.2. u_n= (-1)ⁿ⁺¹/(2n-1)³.

5.0.3. u_n= (-1)ⁿ⁺¹n/(n+1) . 5.0.4. u_n=(-1)ⁿ⁺¹/n^α, α>0

5.0.5. u_n=(-1)ⁿ⁺¹/ln(n+1). 5 0.6. u_n= (-1)ⁿ⁺¹/n(n+1).

Ответы

5.0.1. Сходится условно. 5.0.2. Сходится абсолютно.

5.0.3. Расходится. 5.0.4. Сходится абсолютно при α>1; Сходится условно при 0<α≤1; Расходится при α≤0.

5.0.5. Сходится условно. 5.0.6. Сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Сходящийся в области функциональный ряд называется равномерно сходящимся в этой области, если для  любого найдется число такое, что для остатка функционального ряда при всех и  одновременно имеет место оценка .

Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд сходится области и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что для всех и для всех , начиная с некоторого номера, члены ряда удовлетворяют условию . Тогда ряд сходится абсолютно и равномерно в области .

Пример 2.3.1. Исследовать абсолютную и равномерную сходимость по признаку Вейерштрасса .

Решение. При ряд сходится. Поэтому, без ограничения общности можно предполагать, что . Тогда сходимость ряда равносильна сходимости ряда .

Так как

, то при или достигается минимум для знаменателя, а, следовательно, максимум для дроби. Поэтому

Ряд сходится как ряд Дирихле с показателем степени . Отсюда исходный ряд сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса при всех значениях переменной.

Степенные ряды

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для всех , таких, что , причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге . Если же ряд расходится в точке , то он расходится и для всех таких, что .

Замечание. а) Из теоремы Абеля следует существование круга сходимости.

б) Из признака Вейерштрасса следует: если степенной ряд абсолютно сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

Пример 2.3.2. Найти область абсолютной сходимости ряда . В каком круге данный ряд равномерно сходится?

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид

Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем .

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это гармонический ряд , который, как известно, расходится. Поэтому по теореме Абеля ряд равномерно сходится . Заметим, что при ряд сходится, на основании признака Абеля - Дирихле (полагая ( )), а

, .

Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ: абсолютно сходится, равномерно сходится.

Пример 2.3.3. Найти область абсолютной сходимости . В каком круге данный ряд равномерно сходится?

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид . Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем .

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это сходящийся ряд Дирихле . Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится, если . Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ: в круге абсолютно и равномерно сходится. 

Ряды Маклорена

Разложения основных элементарных функций:

, ; , ; , ; , ; , ; , .

Замечание. Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, можно найти разложение некоторых функций по степеням .

Пример 2.3.4. Используя разложение , а также возможность почленного интегрирования степенных рядов, разложить функцию по степеням и указать область сходимости полученного ряда.

Решение. Как известно, . Поэтому , следовательно, .

Отсюда

Область сходимости для полученного ряда как и для разложения в ряд - вся комплексная плоскость, т.е. .

Пример 2.3.5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию . Найти радиус сходимости ряда.

Решение. Разложим данную функцию на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

Из тождества , полагая последовательно , находим

т.е.

Преобразуем правую часть равенства следующим образом:

Используя разложение функции , получим

Радиус сходимости можно определить двумя способами. Ряд в первой скобке сходится в круге , ряд во второй скобке в круге . Оба ряда сходятся в круге , поэтому радиус сходимости R=1.

Второй способ определения R следует из формулы для

Радиус сходимости R равен расстоянию от центра круга до ближайшей точки при которой знаменатель обращается в нуль. В нашем случае , а точка . Поэтому радиус сходимости равен .

Пример 2.3.6. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом:

Используя разложение для получим.

Ряд сходится в круге .

При разложении в ряды Тейлора отношения двух функций, ряды Тейлора которых известны, полезно применять метод неопределенных коэффициентов. Суть метода рассмотрим на конкретном примере. Теоретической основой метода является единственность разложения функции в ряд Тейлора.

Пример 2.3.7. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения функции f(z)=tgz в окрестности точки z=0.

Решение. . По методу неопределенных коэффициентов, справедливо равенство .

Здесь ,…- неопределенные коэффициенты.

Так как функция tg z, нечетная, то .

Учитывая известные разложения для функций sinz, cosz получим тождество:

После преобразований, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим уравнения для неизвестных коэффициентов :

Решая эту систему, получим .

В задачах 6.0.1 – 6.0.3 найти область абсолютной сходимости

6.0.1. . 6.0.2. . 6.0.3. .

В задачах 6.0.4, 6.0.5 найти область сходимости.

6.0.4. . 6.0.5. .

В задачах 6.0.6 - 6.0.9 найти область абсолютной сходимости ряда и указать круг, в котором ряд равномерно сходится.

6.0.6. ; 6.0.7. ; 6.0.8. ;

6.0.9. .

6.0.10. Используя разложения элементарных функций, разложить в ряды Тейлора заданные функции и найти радиусы сходимости

а) sin 2 z; б) cos 3 z; в) ; г) ;

д) ; е) ln (2–z), ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) .

6.0.11. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения функций в ряд Тейлора, полагая

м) ; н) .

Ответы

6.0.1. |z|>5. 6.0.2. |z+1|> 1/3. 6.0.3. 1 < |z| < 2.

6.0.4. z|≤1 за исключением точки z= -1. 6.0.5. Вся комплексная плоскость. 6.0.6. На всей комплексной плоскости сходится абсолютно и при равномерно сходится. 6.0.7. На всей комплексной плоскости сходится абсолютно и при равномерно сходится. 6.0.8. абсолютно сходится, равномерно сходится. 6.0.9. абсолютно и равномерно сходится.

