Основные элементарные функции комплексной переменной

 

1) Показательная функция (формула Эйлера) .

2) Тригонометрические функции

.

3) Гиперболические функции

, , , .

Заметим, что , , , .

4) Логарифмическая функция  является многозначной функцией. Главное значение (главная ветвь) .

 5) Степенная функция ; главная ветвь .

6) Показательная функция ; главная ветвь .

7) Обратные тригонометрические функции

; ; ;                                      ;

(Ареасинус) ; (Ареакосинус) ; (Ареатангенс) ;          (Ареакотангенс) .

Замечание. Функция  комплексной переменной  сама является многозначной функцией. Выбор ветви многозначной функции здесь производится из условия, чтобы рассматриваемая функция  являлась аналитическим продолжением соответствующей функции действительной переменной. Из последнего условия следует, что должно быть взято то значение корня, которое положительно при положительных действительных значениях подкоренного выражения.                                    

Пример 1.1.9. Найти аналитическое выражение для функции .

Решение. По определению обратной тригонометрической функции равенство  равносильно равенству . Отсюда . Полагая в последнем равенстве , получим квадратное уравнение . Выбираем одно решение этого уравнения (см. замечание) 

. Следовательно,  и

. Так как , то .

Пример 1.1.10. Вычислить .

Решение. Полагая , , по формуле  находим .

По формуле , учитывая, что , , вычисляем , - целое число. Отсюда . 

1.0.1. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:

а) z =1–i,             б) z= ,     в) z= –3i,         г) z= – 4– 3i.

1.0.2. Заданные комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах:

а) z = – 4,            б) z = 2i,         в) z = –2i,        г) ,

д) z =5+3i,                    е) z = –2–3i.

1.0.3. Вычислить: а) ;б) ; в) ; г) ;д) .

1.0.4. Найти все значения корня:

а) ; б) ;     в) ;            г) ;    д) ; е) .

1.0.5. Найти множества точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:

а) ; б) ;     в) ;    г) ;

д) ;                       е) ;

ж) ;  з) ;

и) .

1.0.6. Найти действительную и мнимую части указанных функций.

а) ; б) ; в) ; г) ;  

1.0.7. Вычислить: а) ;         б) ;      в) ; г) .               

1.0.8. Докажите, что если  корень многочлена с действительными коэффициентами, то  также корень.

1.0.9. Докажите основные тригонометрические соотношения: ,

, .

Убедиться, что неравенства ≤1, ≤1 не выполняются в случае, когда аргумент тригонометрической функции комплексное число.

1.0.10. Проверьте справедливость равенств:

a) ; b) ; c) ; d) .

1.0.11. Докажите формулу Муавра: .

Указание. Использовать тригонометрическую и показательную формы записи.

 1.0.12. С помощью формулы Муавра докажите равенства: , .

Указание. Преобразовать левую часть равенства , затем использовать условие равенства двух комплексных чисел и тригонометрическое тождество .
Проверить справедливость утверждений: а)  z/n=0;

б) arg[(-1)ⁿ/n] не существует 

Ответы

1.0.1. а) ;               б) ; ;

в)                      г)

1.0.2. а)       б)

в)   г)

д)

е) .

1.0.3. а) б) ;     в) ; г)1728;           д)

1.0.4. а)               б) , ;

в)               г) , ;

д) е)

1.0.5. а) ;  б) ; в) ;                    г) ; д) ;        е) ;                          ж) ;    з)  ;   и) .                     

1.0.6. а) б)

в) г)

1.0.7. а) б) в)       г) .      

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: