Признак Коши абсолютной сходимости рядов

Признак Коши (радикальный). Пусть  — ряд с неотрицательными членами  и , тогда

1) в случае  ряд  сходится,

2) в случае  ряд  расходится и не выполнено необходимое условие сходимости,

3) в случае  вопрос остается открытым.

Пример 2.1.7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для применения признака Коши преобразуем модуль

                               .

Отсюда

                           .

Поэтому по признаку Коши ряд сходится абсолютно. 

Пример 2.1.8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для применения признака Коши преобразуем модуль

                          .

 Отсюда

                            .

Поэтому по признаку Коши не выполнено необходимое условие сходимости, а, следовательно, ряд расходится. 

 

 Интегральный признак Коши

 

 Если функция  и  (монотонно убывает) при всех , то ряд  сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Пример 2.1.9. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда Дирихле.

 Решение. Рядом Дирихле называется ряд вида . Так как  при всех  и , то исследуем сходимость по интегральному признаку сходимости. Вычисляем                                         

Отсюда                                    

Соответственно,                                       

Ряд Дирихле  сходится, если   и расходится, если .

Пример 2.1.10. Исследовать сходимость гармонического ряда .

Решение. Гармонический ряд  - это частный случай ряда Дирихле  с . Поэтому ряд расходится.

Пример 2.1.11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд  - это частный случай ряда Дирихле  с . Поэтому ряд сходится.

4.0.1. Доказать, что .

Указание. Ввести функцию y=f(x)=x^1/x и найти .

Замечание. Этот предел часто используется при исследовании сходимости числового ряда с помощью признака Коши.

4.0. 2 . Доказать, что .

Указание. Исследовать сходимость ряда с общим членом aⁿ/n! и применить необходимое условие сходимости числового ряда.

 В задачах 4.0.3. – 4.0.17  исследовать сходимость числового ряда с общим членом u_n .

 4.0.3. u_n= n²/3ⁿ .        4.0.4. u_n= n!/(2n)ⁿ .        4.0.5. u_n= ((n+1)/(3n-2))²ⁿ            

4 .0.6. u_n=(aⁿn!)/nⁿ, a>0.  4 .0.7. u_n=(1+1/n)^m/aⁿ, m=n²,а>0. 4.0.8. u_n= 1/n^p.  4.0.9. u_n=1/(n∙ln^pn) . 4.0.10.u_n=1/lnⁿ(n+1).    4.0.11. u_n=1/(n∙lnn∙(lnlnn)^α ).   4.0.12. u_n=n²/sin(π/2ⁿ). 4.0.13. u_n= lnn/(n²+2). 4 .0.14. u_n=arctgn/(n²+1). 4 .0.15. u_n=nⁿ/(n!)².   4.0.16. u_n= (n/(2ⁿ + 1))ⁿ. 4. 0.17. u_n=arcsinⁿ(1/n).

                                                              Ответы

   4 .0.3. Сходится. 4 .0.4 . Сходится. 4.0. 5 . Сходится. 4.0. 6 . Сходится при а<e.   4.0. 7 . Сходится при a>e. 4.0. 8 . Сходится при p>1. 4.0. 9 . Сходится при р>1. 4.0.1 0 . Сходится. 4.0.1 1 . Сходится при α>1. 4.0.1 2 . Сходится.               4.0.1 3 . Сходится. 4.0.14. Сходится. 4.0.15. Сходится. 4.0.16. Сходится. 4.0.17. Сходится.

 

 

Условная сходимость

Теорема Лейбница. Если  и  для всех , то знакочередующийся ряд                                    сходится. При этом для всех  - модуль -ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.

Пример 2.2.1. Проверить выполнение условий теоремы Лейбница для ряда . В случае положительного ответа оценить .

Решение. Вычисляем . Кроме того, последовательность  монотонно убывает. Следовательно, все предположения теоремы Лейбница выполнены. Поэтому справедлива оценка остатка ряда по модулю

                                          . 

Абсолютная сходимость числового ряда. Если ряд из модулей  сходится, то исходный ряд  называется абсолютно сходящимся.

Условная сходимость числового ряда. Если ряд  сходится, а ряд из модулей  расходится, то исходный ряд  называется условно сходящимся.   

Пример 2.2.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для исследования абсолютной сходимости рассмотрим ряд . Как известно (пример 2.1.10), гармонический ряд  расходится. Поэтому у исходного ряда нет абсолютной сходимости. Однако как показано в примере 2.2.1 исходный ряд удовлетворяет предположениям теоремы Лейбница. Поэтому ряд сходится. 

