Основные свойства параллельного проецирования

При проецировании между геометрическим объектом и его проекцией существует геометрическая взаимосвязь. Некоторые

 

ТОЧКА

Ортогональная система двух плоскостей проекций.

Эпюр Мошка

Ортогональное или прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного (косоугольного) проецирования. Направление проецирующих лучей в ортогональном проецирова­нии перпендикулярно плоскости проекций.

Метод ортогонального проецирования на две взаимно перпен­дикулярные плоскости называется методом Монжа. Гаспар Монж (1746-1818) - француз, основоположник начертательной гео­метрии.

Рис. 2.1. Система двух плоскостей проекций

Зададим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1^П2 (рис. 2.1): П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2 -фронтальная плоскость проекций. Линия пересечения плоскостей называется осью проекций и обозначается, x₁₂.

Четыре двухгранных угла, па которые плоскости делят про­странство, называются четвертями.

Спроецируем точку А, произвольно выбранную в первой чет­верти, в данной системе плоскостей проекций. Направление лу­чей проецирования S1, перпендикулярно П1 и S2 перпендикулярно л₂. А\ - горизонтальная проекция точки А, А₂ - фронтальная про­ екция точки А. Проецирующие лучи АА1 и АА2 образуют плос­кость, которая пересекает плоскость проекций по прямым А_ХА1 и Ах А₂. Эти прямые перпендикулярны к оси х₁₂ и называются ли­ ниями проекционной связи.

Повернем плоскость П1 вокруг оси х₁₂ до совмещения с П2 на 90° в направлении, указанном на чертеже (см. рис. 2.1). Получим одну плоскость — плоскость чертежа или эпюр (от фр. epures— чертеж) (рис. 2.2).

 

	Аг
Х12    Ах	• ха 0
	уа
	A1
П1

Рис. 2.2. Эпюр точки

Эпюром точки называется чертеж, на котором изображены две проекции точки, расположенные в проекционной связи.

Две проекции точки вполне определяют ее положение в про­странстве. Если из проекций А1 и А2 восставить перпендикуляры

к плоскостям проекций, то точка А определится однозначно. Точ­ка А в пространстве определена тремя координатами х, у, z, кото­рые можно измерять на эпюре.

2.2. Ортогональная система трех плоскостей проекций

В практике для изображения геометрических объектов, реше­ния некоторых задач возникает необходимость использовать тре­тью плоскость проекций л₃, перпендикулярную П1 и П2. Плоскость П₃ - профильная плоскость проекций. А₃ - профильная проекция точки А.

Система трех плоскостей проекций делит пространство на 8 октантов, октанты принято нумеровать римскими цифрами (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Система трёх плоскостей проекций 12

В первом октанте все координаты положительные.

Чтобы перейти к чертежу па плоскости, совместим все три плоскости в одну плоскость П₂ по направлениям, указанным па чертеже. Плоскость П1 вращаем вокруг оси х₁₂ на 90°, плоскость П3 - вокруг оси z₂₃ на 90° против часовой стрелки. При этом ось у раздваивается.

Получается комплексный чертеж точки (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Комплексный чертеж точки

На комплексном чертеже все проекции точки А1, А2, А3 нахо­дятся в проекционной связи. Каждая проекция точки определяет­ся двумя координатами:

А1-Х, У1;

А2-Х, Z;

А3-У3, Z.

В данном примере Х= 30, у = 25, z = 35. Третья профильная проекция точки может быть определена по линиям связи от про­екций А1 и А2. Проекции А2 и А3, расположены на одной горизон-гальной линии связи, которая определяется координатой z (отре­зок ОА z ), а от горизонтальной проекции А\ проводим линию связи

13

перпендикулярно оси у1, отрезок OA _у (координата у) переносим против часовой стрелки на горизонтальную ось у₃ и восставляем перпендикуляр (линию связи) до пересечения с горизонтальной линией связи от а2. Координата у от А1 переносится на горизон­тальную ось y 3 всегда против часовой стрелки, так как плоскость П₃ при совмещении с П3 разворачивается против часовой стрелки.

Профильную проекцию А3 можно определить, откладывая координаты на соответствующих осях проекций с учетом знака.

Знаки координат зависят от того, в каком октанте расположена точка (табл. 1).

Таблица 1

 

 

Координата	Октанты
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
х	+	+	+	+	-	-	-	-
У	+	-	-	+	+	-	-	+
2	+	+	-	-	+	+	-	-

2.3. Точки разных углов пространства. Точки частного положения

Если точка не принадлежит ни одной плоскости проекций, она занимает общее положение.

Если точка расположена в плоскости проекций или на оси проекций, она занимает частное положение.

Рассмотрим ряд точек общего положения (рис. 2.5, 2.6).

Точка В (х = 30, у = 25, z = -35) находится в IV октанте. Про­екция В1 расположена ниже оси х на положительном направлении оси у. Проекция В₂ расположена тоже ниже оси х на отрицатель­ном направлении оси z. В₃ определяется по линиям связи от В1 и В2 или по координатам У= 25, z = -35.

Точка С (х = -30, у = 40, z = 30) находится в V октанте. Проек­ция С1 расположена справа от оси z на отрицательном направле­нии оси х и ниже оси х на положительном направлении оси у. Проекция С₂ расположена выше оси х на положительном направ­лении оси z.

14

Точка L (х = 0, у = 0, z = 40) расположена на оси z.

Сз определяется по линиям связи от С1 и С2 или по координатам У = 40, z = 30.

Рассмотрим точки частного положения, расположенные на плоскостях и осях проекций.

Если координата Х = 0, то точка принадлежит плоскости П₃.

Если координата У= 0, то точка принадлежит плоскости П₂.

Если координата z = 0, то точка принадлежит плоскости П1.

Рассмотрим ряд точек частного положения (рис. 2.7, 2.8).

Рис. 2.7. Точки частного положения

Точка D (х = 0, у = 30, z = 20) принадлежит плоскости П₃ и сов­падает с профильной проекцией D3 проекции D 1 и D2 располо­жены соответственно на осях у и z.

Точка Е (х = 30, у = 0, z = 35) принадлежит плоскости П₂ и сов­падает с фронтальной проекцией Е₂, проекции Е1 и Е3 располо­жены соответственно на осях Х и Z.

Точка К (х = 40, у = 25, z = 0) принадлежит плоскости П1 и сов­падает с горизонтальной проекцией К1, проекции К2 и К3, распо­ложены соответственно на осях х и у.

16

Рис. 2.8. Комплексный чертеж точек частного положения

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сколько проекций точки вполне определяют ее положение в
пространстве?

2. Какая координата точки определяет ее расстояние:

а) до горизонтальной плоскости проекций П1

б) до фронтальной плоскости проекций П2

в) до профильной плоскости проекций П3?

3. Выполнить комплексный чертеж точек и указать, в каком
октанте они расположены:

а)А(х= 50, у = -10, z = -30);

б) В (х =-40, у= -20, z=35);

в) С (х = - 20, у = - 30, z = - 45);

г) D (Х=-30, У=0, Z=-50)

д) Е (х = 0, у = - 40, z = 25).

17

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: