Комплексные числа. Основные элементарные функции комплексной переменной

Комплексным числом называется пара действительных чисел  и  взятых в определенном порядке , (real)- действительная часть,  (imaginary)- мнимая часть. Однако, для простоты восприятия действий с комплексными числами, здесь не принимается во внимание аксиоматический подход к понятию комплексного числа и рассматривается комплексное число как алгебраическое выражение  с буквой , учитывая при этом, что .

Пример 1.1.1. Найти , , если , .

Решение. Вычисляем , . 

Равенство двух комплексных чисел означает равенство их действительных и мнимых частей.      

Модуль комплексного числа находится по формуле . Каждому комплексному числу соответствует в декартовой системе координат на плоскости точка с координатами ,  (см. рис. 1.1.1).  Также, для простоты восприятия действий с комплексными числами понятие модуля комплексного числа рекомендуется связать с теоремой Пифагора (см. рис. 1.1.1).

Пример 1.1.2. Найти , если .

Решение. Так как , , то .

Из геометрической интерпретации комплексных чисел следуют ряд полезных выводов и неравенств:

1) .

2)  – расстояние между точками  и .

3) .

Из геометрического изображения комплексного числа (см. рис. 1.1.1) также следует, что угол , определяемый как главное значение аргумента , находится по формуле:

(для числа  аргумент  не определен). Из прямоугольного треугольника (см. рис. 1.1.1) получается равенство , называемое тригонометрической формой . Из тригонометрической формы записи и  формулы Эйлера  следует показательная форма записи комплексного числа:

                                                  .                                                                      Если  пробегает множество всех целых чисел, то получаем многозначную функцию  

Пример 1.1.3. Найти модули и главные значения аргументов следующих чисел –2+2i; –1; 3+4i и записать тригонометрическую форму этих чисел.

Решение. Воспользуемся формулой для . В первом случае x= –2, y =2, точка z=–2+2i лежит во второй четверти . Найдем модуль этого числа , поэтому . Во втором случае x= –1, y=0, , поэтому . В третьем случае x=3, y=4 , отсюда имеем , так как , то тригонометрическая форма числа 3+4i записывается в виде 

Пример 1.1.4. Записать тригонометрическую и показательную формы записи для чисел: , , , , .

1. : , ; ;

2. : , ; ;

3. : , ; ;

4. : , ; ;

5. : ; ; .     

Функция  обладает свойствами показательной функции, например,

                   ,      ,      .

Учитывая это, находим формулу извлечения целого корня:

                 .      (1.1.1)

Таким образом, корень - ой степени имеет  различных значений, которые получаются подстановкой  и функция  является многозначной.

Пример 1.1.5. Найти все значения корня .

Решение. Находим модуль и аргумент комплексного числа : ; .              По формуле (1.1.1)

; ; ; (см. рис. 1.1.2). 

Заметим, что всякий ответ доводится до алгебраической формы записи комплексного числа , если не оговорено обратное.

Комплексное сопряженное к числу  называется число , обозначаемое также как .

Пример 1.1.6. Для произвольного числа  найти .

Решение. .

Пример 1.1.7. Найти (2+i)/(1+2i); 1/i. 

Решение. (2+i)/(1+2i)= (2+i)(1-2i)/(1+4)=0.8-0.6i; 1/i = -i.  

Полезно помнить, что

1)  .  2) .

3) При умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются (растяжение или сжатие), а аргументы складываются (поворот на плоскости).

4) При делении двух комплексных чисел их модули делятся (модуль знаменателя ¹ 0), а аргументы вычитаются.

Сделаем еще важное замечание о том, что комплексные числа нельзя сравнивать. Действительно, два радиус-вектора, соответствующих изображению комплексных чисел на плоскости, можно только сравнить по длине, т.е. комплексные числа сравнимы по модулю.

Пример 1.1.8. Изобразить на плоскости множество точек , для которых справедливо неравенство .

Решение. Вычисляем модули: , . Следовательно, комплексные числа  удовлетворяют неравенству: . Строим окружности с центром в точке  и радиусами и , соответственно. Множество точек , удовлетворяющих неравенству , изображается в виде кольца (см. рис. 1.1.3). 

Простейшие множества точек на комплексной плоскости:

а) |z-z₀|=a (a>0) - окружность с центром в точке z₀ радиуса a;

б) |z-z₀|<a (a>0) - открытый круг с центром в точке z₀ радиуса a;

в) |z-z₀|>a (a>0) - внешность открытого круг с центром в точке z₀ радиуса a;

г) a<|z-z₀ |<b (0<a<b) - открытое кольцо с центром в точке z₀;

д) arg(z-z₀)=  - луч, с началом в точке z₀ , идущий под углом  к положительному направлению действительной оси.

е)  <arg(z-z₀)<  - внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке z₀ и углом раствора .

ж) Re z= a - прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку (a,0);

з) Im z= b - прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку (0,b).

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: