Взаимное расположение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, в частном случае совпадать, могут пересекаться, в частном случае пыть перпендикулярными.

Аналогично может быть расположена прямая линия относи-

СЛЫЮ ПЛОСКОСТИ.

Параллельные плоскости

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые од­ ной плоскости соответственно параллельны двум пересе­ кающимся прямым другой плоскости (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Параллельные плоскости

При задании плоскости следами две плоскости параллельны, если параллельны их одноимённые следы (см. рис. 4.10).

Рис. 4.9. Линия наибольшего наклона плоскости

Пример 1. Через точку К провести плоскость, параллель­ную заданной плоскости T (рис. 4.11).

 

42

43

X -

Рис. 4.11

Решение. Через точку проведем горизонталь h, параллельную заданной плоскости Т, т. е. h 1 параллельна Т1. Найдём фронтальный след горизонтали N ( N 1, N 2). Через фронтальный след горизонтали N ₂ проведём фронтальный след искомой плоскости Г₂ параллельно фронтальному следу плоскости Т₂ и определим точку схода следов Г_х. Проведем горизонтальный след плоскости Г₁ из Г_x. параллельно горизонтальному следу h₁.

4.5.2. Прямая линия, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в плоскости (рис. 4.12).

Через каждую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плос­кости Р.

44

Рис. 4.12. Прямая линия, параллельная плоскости

Пример 2. Через точку С провести прямую а, параллельную  плоскости Р (рис. 4.13).

Решение. Одну из проекций искомой прямой а₂ проведём произвольно через точку С₂. Определим в данной плоскости Р

45

прямую, параллельную прямой а. Горизонтальная проекция пря­мой а₁ будет параллельна горизонтальной проекции прямой в плоскости: а₂||(1₂ 2₂) и а₁||(l₁ 2₁).

4.5.3. Пересекающиеся плоскости

Две плоскости пересекаются по прямой линии, для построе­ния которой достаточно определить или две общие для плос­костей точки, или одну точку и направление линии пересечения.

Рассмотрим задачи на построение проекций линии пересече­ния плоскостей и их положения относительно плоскостей проек­ций.

1. Если плоскости заданы следами и следы пересекаются в пределах чертежа (рис. 4.14а), то две точки линии пересечения определяются на пересечении одноимённых следов. Точка 1 -пересечение горизонтальных следов, точка 2 - пересечение фронтальных следов. Линия l (l1l2) — линия пересечения плос­костей λ, и Σ.

Рис. 4.14а. Плоскости заданы следами

2. Один из частных случаев пересечения плоскостей, когда од­на из них является проецирующей плоскостью (рис. 4.146).

46

Задача сводится к определению второй проекции линии, при­надлежащей и проецирующей плоскости, и плоскости общего положения.

77/7,

Определяем точки пересечения соответствующего следа про­ецирующей плоскости с плоскостью общего положения (точки 1 и 2). По линиям связи определяем вторую проекцию. Затем необ­ходимо определить видимость отсеков плоскости общего поло­жения относительно линии пересечения.

Рис. 4.146. Одна из пересекающихся плоскостей- проецирующая

3. В некоторых случаях линия пересечения плоскостей являет­ся линией частного положения (рис. 4.14в).

Рассмотрим задачи на пересечение плоскостей по горизонта­ми. В первой задаче одна из плоскостей λ, является горизонталь­ной плоскостью уровня, поэтому фронтальная линия проекции пересечения h₂ совпадает со следом этой плоскости и является

(Горизонталью. Горизонтальная проекция определяется по точке 1 Пересечения следов и направлению h ₁ || λ ₁.

47

Рис. 4.14в. Пересечение плоскостей по линиям частного положения

В примере 2 горизонтальные следы плоскостей общего поло­жения параллельны (λ 1 || Σ 1). Следовательно, горизонтальная про­екция линии пересечения плоскостей будет параллельна им ( h 1 || λ 1 || Σ 1), а фронтальная проекция будет проходить через точ­ку 1 пересечения фронтальных следов.

Аналогичны случаи пересечения плоскостей по фронтали. Существуют другие частные случаи пересечения плоскостей, когда линией пересечения являются проецирующие прямые.

4. Общий случай пересечения плоскостей, когда в пределах
чертежа сразу не определяются общие для данных плоскостей
точки. Для решения такой задачи используются вспомогательные
секущие плоскости обычно частного положения - или плоскости
уровня, или проецирующие.

Рассмотрим пример на рис. 4.15.

Даны две плоскости, заданные параллельными прямыми (а || b ) и треугольником AВС. Для определения двух общих точек данных плоскостей решаем задачу по следующему алгоритму:

1. Вводим первую вспомогательную горизонтальную плос­-
кость уровня Σ.

2. Строим линии пересечения каждой данной плоскости со
вспомогательной (а || b ) ∩ Σ → h ^∑ , ( ABC ) ∩ ∑ → h ^∑ ₁. Эти линии
являются горизонталями данных плоскостей.

3. Определяем точку пересечения линии пересечения. Точка
I- общая для данных плоскостей.

48

Рис. 4.15. Общий случай пересечения плоскостей 49

4. Для определения ещё одной общей точки вводим вторую
вспомогательную секущую плоскость уровня λ. Выполним те же
построения и определим вторую общую точку II.

5. Соединяем получившиеся точки I и II, которые определяют
линию пересечения плоскостей l (l ₁ l ₂).

При решении некоторых задач удобнее использовать вспомо­гательные проецирующие плоскости.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: