Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

С правой частью специального вида

Напомним, что линейное неоднородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где коэффициенты вещественные постоянные числа.

Общим решением такого уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: . Иногда частное решение удается найти в зависимости от правой части неоднородного уравнения, то есть от вида функции . Рассмотрим разные случаи.

1) Если полином -ой степени, и число нуль не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение ищем в виде , где полином -ой степени, но с неопределенными коэффициентами. Для нахождения неизвестных коэффициентов надо воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Если нуль является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение ищем в виде .

2) Если и число не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение ищем в виде . Здесь полином с неопределенными коэффициентами, причем той же степени, что и полином . Если является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение ищем в виде .

3) Если , где полиномы, их степени могут не совпадать, и комплексное число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде , здесь степень полиномов с неопределенными коэффициентами совпадает с наибольшей степенью полиномов . Если комплексное число является корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищем в виде .

Примеры решения задач

1. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет корни , отсюда, получим общее решение однородного уравнения: .

Теперь рассмотрим правую часть заданного неоднородного уравнения. В правой части стоит число 5, которое надо рассматривать как полином нулевой степени. Так как число нуль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , где A является произвольным полиномом нулевой степени, то есть произвольной постоянной. Для ее нахождения, надо подставить в исходное неоднородное уравнение: . Отсюда видно, что , или , следовательно, .

Итак, общее решение заданного уравнения имеет вид

2. Найти общее решение уравнения

Решение. Для соответствующего однородного уравнения характеристическое уравнение имеет корни , отсюда, получим общее решение однородного уравнения: .

Правая часть неоднородного уравнения представляет собой полином нулевой степени, при этом число нуль является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому частное решение ищем в виде . Подставляем в исходное неоднородное уравнение: , . Отсюда, , тогда .

Таким образом, общее решение: .

3. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет корни , следовательно, .

В правой части неоднородного уравнения стоит полином второго порядка. Число нуль является корнем кратности 2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде , где в скобках стоит полином второй степени с неопределенными коэффициентами. Для их определения надо подставить в исходное уравнение. Предварительно вычислим производные:

Подставив производные в неоднородное уравнение, найдем

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего равенства, получим систему алгебраических уравнений для определения чисел A, B, C:

откуда . Тогда, получим частное решение в виде

Общим решением заданного уравнения является функция

4. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, получим общее решение однородного уравнения в виде .

Правая часть заданного уравнения состоит из суммы трех функций . Поэтому вначале мы найдем частные решения уравнений:

1) , 2) , 3) .

Первое уравнение описано в пункте 2). Сравнив с нашей правой частью , найдем и полином нулевой степени. Число совпадает с одним из корней , отсюда частное решение первого уравнения ищем в виде , где полином нулевой степени, то есть число, которое надо определить. Для этого вычислим производные , и подставим их в первое уравнение

, или ,

отсюда , следовательно, .

Второе уравнение с правой частью описано в пункте 2). Число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение второго уравнения ищем в виде . Вычислив производные и подставив их во второе уравнение, найдем , тогда .

Третье уравнение описано в пункте 1). Сравнив с нашей правой частью , найдем полином первой степени. Также нуль является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому частное решение ищем в виде , где полином первой степени с неопределенными коэффициентами . Вычислив производные , и подставив их в третье уравнение, получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного равенства, найдем систему алгебраических уравнений

решением которой является , , отсюда .

Итак, частным решением исходного уравнения будет

а общим решением .

5. Найти общее решение уравнения

Решение. Запишем однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение однородного уравнения:

Правая часть заданного неоднородного уравнения имеет вид , где . Заметим, что число а не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде

Подставив в неоднородное уравнение, найдем

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:

отсюда . Тогда , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в виде

6. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни , следовательно, общее решение однородного уравнения .

Правая часть уравнения имеет вид , где . Число не является корнем характеристического уравнения и полиномы являются полиномами нулевой степени. Поэтому частное решение ищем в виде

Подставив в заданное неоднородное уравнение, найдем

Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях равенства при , получим

Значит, . Поэтому , следовательно, общее решение исходного уравнения: .

7. Найти общее решение уравнения

Правая часть заданного уравнения представляет собой функцию вида , где . Видно, что число совпадает с числом , то есть является корнем характеристического уравнения кратности 1. Полином есть полином первой степени. Таким образом, ищем частное решение в виде

где неопределенные коэффициенты. Дифференцируем частное решение два раза и результат подставляем в заданное неоднородное уравнение. В полученном равенстве, приравняв коэффициенты в левой и правой частях при , получим систему алгебраических уравнений