Остаточный член ряда Тейлора.

Обозначим T_n ( x ) сумму первых членов ряда Тейлора:

T_n (x) = f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+…+ =( f ⁿ ( x ₀ ) ( x - x ₀ ) ⁿ )/ n !

 Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:

R_n ( x ) = f ( x )+ T_n ( x )

Таким образом, имеет место формула Тейлора:

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!+ R_n ( x )

Важно знать, как устроен остаток R_n ( x )

 Теорема. Если ф-я f ( x ) имеет произв-ю ( n +1)-го порядка f ^{( n +1)} ( x ) в окр-ти точки x ₀ , то остат член имеет вид:

R_n ( x ) = ( x - x ₀ ) ^{n +1} )/( n +1)!∙ f ^{( n +1)} ( ξ ), где ξ -некот точка, леж м/д x и x ₀ . Само по себе выражение для R_n ( x ) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f ^{( n +1)} ( x ) вычисляется .

105.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды

Если ф-ция f ( x ) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f ( x ) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.

Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-ции f ( x ) ограничены в окрестности U ( x ₀ ) точки x ₀ одним и тем же числом С,т.е. | f ^{( n )} ( x )| ≤ C ( n =1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f ( x ) для любого x из этой окрестности.

Если ф-ция f ( x ) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.

Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),

sinx=x/1!-x³/3!+x⁵/5! –x⁷7! +...+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...

                          (-∞<x<+∞),

cosx=1 - x²/2!+x⁴/4! – x⁶/6!+...+(-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!+…

                          (-∞<x<+∞),

ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x⁴/4+...+(- 1)^n-1 xⁿ/n+...

                         (-1<x≤1),

(1+x)^m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+

+ m ( m -1)...( m - n +1) x ⁿ/ n !

Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m ,если -1< x <1

106.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений

Разложение ф-ций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений ф-ций, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений. Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница, то ипользуется оценка

∆<| u_{n +1} |, где u_{n +1} – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.

Осн св-ва опред интеграла

 Значение о.и. не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Если , x ? [ a ; b ]

99. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница). Абсол и условная сходимость.

О. Ряд вида  (1)

Наз знакочеред-ся.

Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).

Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.

О. Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

⇐ Предыдущая567891011121314

Поделиться: