Кинематика вращательного движения. Вопросы для самопроверки

Вращательное движение рассмотрим на примере вращения тела вокруг неподвижной оси. Различные точки вращающегося твердого тела движутся по траекториям с различными скоростями и ускорениями, однако все радиусы, соединяющие ось вращения с точками тела, поворачиваются за время  на одинаковые углы  (рисунок 1.5). Поэтому для описания вращательного движения вводятся угловые кинематические характеристики, главной особенностью которых является то, что они имеют одинаковые значения для всех точек вращающегося тела.

Угловыми кинематическими величинами являются: угол поворота , рад; угловая скорость , рад/с и угловое ускорение рад/с².

Рисунок 1.5 – Движение материальной точки по окружности

 

По аналогии с линейной скоростью  мгновенная угловая скорость равна

                                       (1.17)

При равномерном вращении тела средняя угловая скорость определяется как

                                                              (1.18)

В этом случае движение можно характеризовать периодом или частотой вращения.

Период вращения  – время совершения телом одного полного оборота (поворот на угол ) вокруг оси, с:

                                                                      (1.19)

Частота вращения – число оборотов, совершаемых телом в единицу времени, то есть величина, обратная периоду, :

                                   (1.20)

При неравномерном вращении быстроту изменения угловой скорости характеризуют угловым ускорением .

В случае равнопеременного вращения используют среднее угловое ускорение

                                    (1.21)

а при неравномерном движении необходимо определять мгновенное угловое ускорение:

.                                               (1.22)

Векторы  и  – аксиальные векторы, расположенные на оси вращения. Направление вектора  определяется по правилу «правого винта» (рисунок 1.6). Вектор  совпадает с направлением поступательного движения острия буравчика (винта) вдоль оси вращения, когда его ручка вращается по часовой стрелке и совпадает с направлением вращения тела.

a) – при                                           б) – при

Рисунок 1.6 – Направления вектора угловой скорости  и углового ускорения

Если угловая скорость со временем возрастает, то вектор углового ускорения  совпадает по направлению с вектором  (рисунок 1.6 а), если убывает, то он направлен в противоположную сторону (рисунок 1.6 б).

Установим связь между угловыми характеристиками движения тела и линейными характеристиками движения отдельных его точек. На рисунке 1.7 показано движение материальной точки, принадлежащей некоторому абсолютно твердому телу. За время точка проходит путь  по дугеокружности, а радиус-вектор  повернулся при этом на угол . Очевидно,

Рисунок 1.7 – Cвязь между линейными и угловыми скоростями

 

Используя определение скорости (1.6), получим:

                         (1.23)

Нормальное ускорение

                                  (1.24)

Тангенциальное ускорение

               (1.25)

Величины , ,  в кинематике вращательного абсолютного твердого тела аналогичны по физическому смыслу величинам в кинематике поступательного движения, аналогичны и связывающие их уравнения.

 

Таблица 1 – Формулы связи между линейными и угловыми величинами

Поступательное движение	Вращательное движение
Равномерное Равнопеременное Неравнопеременное	Равномерное Равнопеременное Неравнопеременное

Пример № 4. Точка движется по окружности радиусом . Зависимость пути от времени даётся уравнением , где . Найти нормальное и тангенциальное  ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки .

Дано:

,

,

,

.

Найти: ;

Решение. Нормальное и тангенциальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

,

где  – угловая скорость точки; – её угловое ускорение.

Угловую скорость определяют по формуле:

,

тогда                        ,

так как , получим ,

тогда     .

Ответ: ; .

Пример № 5. Пуля, летевшая горизонтально, пробила один за другим два диска, насаженных на один вал и вращавшихся с частотой . Расстояние между дисками . Найти скорость пули между дисками, если угловое смещение пробоины и пробоины оказались расположенными на одинаковом расстоянии от оси вращения.

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение. Поскольку пуля между пробоинами двигалась спостоянной скоростью, то ее скорость определим отношениемрасстояния между дисками S ко времени движения пули между ними t:

.

За это время первый диск, пробитый пулей, повернется на угол φ, вращаясь с угловой скоростью ω, которую мы определим через частоту v.

Согласно определению:

, откуда , где ,

поэтому . С учетом этого

.

Переведем все единицы в СИ:

.

Произведем вычисления: .

Ответ: .

Пример №6. Путь, пройденный материальной точкой при ее равномерном движении по окружности, изменяется с течением времени по закону . Найти частоту оборотов точки n, если радиус окружности .

Дано:

,

.

Найти:

Решение. При равномерном движении материальной точки по окружности уравнение ее движения:

,

где –линейная скорость точки.

Следовательно, ; или ,

откуда                              

Угловая скорость  связана с искомой частотой  простым соотношением

,

откуда                                        ,

или                     

Ответ:

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называют угловой скоростью движения точки по окружности? В каких единицах измеряется угловая скорость?

2. Какова связь линейной скорости с угловой при равномерном движении точки по окружности?

3. Как записывается закон равномерного движения точки через угловые величины?

4. Что называют мгновенной угловой скоростью и каков физический смысл этой величины?

5. Что называют угловым ускорением равнопеременного движения по окружности? Дайте определение единицы измерения углового ускорения. Что называют мгновенным ускорением? Как угловое ускорение связано с угловой скоростью и углом поворота?

6. Какова связь линейного ускорения с угловым?

7.Как записать закон равнопеременного движения точки по окружности через угловые величины?

8. Что понимают под угловой скоростью? Как направлен этот вектор и чему равен его модуль?

9. Что понимают под угловым ускорением? Как направлен этот вектор и чему равна его величина, если ось вращения неподвижна?

10.Как выражаются полное ускорение и его нормальная и тангенциальная составляющие при движении по окружности?

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: