Классификация изолированных особых точек

 

Точка  называется изолированной особой точкой функции , если  аналитическая в “проколотой” окрестности точки , т.е. на множестве , а точка  является особой точкой функции .

Другими словами, точка z₀ называется изолированной особой точкой функции , если существует такая окрестность точки , в которой нет других особых точек функции .

Классификация изолированных особых точек следующая: устранимая особая точка, полюс порядка , существенно особая точка.

Замечание. Бесконечно удаленная особая точка  является изолированной особой точкой для функции , если существует окрестность  точки , в которой нет других особых точек, за исключением бесконечно удаленной точки. Другими словами, у функции не существует неограниченно возрастающей последовательности особых точек. Чтобы определить характер изолированной особой точки  для функции  нужно выполнить замену переменной  и определить характер  для функции , который совпадает с характером точки  для функции . Поэтому достаточно научиться определять характер конечной точки.

Если главная часть ряда Лорана (3.1.1) функции  в окрестности изолированной особой точки  отсутствует, то  называется устранимой особой точкой.

Другими словами,  - устранимая особая точка  в окрестности точки .

В этом случае существует . Если функция не определена в точке , то ее можно доопределить по непрерывности, положив .

Пример 3.2.1. Для функции  найти все особые точки и определить их характер.

Решение. Функция  имеет единственную конечную особую точку . Разложим в ряд Лорана функцию  в окрестности точки , используя известное разложение,

     .

Поскольку главная часть отсутствует, - это устранимая особая точка.

Для определения характера точки , полагаем , получим:

 . Так как главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, то - это существенно особая точка, а, следовательно, - существенно особая точка.

Полюс порядка . Нули функции

 

Если главная часть ряда Лорана функции  в окрестности ее изолированной особой точки  содержит конечное число членов:  для всех , причем , то  - называется полюсом порядка .

В окрестности полюса верно представление

       ,                         где                                      аналитическая в окрестности точки  функция, причем .

Из такого представления функции  вблизи полюса порядка  видно, что  неограниченно возрастает при стремлении  к .
Обратно: Если  изолированная особая точка и  (независимо от способа стремления  к ), то  - полюс .

Точка  - нуль -го порядка функции , если , . В нуле -го порядка   и .

Пример 3.2.2. Для функции  найти нули и определить их порядок.

Решение. Нулями функции  будут числа , где - любое целое число. Находим производные до тех пор, пока не встретится производная, для которой  не являются нулями. В данном случае, , . Отсюда  являются нулями второго порядка.

Характер особой точки для функции . Пусть точка  является нулем порядка  для функции  и нулем порядка  для функции , тогда   является для функции  полюсом порядка , если , устранимой особой точкой, если , нулем порядка , если . 

Пример 3.2.3. Для функции  найти все особые точки и определить их характер.

Решение. Сначала находим нули знаменателя. Нулями функции  будут числа , где - любое целое число. В примере 3.2.2 было установлено, что  являются нулями второго порядка. Однако точка  является также нулем первого порядка для числителя. Отсюда делаем вывод, что является простым полюсом для функции , а  при  - полюсы второго порядка. Точка  не является изолированной особой точкой, поскольку . Поэтому характер точки  не определяется.

 Существенно особая точка

 Точка  называется существенно особой точкой функции , если главная часть ряда Лорана функции  в окрестности ее изолированной особой точки  содержит бесконечно много членов, т.е. бесконечное число коэффициентов  в разложении (3.1.1).

 Пример 3.2.4. Для функции  определить характер точки .

Решение. Используя известное разложение , находим разложение                                                      .Так как главная часть содержит бесконечное число членов, то точка  является существенно особой точкой. 

Пример 3.2.5. Определить характер  для функции .

Решение. Выполнив замену переменной , получим функцию . Определим характер точки . Как было показано в примере 3.2.4 точка  является существенно особой точкой для функции . Поэтому  также является существенно особой точкой для функции . 

Пример 3.2.6. Определить характер  для следующих функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Полагая , получим: ; .

а) Точка  является нулем восьмого порядка функции , следовательно, точка  - нуль восьмого порядка заданной функции.

б) Точка  - полюс четвертого порядка функции , поэтому точка  является полюсом четвертого порядка для данной функции.

в) Разлагая заданную функцию в степенной ряд, получим . Таким образом,  - существенно особая точка функции .

8.0.1.Определить характер всех конечных особых точек а) ;            б) ;    в) ; г) ; д) ;         е) ; ж). ; з) .

8.0.2. Доказать, что , если .

                                                       Ответы

8.0.1.а) z=0 – полюс второго порядка;  б) ,  – полюсы первого порядка; в)  – полюсы второго порядка; г)  – существенно особая точка; д)  – существенно особая точка; е)  – существенно особая точка;  ж) , - нуль первого порядка; , – полюсы первого порядка; з)  – полюс второго порядка.

Теория вычетов

Вычет

 

Пусть - изолированная особая точка функции . Комплексное число , где  - замкнутый контур, который можно стянуть к , оставаясь в кольце аналитичности функции , называется вычетом  в точке .

Очевидно,    в разложении (3.1.1).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: