Классические матричные описания линейных многополюсников

ПАРАМЕТРЫ РАССЕЯНИЯ

Классические матричные описания линейных многополюсников

Линейный многополюсник

Концепция - полюсников хорошо известна [10.1, 10.2] и изложена в любом стандартном учебнике по радиотехническим цепям или радиотехнике. Этот подход позволяет абстрагироваться от конкретной схемы и внутреннего устройства цепи и использовать некие общие параметры -полюсника, связь между которыми и есть искомые характеристики.

Комплексные амплитуды токов и напряжений в двухпортовой цепи

Мотивы выбора классических систем

Обратимся для простоты рассмотрения к случаю четырехполюсника (двухпортовой цепи), (рис. 10.1.2). Классическая система первичных параметров в этом случае состоит из двух напряжений и двух токов, матрица – (2х2), система вторичных параметров также включает 4 элемента, возможны 6 вариантов характеристической матрицы (табл. 10.1.1), наиболее часто в практике конструирования и измерения используются 4 из них:

Система -параметров составляет матрицу , все параметры имеют размерность сопротивления (в общем случае – комплексного), система основных уравнений имеет вид:

Система -параметров составляет матрицу = , все параметры имеют размерность проводимости (в общем случае – комплексной), система основных уравнений имеет вид:

Система -параметров составляет матрицу система гибридна, т. е. параметры имеют разную размерность: и безразмерны, имеет размерность сопротивления, – проводимости. Система основных уравнений имеет вид:

Система -параметров составляет матрицу система гибридна: и – безразмерны, имеет размерность сопротивления, – проводимости. Система основных уравнений имеет вид:

Выбор для использования той или иной характеристической матрицы мотивируется удобством решения поставленной задачи (например, конструирование усилителей, генераторов или смесителей, и т. п.), в частности, простоты определения матрицы «сложной» схемы, составленной из более простых схем. Например [10.2], -параметры «сложного» четырехполюсника, полученного параллельно-параллельным соединением двух «простых» четырехполюсников, просто равны суммам соответствующих параметров «простых» четырехполюсников:

т. е. -матрица «сложного» четырехполюсника равна сумме -матриц «простых» четырехполюсников:

Аналогичным образом, при последовательно-последовательном соединении четырехполюсников складываются -параметры, при последовательно-параллельном – -параметры. При каскадном соединении четырехполюсников -матрицы каскадов перемножаются, т. е.

этот факт часто является весомым аргументом применения -параметров на определенном этапе конструирования.

Вследствие взаимно-однозначной связи одной характеристической матрицы с другой, в каждой ситуации достаточно измерить только элементы одной матрицы. Например, -параметры и -параметры связаны матричным соотношением

Нормализованные волны четырехполюсника

Каскадно-специфическая матрица рассеяния

Не выходя из рамок концепции падающих и отраженных волн, т. е. оставляя последние в качестве первичных и вторичных параметров, можно построить несколько иное матричное описание [10.2], более удобное в случае каскадного соединения четырехполюсников. Возьмем в качестве первичных параметров нормализованные волны на входе, а в качестве вторичных – нормализованные волны на выходе. Образовав, в соответствии с рис. 10.6.1, векторы-столбцы

(обратим внимание на неодинаковый порядок компонент в векторах), свяжем их линейно:

с помощью матрицы , которую назовем каскадно-специфической. То же соотношение в расписанном виде:

Каскадное соединение двухпортовых цепей

Из рассмотрения рис. 10.8.1 ясно, что -матрица каскадного соединения двух четырехполюсников равна произведению их -матриц, т. е.

Это свойство справедливо для любого числа каскадов.

Матрицы и связаны взаимно-однозначно:

при ;

при

Генератор и двухполюсник

На рис. 10.9.1 показан двухполюсник (однопортовая цепь) с комплексным входным импедансом , на который подается монохроматический сигнал от генератора с комплексной амплитудой эквивалентного напряжения и внутренним импедансом . Приняты обычные условные направления комплексных амплитуд входного тока и входного напряжения . Если импеданс нагрузки равен сопряженному генераторному импедансу:

то однопортовая цепь называется сопряжено-согласованной с генератором. При этом условии отражения от нагрузки нет, ток на выводе есть падающий ток:

напряжение между выводами – падающее напряжение:

а соотношение между ними:

Сопряженно-согласованная с генератором нагрузка принимает максимально возможную мощность от генератора, равную

Важно заметить, что падающие напряжение и ток не зависят от импеданса однопортовой цепи, а выражаются через генераторный импеданс, который поэтому называется опорным импедансом цепи. Это означает, что для данного генератора комплексные амплитуды падающих напряжения и тока постоянны, вне зависимости от подключенной нагрузки, и могут использоваться в качестве измерительной опоры в практических измерениях. Формально-математически при падающие напряжение и ток не могут быть однозначно определены, однако этот режим физически не реализуем.