6.0.10. а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к) л) 6.0.11. м) н)

3. Особые точки и разложения в ряды

3. 1. Ряд Лорана

Теорема Лорана. Всякая функции аналитическая в кольце однозначно представляется в этом кольце в виде сходящегося ряда

, (3.1.1) где , - произвольное число, удовлетворяющее неравенству .

Степенной ряд (3.1.1) называется рядом Лорана функции или разложением в ряд Лорана функции по степеням . Здесь – фиксированная точка комплексной плоскости, называемая центром разложения.

Более подробно: ряд Лорана – это степенной ряд вида

Второе слагаемое называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое - главной частью ряда Лорана.

Замечание. Теорема Лорана останется в силе, если и функция аналитическая при , т.е. в окрестности бесконечно удаленной точки .

Чтобы разложить функцию в ряд Лорана в окрестности нужно выполнить замену переменной и провести разложение функции в ряд Лорана с центром в точке . Выполнив обратную замену переменной, получим искомый ряд Лорана в окрестности .

Пример 3.1.1. Разложить в ряд Лорана в окрестности .

Решение. Чтобы разложить функцию в ряд Лорана в окрестности нужно выполнить замену переменной и провести разложение функции в ряд Лорана с центром в точке . Выполнив обратную замену переменной, получим искомый ряд Лорана в окрестности .

Имеем по известному разложению. Ответ: .

Ответы

7.0.1..а) б)

в) г)

д). e)

ж) з)

к)

Теория вычетов

Вычет

Пусть - изолированная особая точка функции . Комплексное число , где - замкнутый контур, который можно стянуть к , оставаясь в кольце аналитичности функции , называется вычетом в точке .

Очевидно, в разложении (3.1.1).

Формулы вычисления вычетов:

1) - устранимая особая точка .

2) - полюс 1-го порядка (простой полюс)

Если , , , , то

3) - полюс порядка

4) - существенно особая точка (нахождению вычета предшествует разложение в ряд Лорана (3.1.1)).

Пример 4.1.1. Для функции найти вычеты во всех изолированных особых точках.

Решение. Используя результат примера 3.2.3, а именно: ( ) - полюсы второго порядка, - простой полюс, точка не является изолированной особой точкой. По формуле для простого полюса по первому замечательному пределу находим

Для полюсов второго порядка

Заметим, что

Отсюда

Для точки вычет не находится, так как она не является изолированной особой точкой.

Первая теорема о вычетах

Пусть - аналитическая функция в области , за исключением конечного числа изолированных особых точек , , …, , лежащих в этой области. Тогда для любого простого замкнутого контура , охватывающего точки , , …, ,

Пример 4.1.2. Вычислить .

Решение. Особые точки подынтегральной функции для всех целых . Заметим, что внутрь контура попадают точки , . Используя результат примера 4.1.1, а именно: и первую теорему о вычетах, находим

.

Ответы

9.0.1. а) при , 0; при , ; б) в) при при г) 0 ; д) при при , ; е) ж) при при к) 0 ; л)

Ответы

11.0.1. а) б) в) г) д)

11.0.2. е) ж) з) и) к) л) м) н) ; п) .

Ответы

12.0.1. а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к)

л) м)

н)

Приложения

Тест

Не производя вычислений, необходимо выбрать правильный ответ или ответить на вопрос.

1. Какое из утверждений для числа решений уравнения над полем комплексных чисел верно: а) число решений уравнения равно двум; б) число решений равно одному; в) число решений равно трем; г) число решений равно четырем?

2. Для комплексных чисел , выберете правильный ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Для комплексных чисел , какое из соотношений справедливо: а) ; б) ; в) ; г) ?

4. В случае комплексного числа установите справедливость одного из утверждений: а) при всех имеет место неравенство ; б) существует , такое, что при всех имеет место неравенство ; в) не существует числа , такого, что при всех справедливо неравенство ; г) при всех имеет место неравенство .

5. В случае комплексного числа и натурального числа установите справедливость одного из утверждений: а) при всех имеет место неравенство ; б) существует , такое, что при всех имеет место неравенство ; в) не существует числа , такого, что при всех справедливо неравенство ; г) при всех имеет место неравенство .

6.Какое из равенств верно для интеграла : а) ; б) ; в) ; г) ?

7. Какое из утверждений верно для ряда : а) ряд сходится условно; б) ряд расходится; в) ряд сходится; г) ряд сходится равномерно?

8. Какое из утверждений верно для ряда : а) ряд сходится условно; б) ряд расходится; в) ряд сходится; г) ряд сходится равномерно?

9. Какое из утверждений верно для ряда : а) ряд сходится условно; б) ряд расходится; в) ряд сходится; г) ряд сходится равномерно?

10. Какое из утверждений правильно для функции : а) - полюс 2-го порядка; б) - нуль шестого порядка; в) - нуль четвертого порядка; г) - существенно особая точка?

11. Какое из утверждений правильно определяет характер особой точки функции : а) - полюс 2-го порядка; б) - устранимая особая точка;в) - существенно особая точка; г) - полюс 2-го порядка?

12. Для функции выберете правильный ответ:

а) ; б) ; в) ; г) .

13. Для функции выберете правильный ответ:

а) ; б) ; в) ; г) .

14. Для какой из функций можно восстановить оригинал:

а) ; б) ; в) ; г) ?

15. Какое из утверждений справедливо для функции а) - простой полюс; б) - существенно особая точка; в) не является изолированной особой точкой; г) - нуль первого порядка?

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

______________________________________________________________

Н.А. Ерзакова

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 183; Нарушение авторского права страницы