Классификация многогранников

Многогранник — это замкнутая пространственная фигура, ог­раниченная плоскими многоугольниками (частями пересекаю­щихся плоскостей).

Выпуклые многоугольники - это такие многоугольники, у ко­торых все вершины и ребра находятся по одну сторону любой из

их граней.

Наибольший интерес представляют призмы, пирамиды и пра­вильные выпуклые многоугольники — тела Платона.

Призма — это многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники (основания призмы) со взаимно параллельными сторонами, все другие грани - параллелограммы (или прямоугольники).

Пирамида - это многогранник, одна грань которого - много­угольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной.

Тела Платона - это многогранники, все грани которых пред­ставляют собой правильные и равные многоугольники. Углы при вершинах таких многоугольников равны между собой. Существу­ет 5 типов правильных многогранников: гексаэдр (куб) - 6 квад­ратов; тетраэдр; октаэдр; икосаэдр - 4, 8 и 20 правильных тре­угольников; додекаэдр - 12 правильных пятиугольников.

6.1.2. Некоторые позиционные задачи на пересечение многогранника с прямой и плоскостью

Плоскость пересекает многогранную поверхность по плоской замкнутой ломаной линии, называемой фигурой сечения. Верши­ны и стороны фигуры сечения определяются пересечением за­данной плоскости соответственно с рёбрами и гранями много­угольника. То есть многократно решается задача или на пересе-

74

чение двух плоскостей (граней многогранника с секущей плоско­стью), или па пересечение прямой с плоскостью (рёбер много­гранника с секущей плоскостью). Это уже известные задачи.

Пример 1. Дана треугольная наклонная пирамида и секу­щая фронтально проецирующая плоскость ∑ (рис. 6.1). Опреде­лить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.1

Решение. Так как секущая плоскость является фронтально проецирующей, то фронтальная проекция фигуры сечения (1₂2₂3₂) совпадет со следом плоскости ∑ ₂. Фигура сечения является треугольником и определяется на пересечении следа плоскости с соответствующими ребрами пирамиды. По линиям связи определяются горизонтальные проекции вершин треугольника (1₁2₁3₁) на соответствующих ребрах пирамиды. Далее определяется видимость звеньев линии сечения в зависимости от видимости граней пирамиды на горизонтальной проекции.

75

Пример 2. Дана прямая треугольная призма и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.2). Определить проекции фигуры сечения.

Пример 3. Дана прямоугольная пирамида и секущая плос-сть общего положения Т (рис. 6.3). Определить проекции фигу­ры сечения.

Рис. 6.2. Пересечение многогранника плоскостью

Решение. Так как боковые грани призмы являются гори­зонтально проецирующими плоскостями, то горизонтальная про­екция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е. (А₁В₁С₁) = (1₁2₁3₁). Решение задачи сводится к onpe- делению второй проекции точек сечения, принадлежащих и плоскости Т и призме.

Для этого воспользуемся фронталями плоскости f, проведен- ными через соответствующие точки 1₁ = В₁, 2₁, = А₁, 3₁, = С₁ Фрон- тальную проекцию фигуры сечения (1₂2₂3₂) определяем на пересечении фронтальных проекций фронталей с соответствую- щими рёбрами призмы.

Определяем видимость звеньев линии сечения.

76

Рис. 6.3

77

Решение. Ребра и грани пирамиды являются геометриче­скими объектами общего положения. Определим точки фигуры пересечения, решая несколько раз задачу на пересечение прямой с плоскостью (ребра пирамиды с секущей плоскостью). Для этого заключаем последовательно каждое ребро во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость: ребро AS - в плоскость ∆ (∆ ₂ = A 2 S 2), ребро BS - в плоскость λ (λ ₂ ≡ В2 S 2), ребро CS - в плоскость ∑ (∑ ₂≡ C2S2). Определяем линию пересечения каждой вспомогательной плоскости с секущей плоскостью — линии (1₁2₁), (3₁4₁), (5₁6₁). На пересечении линий пересечения и проекций со­ответствующих ребер определяем искомые точки фигуры сечения (D₁E₁F₁), (D₂E₂F₂).