Для проверки условной сходимости, помимо признака Лейбница, применяются также следующий признак:

Признак Абеля - Дирихле. Пусть дан ряд , в котором последовательность  монотонно стремится к , а последовательность частичных сумм    ряда   равномерно ограничена, тогда ряд  - сходится.

Пример 2.2.3. Для произвольно заданного вещественного числа  доказать равномерную ограниченность последовательности частичных сумм    ряда .

Решение. Заметим, что . Поэтому для частичной суммы имеет место равенство .

Как показано в примере 2.1.1 для частичной суммы геометрической прогрессии (независимо от знаменателя) справедливо равенство:

                                      .

Поэтому

. Следовательно,

                 .      Отсюда                                                             при всех .

Замечание. Аналогичная оценка имеет место для последовательности частичных сумм    ряда  при .

Пример 2.2.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как показано в примере 2.1.5 ряд  расходится. Поэтому расходится ряд .

Отсюда нет абсолютной сходимости у ряда . Исследуем условную сходимость по признаку Абеля – Дирихле. Как показано в примере 2.2.3, частичные суммы ряда  равномерно ограничены числом . Кроме того, последовательность  монотонно стремится к . Следовательно, ряд  сходится по признаку Абеля – Дирихле. 

В задачах 5.0.1 – 5.0.6  исследовать абсолютную сходимость числового ряда       с общим членом u_n.

 5.0.1. u_n= (-1)ⁿ⁺¹/(2n-1) .                          5.0.2. u_n= (-1)ⁿ⁺¹/(2n-1)³.

   5.0.3. u_n= (-1)ⁿ⁺¹n/(n+1) .                         5.0.4. u_n=(-1)ⁿ⁺¹/n^α, α>0     

  5.0.5. u_n=(-1)ⁿ⁺¹/ln(n+1).                        5 0.6. u_n= (-1)ⁿ⁺¹/n(n+1).

   

                                              Ответы

 5.0.1.    Сходится условно.                   5.0.2. Сходится абсолютно.               

     5.0.3. Расходится. 5.0.4. Сходится абсолютно при α>1;                                                                                 Сходится условно при 0<α≤1; Расходится при α≤0.

   5.0.5. Сходится   условно. 5.0.6. Сходится абсолютно.

          

Функциональные ряды

 

Сходящийся в области  функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в этой области, если для  любого  найдется число  такое, что для остатка функционального ряда  при всех   и   одновременно имеет место оценка .

Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд  сходится области  и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд  такой, что для всех  и для всех , начиная с некоторого номера, члены ряда  удовлетворяют условию . Тогда ряд  сходится абсолютно и равномерно в области .

Пример 2.3.1. Исследовать абсолютную и равномерную сходимость по признаку Вейерштрасса .

 Решение. При  ряд сходится. Поэтому, без ограничения общности можно предполагать, что . Тогда сходимость ряда равносильна сходимости ряда .

Так как

, то при  или достигается минимум для знаменателя, а, следовательно, максимум для дроби. Поэтому

                                         .

Ряд  сходится как ряд Дирихле с показателем степени . Отсюда исходный ряд сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса при всех значениях переменной.

Степенные ряды

Теорема Абеля.  Если степенной ряд  сходится в точке , то он абсолютно сходится для всех , таких, что , причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге . Если же ряд  расходится в точке , то он расходится и для всех  таких, что .

Замечание. а) Из теоремы Абеля следует существование круга сходимости.

б) Из признака Вейерштрасса следует: если степенной ряд  абсолютно сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

Пример 2.3.2. Найти область абсолютной сходимости ряда . В каком круге данный ряд равномерно сходится?

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид

                                              .

Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем                                          .

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это гармонический ряд , который, как известно, расходится. Поэтому по теореме Абеля ряд равномерно сходится . Заметим, что при  ряд  сходится, на основании признака Абеля - Дирихле (полагая ( )), а

, .

.

Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ:  абсолютно сходится,  равномерно сходится.

Пример 2.3.3. Найти область абсолютной сходимости . В каком круге данный ряд равномерно сходится?

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид                                                  . Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем .

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это сходящийся ряд Дирихле . Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится, если . Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ: в круге  абсолютно и равномерно сходится. 

Ряды Маклорена

 

Разложения основных элементарных функций:

, ; , ; , ; , ; , ; , .

Замечание. Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, можно найти разложение некоторых функций по степеням .

Пример 2.3.4. Используя разложение , а также возможность почленного интегрирования степенных рядов, разложить функцию  по степеням  и указать область сходимости полученного ряда.