ПОТОКОВЫЕ СИГНАЛЬНЫЕ ГРАФЫ

Построение потокового графа

Рис. 11.3.1, 11.3.2 иллюстрируют построение потоковых графов по уравнениям в S-параметрах или по принципиальным схемам в рамках ненагруженного и нагруженного четырехполюсников. Рис. 11.3.1 поясняет составление графа ненагруженного четырехполюсника, соответствующего S-параметрической системе уравнений

(11.3.1)

Рис. 11.3.2. Схема и граф нагруженной двухпортовой цепи.

Узлы соответствуют независимым переменным и являются истоками, узлы – зависимым переменным и являются стоками. Напряжения от генераторов могут подаваться на вход четырехполюсника, т. е. на графе – на узел , или на выход, т. е. на графе – на узел , или на оба узла сразу. Направления потоков указаны стрелками, весами являются S-параметры, т. е. элементы S-матрицы четырехполюсника. Обратим внимание на генезис графа четырехполюсника (рис. 11.3.1)): первое уравнение системы представлено в виде графа на рис. 11.3.1а, наглядно показывающего, как зависимая переменная представляет линейную комбинацию независимых переменных ; аналогично устроен подграф на рис. 11.3.1б, представляющий второе уравнение системы. Однако, для получения удобного вида объединения этих подграфов в общий граф, второй подграф «перевернут».

На рис. 11.3.2б показан граф нагруженного четырехполюсника с характеристическим сопротивлением ; эквивалентная схема соответствующей цепи приведена на рис. 11.3.2а: слева подключен генератор с комплексной амплитудой напряжения и с внутренним (комплексным) сопротивлением , справа– нагрузка с комплексным сопротивлением . Нормированная комплексная амплитуда падающей волны от генератора

(11.3.2)

формально отображена на графе узлом ; комплексный коэффициент отражения генератора

(11.3.3)

формально отображен на графе ветвью от к с весом ; комплексный коэффициент отражения нагрузки

(11.3.4)

формально отображен на графе ветвью от к с весом .

В результате нагружения четырехполюсника слева и справа все четыре узла становятся смешанными узлами, а это означает, что при желании граф может быть упрощен (далее техника упрощения графа путем исключения смешанных узлов не излагается, а применяется общий метод решения графа).

Решение потокового графа

В общем смысле, решение графа есть вычисление зависимых переменных по независимым переменным, или, на специфическом языке теории графов, вычисление одних узлов по другим узлам. Излагаемое ниже правило решения графа позволяет вычислять зависимые переменные, или просто узлы-стоки по одному, т. е. общее решение графа включает набор решений для индивидуальных узлов-стоков (назовем их частными решениями). Иногда нет необходимости во всех частных решениях, а нужно найти только некоторые из них, а иногда даже только одно из них. Таким образом, необходимо правило нахождения частного решения для конкретного узла-стока. Определим некоторые дополнительные термины.

Путь от одного узла к другому есть непрерывная последовательность ветвей, связывающая эти узлы, такая, что ни один узел не проходится более одного раза; непрерывность здесь означает, что в этой последовательности конец одной ветви является началом следующей.

Прямой путь есть путь, в котором каждая ветвь проходится только в направлении ее стрелки. В дальнейшем нам понадобятся только прямые пути. Два узла могут связывать и несколько прямых путей, отличающихся одной или несколькими ветвями.

Путевой множитель (путевое усиление) есть произведение всех множителей ветвей вдоль прямого пути. Каждый прямой путь имеет, вообще говоря, свой путевой множитель. Например, в графе на рис. 11.3.2б есть один прямой путь от узла (или, что то же самое, от узла ) к узлу с путевым множителем , два прямых пути от узла к узлу с путевыми множителями и соответственно, один прямой путь от узла к узлу с путевым множителем и два прямых пути от узла к узлу с путевыми множителями и соответственно.

Петля (прямая петля) есть прямой путь, который начинается и заканчивается на одном и том же узле. Один и тот же узел может состоять в нескольких петлях.