Пример 4. Дана прямоугольная пирамида и прямая общего положения L (рис. 6.4). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Решение. Так как прямая L является прямой общего поло­жения, задача решается аналогично задаче нахождение точки пе­ресечения прямой и плоскости. Заключаем прямую L во вспомога­тельную фронтально проецирующую плоскость ∑ (∑ ₂≡ L2). Стро­им сечение пирамиды вспомогательной плоскостью ∑ (аналогич­но задаче 1, рис. 6.1). На пересечении горизонтальной проекции прямой L1 с контуром сечения (1₁2₁3₁) находим искомые точки D и Е. Определяем видимость прямой относительно точек пересече­ния с пирамидой.

Развертка многогранника

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полу­ченная совмещением поверхности с плоскостью.

Построение разверток важно для тех видов производства, где продукция изготавливается из листового материала. При проек­тировании листовых конструкций выполняется построение раз­верток их поверхностей. При построении развертки многогран­ника необходимо определить натуральную величину всех его гра­ней.

78

Рис. 6.4. Пересечение прямой с многогранником

Существует несколько способов построения разверток: способ нормального сечения, способ раскатки.

Рассмотрим построение развертки призмы способом нормаль-

ного сечения.

79

 

Пример 5. Дама треугольная призма (рис. 6.5). Построить развертку поверхности данной призмы.

Рис. 6.5. Развёртка призмы. Способ нормального сечения

80

Решение. Пересечем призму плоскостью Т перпендикуляр­но ее боковым ребрам. Полученное сечение (123) называется нормальным. Так как в данной задаче ребра призмы являются горизонталями, то след плоскости нормального сечения Т₁ пер­пендикулярен горизонтальным проекциям ребер A ₁ F _1, B ₁ D ₁, C ₁ E ₁. Определяем натуральную величину нормального сечения призмы плоскостью Т способом вращения вокруг оси i. Фигура (1¹₂, 2¹₂, 3¹₂)натуральная величина нормального сечения. Для построения развертки на горизонтальной линии отложим отрезки, равные сторонам нормального сечения: 1₀2₀≡ 1¹₂2¹₂, 2₀3₀≡ 2¹₂3¹_2, 3₀1₀≡ 3¹₂1¹₂. Ребра призмы перпендикулярны линии нормального сечения, их натуральную величину измеряем на го­ризонтальной плоскости (так как ребра являются горизонталями) B₀ D ₀ ≡ B ₁ D ₁, A ₀ F ₀ ≡ A ₁ F ₁, С₀Е₀≡ С₁Е₁. Полученная фигура B ₀ AoCoBoDoE ₀ FoD o является боковой поверхностью призмы. Для получения полной развертки достраиваем основания призмы в натуральную величину.

                                      6.2. Кривые поверхности

                     6.2. I. Основные понятия

В начертательной геометрии кривая поверхность определяет­ся как непрерывное множество положений перемещающейся в пространстве линии, называемой образующей. Образующая мо­жет быть прямой (линейчатая поверхность) или кривой (нели­нейчатая ) линией. Движение образующей в пространстве может осуществляться по некоторому закону. Такая поверхность назы­вается закономерной в отличие от незакономерной (случайной) поверхности. К числу условий перемещения в пространстве обра­зующей линии относятся: перемещение по неподвижным линиям направляющим, вращательное движение вокруг неподвижной оси, винтовое перемещение и др.

81

Одна и та же поверхность может быть образована перемеще­нием различных линий и согласно различным условиям. Напри­мер, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть рассмотрена как результат:

- перемещения окружности вдоль некоторой оси;

- вращения некоторой образующей прямой линии вокруг оси
вращения;

- вращения некоторой кривой линии, все точки которой рав­-
ноудалены от оси вращения.

Рассматривая совокупность прямолинейных образующих с со­вокупностью образующих окружностей получим каркас данной поверхности цилиндра.

Множество неподвижных линий, инцидентных данной по­верхности и объединенных каким-либо общим признаком, назы­вается её каркасом.

6.2.2. Задание поверхности вращения на чертеже. Точки и линии па поверхности

На чертеже поверхность изображают очерком проекций поверхности или её отдельных частей.

Задать поверхность, на чертеже - значит указать условия, позволяющие построить каждую точку этой поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, принадлежащей данной поверхности. Рассмотрим чертёж конуса и точки, принадлежащие его поверхности (рис. 6.6). Фронтальная проекция конуса задана очерковыми образующими, определяющими границы поверхности, а горизонтальная -проекцией основания конуса. Каркас конуса - это совокупность образующих прямых линий, соединяющих их вершину S и основание конуса и совокупность параллелей — окружностей различного радиуса, плоскость которых перпендикулярна оси конуса.

82

Рис. 6.6

Рассмотрим ряд точек на боковой поверхности конуса. Точ­ка А расположена на очерковой образующей конуса, её горизон-тальная проекция находится на линии связи на оси конуса. Обра-

83

тим внимание, что очерковая образующая является фронталью, т. е. её фронтальная проекция - натуральная величина образую­щей конуса.

Принадлежность точек В и С поверхности конуса определяет­ся соответственно с помощью параллели радиуса R или обра­зующей конуса

6.2.3. Позиционные задачи па пересечение поверхности с прямой линией и плоскостью

В общем случае пересечением поверхности с плоскостью яв­ляется кривая линия.

Рассмотрим конические сечения фронтально проецирующими плоскостями и горизонтальной плоскостью уровня (рис. 6.7) Обо­значим угол наклона образующей к оси конуса а, а угол наклона следа плоскости - ф. В зависимости от угла наклона плоскости линией сечения может быть окружность, эллипс, парабола, ги­пербола. Если:

φ = 90°, линия сечения - окружность;

φ > а - эллипс;

φ = а- парабола;

φ < а - гипербола.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

Пример 6. Построить линию сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью Σ (рис. 6.8).

Решение. Линией сечения в данном случае будет неполный эллипс, так как угол наклона плоскости Σ к оси конуса больше угла наклона образующей. Фронтальная проекция линии сечения совпадает со следом плоскости, так как секущая плоскость явля­ется фронтально проецирующей. Определим горизонтальную проекцию сечения. Первоначально отметим опорные точки: точ­ка 1 на очерковой образующей является высшей точкой сечения, точки 2 и 3 на основании конуса — низшие точки. Ряд промежу-

 

Рис. 6.7. Сечение конуса

точных точек 4, 5, 6, 7 определяем с помощью параллелей конуса, проведённых через эти точки. Точки 8, 9 определены через обра­зующую конуса. Полученные точки плавно соединяем с учётом видимости.

 

84

85

Рис. 6.8

Пример 7. Определить точки пересечения прямой а с ко­нусом (рис. 6.9).

86

Рис. 6.9. Пересечение прямой с конусом 87

Решение. Для решения задачи выгоднее всего использовать вспомогательную плоскость, проходящую через вершину конуса. Для этого дополним прямую а до плоскости прямой b, пересе­кающейся с ней в точке 1 (см. рис. 6.9). Определим горизонталь­ный след вспомогательной плоскости Σ (a ∩ b). Для этого найдём следы прямых а и b - М и М¹. Отметим точки пересечения осно­вания конуса с горизонтальным следом ∑ - точки А и В. Опреде­лилась линия сечения конуса со вспомогательной плоскостью -треугольник ABS.

На пересечении линии сечения A ₁ B ₁ S ₁ и проекции прямой а₁ находим искомые точки K₁ и L ₁, по линиям связи -точки K₂ и L ₂. Затем определяем видимость прямой относительно точек пересе­чения.

6.2.4. Взаимное пересечение поверхностей

Две кривые поверхности в общем случае пересекаются по пространственной кривой линии. Для построения этой линии, в зависимости оттого, как заданы поверхности, применяют метод вспомогательных секущих плоскостей или метод секущих сфер.

При использовании метода секущих плоскостей вводится ряд вспомогательных плоскостей, пересекающих каждую поверх­ность по линии, простой по построению (окружность или пря­мая). На пересечении линий пересечения определяются общие для поверхностей точки. Иногда целесообразно использовать вспомогательные секущие сферы, так как сфера, центр которой располагается на оси поверхности вращения, пересекает ее по окружности (рис. 6.10).

Использование метода сфер требует выполнения следующих условий:

1.Оси поверхностей вращения должны пересекаться. Центр секущих сфер выбирается в точке пересечения осей.

