Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными

Коэффициентами, метод вариации постоянной

Линейное однородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где вещественные постоянные числа. Общим решением уравнения будет , где произвольные постоянные числа. Для нахождения линейно независимых частных решений рассматриваемого уравнения используется метод Эйлера. Для этого составляем уравнение , которое называется характеристическим. Решив его, получим четыре случая.

1) Корни вещественные, не равные друг другу числа. Тогда , ,..., .

2) Корни не равны между собой, но среди них есть комплексно сопряженные корни. Каждой паре соответствуют два частных решения , .

3) Корни все вещественные, но среди них некоторые совпадают, например, (в этом случае говорят, что корень имеет кратность ). Совпадающим корням соответствуют следующие частные решения: .

4) Корни содержат равных комплексно сопряженных пар , тогда им соответствуют частных решения:

Линейное неоднородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где вещественные постоянные числа. Общим решением данного уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: . Для нахождения частного решения можно воспользоваться методом Лагранжа (метод вариации постоянной). Для этого вначале находят общее решение соответствующего однородного уравнения: . Затем предполагают, что являются функциями от , и ищут общее решение неоднородного уравнения в виде , где производные неизвестных функций находят из системы уравнений

Решив систему, мы найдем . Проинтегрировав последние уравнения, определим неизвестные функции , тем самым найдем общее решение линейного неоднородного уравнения.

Примеры решения задач

1. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение , его корни , отсюда фундаментальная система решений , . Следовательно, общее решение имеет вид: .

2. Найти частное решение уравнения

, .

Решение. Найдем вначале общее решение, для этого составим характеристическое уравнение , его корни , отсюда фундаментальная система решений , . Следовательно, общее решение имеет вид: .

Теперь определим произвольные постоянные по заданным начальным условиям. Найдем производную . Подставив начальные условия в и , получим систему уравнений

решением которой является . Подставив найденные значения постоянных в общее решение, найдем частное решение: .

3. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение можно разложить так:

Найдем корни . Первому корню соответствует частное решение . Второй корень двукратный, то есть кратности 2, поэтому ему соответствуют два частных решения: .

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

4. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение поделим уголком на , получим . Следовательно, уравнение

имеет корни . Первому вещественному корню соответствует частное решение , а паре комплексно сопряженных корней частные решения . Общее решение запишется в виде: .

5. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение разложим на множители

и найдем корни . Первые два вещественных корня совпадают, их частные решения имею вид . Следующие корни комплексно сопряженные, причем их реальная часть , отсюда их частные решения . Таким образом, имеем общее решение заданного уравнения: .

6. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение , которое можно переписать в виде имеет две равные комплексно-сопряженные пары корней . Тогда, получим четыре частных решения:

Отсюда, общее решение запишется как

7. Найти частное решение уравнения

, , .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни , следовательно, общее решение однородного уравнения: .

Ищем решение неоднородного уравнения в виде

Уравнения на неизвестные функции следующие:

Выразив из первого уравнения и подставив во второе, после несложных преобразований найдем tg x. Подставив найденное в первое уравнение и выразив оттуда , определим . После интегрирования найдем