Решение. Как известно, . Поэтому                                       , следовательно,       .

Отсюда

                        .

Область сходимости для полученного ряда как и для разложения в ряд   - вся комплексная плоскость, т.е. .

Пример 2.3.5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки  функцию . Найти радиус сходимости ряда.

Решение. Разложим данную функцию на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

.

Из тождества , полагая последовательно , находим

т.е.

.

Преобразуем правую часть равенства следующим образом:

.

Используя разложение функции , получим

Радиус сходимости можно определить двумя способами. Ряд в первой скобке сходится в круге , ряд во второй скобке в круге . Оба ряда сходятся в круге , поэтому радиус сходимости R=1.

Второй способ определения R следует из формулы для

.

Радиус сходимости R равен расстоянию от центра круга  до ближайшей точки  при которой знаменатель обращается в нуль. В нашем случае , а точка . Поэтому радиус сходимости равен .

Пример 2.3.6. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки  функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом:

.

Используя разложение для  получим.

Ряд сходится в круге .

  При разложении в ряды Тейлора отношения двух функций, ряды Тейлора которых известны, полезно применять метод неопределенных коэффициентов. Суть метода рассмотрим на конкретном примере. Теоретической основой метода является единственность разложения функции в ряд Тейлора.

Пример 2.3.7. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения функции f(z)=tgz в окрестности точки z=0.

Решение. . По методу неопределенных коэффициентов, справедливо равенство .

Здесь ,…- неопределенные коэффициенты.

Так как функция tg z, нечетная, то .

Учитывая известные разложения для функций sinz, cosz получим тождество:

.

После преобразований, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим уравнения для неизвестных коэффициентов :

Решая эту систему, получим .

В задачах 6.0.1 – 6.0.3 найти область абсолютной сходимости

6.0.1. . 6.0.2. . 6.0.3. .

                                               

В задачах 6.0.4, 6.0.5 найти область сходимости.

6.0.4. . 6.0.5. .

В задачах 6.0.6 - 6.0.9 найти область абсолютной сходимости ряда и указать круг, в котором ряд равномерно сходится.

6.0.6. ; 6.0.7. ; 6.0.8. ;

6.0.9. .

6.0.10. Используя разложения элементарных функций, разложить в ряды Тейлора заданные функции и найти радиусы сходимости

а) sin 2 z;                      б) cos 3 z;       в) ;    г) ;

д) ; е) ln (2–z), ;      ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) .

6.0.11. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения функций в ряд Тейлора, полагая

м) ;                     н) .

                                                              Ответы

6.0.1.  |z|>5.            6.0.2.     |z+1|> 1/3.                     6.0.3. 1 < |z| < 2.

 

 6.0.4. z|≤1 за исключением точки z= -1. 6.0.5. Вся комплексная плоскость. 6.0.6. На всей комплексной плоскости сходится абсолютно и при  равномерно сходится. 6.0.7. На всей комплексной плоскости сходится абсолютно и при  равномерно сходится. 6.0.8.  абсолютно сходится,  равномерно сходится. 6.0.9. абсолютно и равномерно сходится.

6.0.10. а) б)

в)                     г)

д)        е)

ж)   з)

и)  к) л)  6.0.11. м) н)

 

 3. Особые точки и разложения в ряды

 

3. 1. Ряд Лорана

Теорема Лорана. Всякая функции  аналитическая в кольце  однозначно представляется в этом кольце в виде сходящегося ряда

                                   ,                                         (3.1.1) где                ,                                                   - произвольное число, удовлетворяющее неравенству .

Степенной ряд (3.1.1) называется рядом Лорана функции  или разложением в ряд Лорана функции  по степеням . Здесь  – фиксированная точка комплексной плоскости, называемая центром разложения.

Более подробно: ряд Лорана – это степенной ряд вида

                        .

 Второе слагаемое  называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое  - главной частью ряда Лорана.

Замечание. Теорема Лорана останется в силе, если и функция  аналитическая при , т.е. в окрестности бесконечно удаленной точки .

 Чтобы разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности  нужно выполнить замену переменной  и провести разложение функции   в ряд Лорана с центром в точке . Выполнив обратную замену переменной, получим искомый ряд Лорана в окрестности .

Пример 3.1.1.  Разложить в ряд Лорана в окрестности .

Решение. Чтобы разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности  нужно выполнить замену переменной  и провести разложение функции  в ряд Лорана с центром в точке . Выполнив обратную замену переменной, получим искомый ряд Лорана в окрестности .

Имеем  по известному разложению. Ответ: .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: