Интегральная формула Коши для односвязной области

Пусть  - аналитическая функция в односвязной области . Пусть точка ,  - простой замкнутый контур в , охватывающий точку . Тогда

                                        .

Пример 1.3.5. Вычислить интеграл .

Решение. Функция  - аналитическая на всей комплексной плоскости. Поэтому по интегральной формуле Коши интеграл равен .

3.0.1. Пусть однозначная функция    определена и непрерывна в              области  и - кусочно- гладкая ориентированная кривая, лежащая в .

 Пусть , , где ,    - действительные функции переменных    и . Доказать, что вычисление интеграла от функции   комплексной переменной  сводится к вычислению криволинейных интегралов:

 

                                              . 

 

3.0.2. Докажите, что если  функция f(z) – однозначная, аналитическая в многосвязной области G с границей  и внутренними контурами  и непрерывна в замкнутой области , тогда имеет место равенство:

, где ,

или

.

(Теорема Коши для многосвязных областей).

Указание. Путем построения вспомогательных линий свести к случаю односвязной области.

3.0.3. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы.

а) ;         б) ;              в) ;

г) ;    д) ;         е) .

ж) ; з) ; и) ;

к) ;         л) ;     м) ;

н) ;   о) ; п) ;

р) ;   с) ;             т) .

3.0.4. Вычислить , где Г – отрезок, соединяющий точки .

3.0.5. Вычислить , где - дуга окружности , .

В задачах 3.0.6 – 3.0.13   вычислить интеграл .                                                                       

3.0.6. Функция f(z) = y + xi , С - ломаная линия ОАВ с вершинами в

точках z_O= 0 , z_A= i , z_B= 1 + i .

3.0.7. Функция f(z) = z² , C=AB – отрезок прямой, соединяющий точки

 z_A = 1 и z_B = i .

3.0.8. Функция f(z) = ­x – yi , С – замкнутый контур | z | = 1.

3.0.9. Функция f(z)= (1-2x) + i(1+2y) , C=AB - линия соединяющая точ- ки А   и В ( z_A=0 , z_B= 1 + i ) а) по прямой, б) по параболе у = х² , в) по ломаной AMB, где z_M=1 .

 3.0.10. Функция f(z) = zImz² , где - дуга окружности , .  

 3.0.11. Функция f(z) = zRez , C - | z | = 1 , обход в положительном на правлении.

3.0.12. Функция f(z)=Rez, C=AB – линия соединяющая точки А и В   ( , ) : а) по прямой , б) по ломаной АМВ , где z_M = 2 .

3.0.13. Функция f(z) = e^z , C=AB ( z_A = 0 , z_B = 1+ i ) а) дуга параболы                 y = x ² , б) отрезок прямой.

                                               Ответы

 3.0.3. а)  б)  в)0; г)     д)  е)  ж)  з)  и)  к)  л)  м) н)  о)0; п)0; р) с) т)  3.0.4. 1; 3.0.5. ;                    3.0.6. 1 + i; 3.0.7.  –(1+i)/3;    3.0.8. 2πi;  3.0.9. a) 2(i-1) ; б) -2 + 4i/3; в)-2 ; 3.0.10.  –π/2; 3.0.11. 0; 3.0.12. а) 2 + i ; б)6 + 2i; 3.0.13. а) ecos1 – 1 + iesin1;    б) ecos1 – 1 + iesin1.

 

Ряды

Сумма числового ряда. Признаки абсолютной сходимости

 Конечные суммы  называются частичными суммами ряда

                                           .                        (2.1.1)

Числовой ряд (2.1.1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм . Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда .

Пример 2.1.1. Исследовать сходимость геометрической прогрессии:

                                        .

Решение. Пусть  обозначает -ую частичную сумму геометрической прогрессии, т.е. .

Следовательно, .

Отсюда  и для частичной суммы геометрической прогрессии справедливо равенство:

                              .

Находим

                        

 Из определения сходящегося ряда следует, что геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда  и ее сумма, в этом случае, равна .

Пример 2.1.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный ряд - геометрическая прогрессия, знаменатель которой

.

Следовательно, как следует из примера (2.1.1) ряд сходится. 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: