Вращение вокруг проецирующих прямых

Рассмотрим, как изменится положение точки А при её враще­нии вокруг оси / на некоторый угол φ (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Вращение точки

Ось i перпендикулярна плоскости проекций П2, (фронтально проецирующая прямая). При вращении точка А будет переме-

 

 

                                               64

щаться по окружности, плоскость которой Z параллельна плоско-ти проекций П2. На плоскость П2 окружность проецируется без искажения, а на плоскость П1 - в виде прямой Σ i, параллельной оси Х12- Радиус окружности равен расстоянию от точки до оси.

Для поворота точки А на некоторый угол φ на фронтальной про-екции перемещаем А₂ по окружности на угол φ. Определяем новое положение точки А¹₂. Горизонтальная проекция точки А1 пе-ремещается по траектории, параллельной оси х₁₂. Новую гори-зонтальную проекцию А¹₁ определяем по линии связи от А¹₂. Аналогично при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости П1, горизонтальная проекция точки будет перемещать-ся по окружности, а фронтальная - по прямой линии, параллель-

НОЙ ОСИ Х12.

Рис. 5.6. Вращение прямой 65

Пример 4. Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положения. Преобразовать данную прямую в проецирующую (рис. 5.6).

Решение. Чтобы определить натуральную величину отрез- ка прямой общего положения, необходимо преобразовать его в прямую уровня. Одна из проекций прямой уровня параллельна оси х12. Выбираем ось вращения i¹ перпендикулярно плоскости П1. Чтобы повернуть прямую линию на некоторый угол а, необ- ходимо повернуть на этот угол две её точки. Но задачу можно упростить, если ось вращения будет совпадать с одной из точек прямой. В нашем случае ось совпадает с точкой В. Эта точка ос-таётся неподвижной. Остаётся повернуть точку А до положения, при котором отрезок АВ окажется параллельным плоскости П₂. Проекция А¹₁ В¹₁ \\ х12, на фронтальной проекции точка А₂ переме- щается параллельно оси Х12. Данная прямая линия преобразована таким вращением во фронталь. Проекция А¹₂ В¹₂ является нату- ральной величиной отрезка АВ, а угол а - угол наклона прямой к плоскости П1.

Вторым вращением преобразуем отрезок АВ в проецирующую прямую. Для этого ось вращения i² выбираем перпендикулярно плоскости П₂. Ось i² совпадает с точкой А, которая останется не­подвижной при втором вращении. Повернём точку В до положе­ния, при котором прямая займёт положение, перпендикулярное плоскости проекции П1. На фронтальной проекции А²₂ В²₂ перпен­дикулярна оси х12, а на горизонтальной проекции В¹₁ перемещает­ся параллельно оси х12 и совпадает с проекцией А¹₁. Новая гори­зонтальная проекция прямой А²₁ В²₁ преобразуется в точку. Вто­рым вращением данная прямая преобразована в горизонтально проецирующую.

Пример 5. Преобразовать плоскость Т общего положения во фронтально проецирующую. Определить угол её наклона к плоскости П1 (рис. 5.7).

Решение. Чтобы повернуть плоскость вокруг какой-либо оси на угол φ, необходимо повернуть на этот угол геометрические элементы, определяющие плоскость на чертеже.

66

Рис. 5.7. Вращение плоскости

Для преобразования плоскости Т во фронтально проецирую-щую необходимо повернуть её на такой угол, чтобы горизонталь­ный след плоскости оказался перпендикулярным к оси х12- Выби­раем ось вращения i перпендикулярно плоскости П1 так, чтобы в пределах чертежа определялась неподвижная точка плоскости Т— точка пересечения оси i с плоскостью Т. Эту точку 1 (1₁, 1₂) опре-деляем с помощью горизонтали плоскости h. Определяем радиус вращения горизонтального следа плоскости T - i ₁ M ₁ ┴ T ₁. Пово­рачиваем след плоскости Т1 перпендикулярно оси х₁₂, радиус вращения i ₁ M¹₁ || х12. Определяется новая точка схода следов плоскости Т¹_х. Для определения нового фронтального следа Т¹₂ соединяем точку схода следов Т¹_х с фронтальной проекцией не­подвижной точки плоскости 1₂. Плоскость Т преобразована во Фронтально проецирующую, угол а - угол наклона плоскости Т к плоскости проекций П1.

Пример 6. Определить натуральную величину треугольни­ка ABC способом вращения (рис. 5.8).

                                   67

Решение. Первым вращением вокруг оси i, перпендикуляр­ной плоскости П2 и совпадающей с точкой В, преобразуем тре­угольник ABC в горизонтально проецирующую плоскость. По­вернём фронтальную проекцию треугольника ABC в положение, при котором фронталь BD будет перпендикулярна оси х. Горизон­тальные проекции точек А и С перемещаются параллельно оси х, точка В неподвижна. Плоскость преобразована в горизонтально проецирующую, проекция А¹₁ В¹₁ С¹₁ - прямая линия.

Рис. 5.8. Определение натуральной величины плоскости ( ABC ) способом вращения

Вторым вращением вокруг оси i ₁, перпендикулярной плоско­сти П1 и совпадающей с точкой С, преобразуем треугольник ABC во фронтальную плоскость уровня. Повернём горизонтальную проекцию А¹₁ В¹₁ С¹₁ до положения, параллельного оси х,

68

А²₁В²₁С²₁ || Х. На фронтальной проекции точки А и В перемещают­ся параллельно оси х, точка С — неподвижна. Новая фронтальная проекция А²₂В²₂С²₂ является натуральной величиной треугольника ABC.

5.2.2. Вращение вокруг липни уровня

Задачу на определение натуральной величины плоской фигуры можно решить более быстрым способом, если за ось вращения кыбрать линию уровня. Одним вращением вокруг этом линии можно расположить данную плоскость параллельно одной из плоскостей проекций, вращая вокруг горизонтали — параллельно плоскости П1 вокруг фронтали - параллельно плоскости П2.

Рассмотрим пример на рис. 5.9.

Горизонталь h плоскости ( ABC ) является осью вращения i. Точки А и 1 плоскости остаются неподвижными, так как расположены на оси вращения. Задача сводится к определению натуральной величины радиусов вращения двух точек плоскости В и С. Определяем радиусы вращения этих точек: О₁ В_1┴ h ₁, О^’₁С₁┴ h ₁. Найдём натуральную величину радиуса ОВ, вращаем

его вокруг оси, перпендикулярной плоскости П2 в точке О. О₁ В¹₁ — натуральная величина ОВ, откладываем её на горизонтальной проекции радиуса, определяем положение точки В после крашения - В₀. Через В₀ и неподвижную точку 1₁ проводим прямую до пересечения с прямой О^’₁С₁. Определяем положение точки С после вращения - С₀. А₁ В₀С₀ - натуральная величина i треугольника ABC, преобразованного в горизонтальную плоскость уровня. Фронтальная проекция плоскости i треугольника в результате вращения преобразуется в прямую, совпадающую с горизонталью плоскости h.

69

Рис. 5.9. Вращение вокруг горизонтали

Сущность этого способа заключается в том, что все точки геометрической фигуры перемещаются в плоскостях, параллель­ных одной из плоскостей проекций.

Следовательно, точки движутся в плоскостях уровня, и одна из проекций геометрической фигуры перемещается без изменения формы и размеров, а на другой проекции траектории движения точек параллельны оси х.

Рассмотрим преобразование отрезка АВ прямой общего поло­жения в проецирующую прямую (рис. 5.10). Первоначально пре­образуем прямую АВ во фронталь, переместив проекцию А₁ В₁ без изменения размеров параллельно оси х (в произвольном месте). Точки прямой АВ перемещаются параллельно плоскости П1. На фронтальной проекции траектории точек параллельны оси х. Но­вые фронтальные проекции определяем на пересечении линий связи от А¹₁  В¹₁, с траекториями движения точек.

 

5.3. Способ плоскопараллельного перемещения

При использовании способа вращения фигур иногда происхо-­
дит наложение изображений. Этого можно избежать, применяя
способ ппоскопараллелъпого перемещения.
Рис. 5.10. Способ плоскопараллельного перемещения

Проекция А¹₂ В¹₂ является натуральной величиной АВ, так как первым перемещением прямая преобразована во фронталь.

Второе перемещение выполним параллельно плоскости П2. Фронтальную проекцию переместим без изменений размеров перпендикулярно оси х (А²₂В²₂ ┴ Х). На горизонтальной проекции

71

точки движутся параллельно оси х, и отрезок АВ преобразуется в горизонтально проецирующую прямую.

Пример 7. Определить расстояние от точки S до плоскости ABC (рис. 5.11) способом плоскопараллельного перемещения.

С:

Решение. Для решения этой задачи необходимо преобразо­вать плоскость общего положения в проецирующую. Если одна из проекций плоскости будет преобразована в прямую линию, то можно опустить перпендикуляр из точки S и определить расстоя­ние. Перемещаем плоскость ABC перпендикулярно плоскости П2.

прямую линию. Опускаем перпендикуляр из перемещенной точки.?, на новую фронтальную проекцию треугольника.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. В чём заключается сущность способа перемещения плос­-
костей проекций?

2. Сколько последовательных преобразований и каких нужно
выполнить, чтобы определить натуральную величину плоскости
общего положения?

3. Как движутся точки геометрического объекта при враще-
нии его вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций?

4. Сколько последовательных вращений и каких нужно вы­
полнить, чтобы преобразовать прямую общего положения в про-­
ецирующую?

5. Определите расстояние между двумя параллельными пря­-
мыми общего положения способом плоскопараллельного пере­-
мещения?

6. Определите натуральную величину треугольника враще­-
нием его вокруг фронтали.

 

Рис. 5.11

Располагаем новую горизонтальную проекцию прямоугольни­ка А¹₁В¹₁С¹₁ без изменения формы и размера так, чтобы горизон­таль h оказалась перпендикулярной плоскости П₂. На фронталь­ной проекции точки перемещаются параллельно оси х. Новая фронтальная проекция треугольника А¹₂В¹₂С¹₂ преобразуется в

73

ПОВЕРХНОСТИ

Многогранные поверхности

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: