Кинематика поступательного движения материальной точки

Стр 1 из 14Следующая ⇒

Положение материальной точки относительно системы отсчета можно указать с помощью радиуса-вектора ; проведенного в данную точку из начала координат – точки (рисунок 1.2). При этом закон движения точки указывается в виде , где - векторная функция, описывающая зависимость радиуса-вектора от времени . Такой способ описания движения носит название векторного (полярная система координат). Он наиболее удобен для теоретических исследований.

Рисунок 1.2 – Радиус-вектор

При решении задачи в численном виде, применяют координатный метод (декартовая система координат) описания движения. В этом случае положение точки М указывают с помощью координат x , y , z, являющихся проекциями радиуса – вектора rна координатные оси. Закон движения записывается при этом в виде трех скалярных функций

(1.1)

Если заранее известна траектория движения материальной точки, можно использовать наиболее простой способ описания движения – естественный, при котором положение материальной точки определяется расстоянием от некоторой начальной точки, измеренным вдоль траектории. Величину называют дуговой координатой, а закон движения записывают в виде

(1.2)

Вектор , соединяющий начальную 1 и конечную 2 точки движения (рисунок1.3), называется перемещением. Если точка движется по траектории все время в одну сторону, то за время её дуговая координата изменится на величину , называемую длиной пройденного пути , где и – дуговые координаты точек 1 и 2 соответственно.

Рисунок 1.3– Вектор перемещения

Для оценки быстроты изменения положения тела в пространстве с течением времени вводится понятие скорость – векторная величина.

Средней скоростью называют величину, равную отношению перемещения к промежутку времени , в течение которого это перемещение произошло,

(1.3)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим отрезком траектории, и модуль его равен пройденному пути . В этом случае

. (1.4)

Средняя скорость может иметь различное значение на разных участках траектории, поэтому надо знать скорость в данный момент времени –мгновенную скорость. Мгновенная скорость определяется как производная от перемещения по времени:

(1.5)

По мере уменьшения интервала времени величина пути приближается к модулю перемещения , поэтому одновременно с (1.5) для численного значения мгновенной скорости справедливо выражение

(1.6)

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке (рисунок 1.3).

В большинстве случаев скорость со временем может изменяться по величине, по направлению, либо по величине и по направлению одновременно. Для оценки быстроты изменений скорости вводится понятие ускорения .

Ускорение – это отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло.

Равномерное изменение скорости может быть оценено средним ускорением

(1.7)

При неравномерном изменении скорости во времени необходимо определить мгновенное ускорение

. (1.8)

Если движение тела криволинейное и скорость его изменяется по величине и по направлению, то вектор ускорения имеет направление под углом к вектору скорости. В этом случае – это полное ускорение, состоящее из касательного (тангенциального) и – нормального (центростремительного), т.е.

(1.9)

На рисунке 1.4 изображен случай ускоренного движения.

Рисунок 1.4 – Вектор ускорения

Касательное (тангенциальное) ускорение направлено по касательной к траектории движения и характеризует изменение скорости по величине

. (1.10)

Оно может совпадать по направлению со скоростью движения, в этом случае движение ускоренное. Если движение замедляется, то вектор направлен противоположно вектору скорости.

Ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по направлению, называют нормальным (центростремительным) ускорением

(1.11)

В пределе при вектор будет перпендикулярен к вектору и направлен к центру кривизны (рисунок 1.4).

Модуль нормального ускорения определяется как

(1.12)

Модуль полного ускорения равен:

(1.13)

(векторы и взаимно перпендикулярны).

Классифицируя поступательное движение на равномерное, равнопеременное и неравномерное, можно записать следующие уравнения:

- равномерное

; (1.14)

- равнопеременное

, , . (1.15)

- неравномерное

; ; (1.16)

В формулах плюс соответствует случаю равноускоренного движения, а минус – равнозамедленного.

Пример №1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид , , , Для момента времени определить: 1) координату точки, 2) мгновенную скорость , 3) мгновенное ускорение .

Найти:

Решение.1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени :

Подставим в это выражение значения и произведем вычисления:

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату по времени: . Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость .

Подставим сюда значения и произведем вычисления:

Знак минус указывает на то, что в момент времени точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты по времени: Мгновенное ускорение в заданный момент времени равно

Подставим значения и произведем вычисления:

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример № 2. Автомобиль движется равноускоренно с начальной скоростью и ускорением . За какое время t он пройдет пути?

Дано:

Найти:

Решение.Для решения задачи воспользуемся формулой (1.16), записанной в виде

,так как .

Приведем ее к квадратному уравнению:

. (1)

Решение уравнения (1) будет выглядеть следующим образом:

Знак минус перед корнем мы отбросим, так как время не может быть отрицательной величиной. Выразим путь в единицах СИ: .

Подставим числа и вычислим время :

Ответ: .

Пример № 3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

. На какой высоте h и через сколько времени t скорость тела будет вдвое меньше первоначальной скорости ?Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано

Найти:

Решение. Обозначим: – начальная скорость тела в момент бросания,–время взлета тела на высоту – скорость тела на высоте – ускорение свободного падения тела.