2. Оси пересекающихся поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости проекции.

Рис. 6.10

Пример 8. Определить линию пересечения вертикального конуса и горизонтального цилиндра (рис. 6.11).

Решение. Для решения задачи удобно использовать способ вспомогательных секущих плоскостей. Если рассекать обе по­верхности горизонтальными плоскостями уровня, то линии сече­ния будут простыми для построения линиями: для конуса - ок­ружности, для цилиндра - образующие.

89

90

Сначала определим опорные точки. Это точки 1 и 2. Они определяются на пересечении очерковых образующих конуса с фронтальной проекцией цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра является фронтально проецирующей.

Для нахождения промежуточных точек вводят ряд вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей уровня ∑ ¹-∑ ⁵ Точки 3 и 4, определённые введением плоскости ∑ ², проходящей через ось цилиндра, являются точками границы видимости на горизонтальной проекции сечения. Полученные точки плавно соединяются с учётом видимости.

Пример 9. Определить линию пересечения вертикального it горизонтального конусов (рис. 6.12).

Решение. В данном случае целесообразно использовать метод секущих сфер, так как оси конусов пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций. Первоначально определяем опорные (характерные) точки на пресечении очерковых образующих - точки 1 и 2. Для определения точек перехода через границу видимости вводим горизонтальную плоскость уровня ∑. Она пересекает вертикальный конус по окружности, а горизонтальный - по очерковым образующим. На их пересечении определяем точки 3 и 4.

Для нахождения промежуточных точек используем секущие сферы. Минимальная сфера радиуса R_min вписывается в больший конус. Оба конуса пересекаются сферой по окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде прямых линий. На пересечении этих линий определяем точки 5 и 6. Далее вводим сферу большего радиуса, определяем точки 7 и 8. Полученные точки переносим на горизонтальную проекцию и плавно соединяем с учётом видимости.

91

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какая поверхность называется многогранником?

2. Перечислите правильные многогранники.

3. Что такое развёртка многогранника и какие способы её по­
строения существуют?

4. Что называется каркасом поверхности?

5. Как определяют проекции точки, принадлежащей поверх-­
ности вращения?

6. При каком расположении секущей плоскости в сечении ко­-
нуса получаются окружность, парабола, эллипс и гипербола?

7. В чём сущность способов секущих плоскостей и секущих
сфер при определении линии пересечения поверхностей враще­-
ния?

8.Определите линию пересечения двух конусов с вертикаль­ными осями вращения (конусы задайте самостоятельно).

93

Рис 3.10. Следы прямой

Из этого следуют правила построения следов прямой:

1. Для построения проекций горизонтального следа

необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до

пересечения с осью х (определяется проекция М₂) и из этой точки

восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с

26

горизонтальной проекцией прямой (определяется проекция M ₁ = М).

2. Для построения проекций фронтального следа необходимо
продолжить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью
х (определяется точка N ₁ ) и из этой точки восставить
перпендикуляр к оси х до пересечения с фронтальной проекцией
прямой (определяется точка N₂ ≡ N).

3. Для построения проекций профильного следа необходимо
продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью z
(определяется точка Р₂) и из этой точки восставить
перпендикуляр к оси z до пересечения с профильной проекцией
прямой (определяется точка P₃≡ P). Горизонтальная проекция Р₁
определяется пересечением горизонтальной проекции прямой с
осью у.

3.5. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут занимать различное положение друг относительно друга: пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.

1. Пересекающиеся прямые (рис. 3.11) имеют общую точку,
проекции которой К₁ и K₂ расположены на одной линии связи.

2. Параллельные прямые пересекаются в несобственной точке.
I la эпюре одноименные проекции параллельных прямых
параллельны, т. е. если а || b то а₁ || b ₁, а₂ || b _2, а₃ || b ₃ (рис. 3.12).

Для прямых общего положения их параллельность определяется двумя проекциями. Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, горизонтальные и фронтальные проекции профильных прямых всегда параллельны. Для оценки взаимного положения прямых следует построить их проекции на П3. В данном примере прямые АВ и CD параллельны.

27

 

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться: