Разложение в ряд Лорана рациональной функции

Разложение в ряд Лорана рациональной функции где и - многочлены и по степеням , проводится по схеме:

1. Если дробь неправильная, выделяем целую часть. Находим корни уравнения .

2. Точки являются особыми точками функции (в них не аналитична).

3. Разлагаем рациональную дробь на элементарные дроби, строим кольца аналитичности.

4. В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в ряды,

используя либо сумму геометрической прогрессии , либо

формулы , и почленное дифференцирование степенного ряда.

Замечание. Если необходимо разложить не по степеням , а по степеням , то заменой переменной можно свести к разложению в , а затем вернуться к исходной переменной.

Пример 3.1.2. Найти все разложения функции в ряды Лорана по степеням .

Решение. Так как функция - это неправильная рациональная дробь, то от неправильной дроби перейдем к правильной, выделяя целую часть (так же как при интегрировании рациональных дробей).

Получим . Находим корни уравнения (в них не аналитична). Разложим знаменатель на простейшие множители: . Строим кольца аналитичности (см. рис. 3.1.1). Так как центр разложения , то необходимо сделать замену переменной с тем, чтобы свести к разложению в . Полагая , выполним замену переменной: . Разложение функции по степеням равносильно разложению по степеням . Так же как при интегрировании рациональных дробей правильную дробь представим в виде суммы элементарных дробей: . Имеем . Отсюда при получим равенство , при будем иметь: и, наконец, при : . Таким образом, нужно найти решение системы: Можно получить другую систему для нахождения коэффициентов из тождества . Решение в любом случае будет следующее: , , . Имеем

. (3.1.2)

Кольца аналитичности функции (см. рис. 3.1.2) получаются из колец аналитичности смещением центра окружностей. В каждом кольце аналитичности по отдельности разложим по степеням дроби , , , а результат разложения подставим в равенство (3.1.2). Заметим, что . Поэтому для получения разложения достаточно разложить в каждом кольце аналитичности , затем почленно продифференцировать и умножить на . Мы используем искусственный прием для разложения рациональной дроби, а именно: сравнение с суммой геометрической прогрессии. Итак, в первой области, где , имеем: , , .

Из (3.1.2) следует, что при где

Поэтому .

В кольце разложение остается верным, так как . Для получения разложения преобразуем с тем, чтобы знаменатель геометрической прогрессии удовлетворял неравенству . В этом случае . Следовательно, . Для кольца

В области необходимо изменить разложение только одной дроби:

. Поэтому разложение имеет вид:

Ответ: Если , то . Если , то . Если , то (см. рис. 3.1.1). 

Разложение в ряд Лорана с использованием разложений основных элементарных функций

Пример 3.1.3. Разложить в ряд Лорана по степеням .

Решение. Полагая и используя известное разложение , получим , .

Пример 3.1.4. Разложить в ряд Лорана в окрестности .

Решение. Чтобы разложить функцию в ряд Лорана в окрестности нужно выполнить замену переменной и провести разложение функции в ряд Лорана с центром в точке . Выполнив обратную замену переменной, получим искомый ряд Лорана в окрестности .