Понятие оригинала и изображения

Комплекснозначная функция действительной переменной называется оригиналом, если она удовлетворяет трем условиям:

1) при всех , причем принимается, что ;

2) на любом конечном отрезке функция имеет не более конечного числа точек разрыва первого рода;

3) существует числа и такие, что

Пусть { }обозначает точную нижнюю грань (инфимум) всех чисел , для которых выполняется неравенство 3). Число называется показателем роста (показателем степени роста) функции .

Замечание. Единичной функцией или функцией Хевисайда называется функция

Пример 5.1.1. Пусть - непрерывная на вещественной оси функция. Пусть для некоторого существует предел . Проверить, является ли функция оригиналом, и оценить ее показатель степени роста.

Решение. Функция удовлетворяет условию 1) оригинала, так как при всех . Условие 2) также выполнено в силу предположения о непрерывности функции . Выберем число . По определению предела найдется число , такое, что

(5.1.1) для всех . Положим . В силу непрерывности функции и замкнутости интервала имеет место . Из (5.1.1) следует, что

или . Обозначим через . Тогда , т.е. выполнено последнее условие оригинала. Таким образом, функция - оригинал и ее показатель степени роста не превышает . 

Пример 5.1.2. Пусть - произвольный многочлен степени . Проверить, является ли функция оригиналом, и найти ее показатель степени роста.

Решение. Функция удовлетворяет условию 1) оригинала, так как при всех . Условие 2) также выполнено в силу непрерывности любого многочлена. Применяя раз правило Лопиталя, убедимся, что существует для всех . Таким образом, функция удовлетворяет всем предположениям примера 5.1.1, из которого следует, что - оригинал и ее показатель степени роста не превышает . В силу произвольности выбора получим равенство для показателя степени роста . 

Если - оригинал, то ее преобразование Лапласа ( - комплексная переменная) определяется формулой

. (5.1.2)

Функция комплексной переменной называется также изображением функции . Обозначение: или .

Пример 5.1.3. Найти изображение функции

Решение. По формуле (5.1.2) находим

.

Приведем изображения наиболее часто встречающихся функций.

; ;

( ); ;

; ;

; .

Основные свойства преобразования Лапласа

Приведем основные свойства преобразования Лапласа в нестрогой формулировке:

1) Линейность: , .

2) Подобие: , .

3) Теорема запаздывания: .

4) Теорема смещения: , .

5) Изображение производной:

, .

6) Изображение интеграла: .

7) Дифференцирование изображения: .

8) Интегрирование изображения: .

9) Изображение свертки (теорема Бореля):

10) Интеграл Дюамеля:

11) Теорема разложения:

1. , где ( ) все особые точки функции .

2. Если функция F(p) разлагается в ряд по отрицательным степеням p и, кроме того при , то эта функция является изображением и может быть представлена в виде .

Оригиналом для F(p) служит функция f(t), определяемая при t > 0, сходящимся рядом

12)Дифференцирование и интегрирование по параметру: Если и функции и , рассматриваемые как функции переменной являются оригиналами, то и .

Пример 5.1.4. Найти изображение функции .

Решение. Используя свойства линейности, дифференцирования изображения, а также известные изображения и находим

.

Пример 5.1.5. Найти изображение функции .

Решение. Используя свойство дифференцирования изображения, а также известное изображения находим:

.

Пример 5.1.6. Найти изображение функции .

Решение. Используя свойство интегрирования изображения, а также известное изображение находим

. 

Пример 5.1.7. Найти изображение функции .

Решение. Используя свойство интегрирования оригинала и результат предыдущего примера, находим

, .

Пример 5.1.8. Найти изображение периодической функции f(t) с периодом T, если известно изображение G(p) функции

Решение. Пусть . Используя свойство периодичности функции f(t) и изображение , преобразуем изображение F(p):

Интеграл заменой t–kT=u приводится к виду

После преобразований запишем изображение F(p):

.

Пример 5.1.9. Найти оригинал, если .

Решение. Наличие множителя указывает, на то, что необходимо использовать теорему об изображении функции , именно .

11.0.1. Пользуясь определением, найти изображения следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

11.0.2.Используя свойства оригиналов и изображений, найти изображения следующих функций:

е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ;

м) ; н) ; п) .

11.0.3.Доказать, что функция является аналитической функцией при (рис.5.1.1).

Указание. Показать, что существует при для любого .

при .

Законность дифференцирования несобственного интеграла по параметру следует из абсолютной сходимости продифференцированного интеграла (подынтегральная функция кусочно-непрерывная).

11.0.4. Доказать, что при стремлении p к бесконечности стремится к нулю.

Указание. В неравенстве предположить, что неограниченно возрастает.

11.0.5. Доказать, что, если функция F(p) удовлетворяет условиям:

1) F(p) аналитическая для ;

2) в области равномерно относительно при ;

3) для всех сходится интеграл . Тогда при функция F(p) является изображением функции f(t) и определяется обращением преобразования Лапласа – интегралом Меллина

(Теорема существования оригинала).

Указание. Применить лемму Жордана: F(p) имеет конечное число изолированных особых точек и равномерно относительно при . Тогда для при , где – левая половина окружности (рис.5.1.2), затем теорию вычетов.