Петлевой множитель (петлевое усиление) есть произведение множителей ветвей вдоль петли. Например, в графе на рис. 11.3.2б есть две петли, начинающихся и заканчивающихся на узле с петлевыми множителями и соответственно, две петли, начинающихся и заканчивающихся на узле с петлевыми множителями и соответственно.

Две или более петель называются непересекающимися (несоприкасающимися), если они не имеют не только общих ветвей, но даже общих узлов. Например, в графе на рис. 11.3.2б не пересекаются петля в левой части с петлевым множителем и петля в правой части с петлевым множителем .

Петля первого порядка – понятие тождественное понятию петля. Например, петли с петлевыми множителями , и суть петли первого порядка.

Петля второго порядка есть набор из двух непересекающихся петель первого порядка. Множитель петли второго порядка равен произведению множителей составляющих ее петель. Например, в графе на рис. 11.3.2б есть одна петля второго порядка, она объединяет две вышеупомянутых непересекающихся петли и имеет множитель .

Петля -го порядка ( =2, 3, …) есть набор из непересекающихся петель первого порядка. Множитель петли -го порядка равен произведению множителей составляющих ее петель. Например, в графе на рис. 11.3.2б нет петель третьего и более высоких порядков.

На языке теории графов узел, ветвь, путь, петля могут пониматься как геометрические объекты или как величины (комплексные числа). Узел как величина есть значение соответствующей этому узлу переменной; ветвь, путь, петля как величины есть значения множителей этих объектов.

Переходя к технике отыскания частных решений потокового графа, сделаем три замечания.

1) Величина узла-стока (т. е. величина зависимой переменной, соответствующей этому узлу) равна сумме вкладов в этот узел от всех узлов-истоков, от которых имеется прямой путь к этому узлу. Это становится очевидным, если вспомнить, что потоковый граф есть графическое отображение соответствующей S - параметрической системы уравнений, в которой каждое уравнение представляет одну зависимую переменную как линейную комбинацию независимых переменных.

2) Вклад в зависимую переменную от одной независимой переменной, т. е. вклад в узел-сток от одного узла-истока находится по «правилу непересекающихся петель» Мэйсона (S. J. Mason), который предложил его в 50-е годы прошлого столетия и систематически его применял (см., например, [11.3, 11.4]). Строгий вывод этого правила на основе свойств определителей дан в [11.5].

3) Согласно этому правилу, вклад в зависимую переменную от одной независимой переменной равен произведению последней на некоторый множитель (переносная функция [11.9]), представляющий собой некоторое выражение от множителей ветвей графа. Обычно в качестве правила используют формулу для этого множителя, т. е. для отношения конкретной зависимой переменной к конкретной независимой переменной. Чтобы найти полное частное решение для конкретной зависимой переменной, находим вклад от каждой независимой переменной путем умножения переносной функции на величину последней и сложения всех таких произведений по независимым узлам, дающим вклад.

Формула для переносной функции от независимой переменной к зависимой переменной имеет вид:

(11.4.1)

где

,	(11.4.2)
,	(11.4.3)

– прямые пути для данной пары узлов;

– сумма всех петель первого порядка графа;

– сумма всех петель второго порядка графа; …

– сумма петель первого порядка, не касающихся ни в одной точке прямого пути ;

– сумма петель второго порядка, не касающихся ни в одной точке прямого пути ; …

Рис. 11.3.2. Схема и граф нагруженной двухпортовой цепи.

Заметим, что знаменатель формулы (11.4.1) одинаков для всех пар «независимый узел – зависимый узел» и зависит только от топологии графа. В графе на рис. 11.3.2б три петли первого порядка и их сумма

(11.4.4)

одна петля второго порядка и

(11.4.5)

нет петель третьего и более высоких порядков, в итоге

(11.4.6)

Вычисляем . Для этой пары узлов имеется только один прямой путь: и нет петель, не соприкасающихся с этим путем, поэтому

(11.4.7)

Вычисляем . Для этой пары узлов имеется два прямых пути: и . С путем не соприкасается только петля первого порядка ; петель, не соприкасающихся с путем нет. В итоге

(11.4.8)

где

(11.4.9)

(11.4.10)

Вычисляем . Для этой пары узлов имеется два прямых пути: и . С путем не соприкасается только петля первого порядка ; петель, не соприкасающихся с путем , нет. В итоге

(11.4.11)

где

(11.4.12)

ДИАГРАММА ВОЛЬПЕРТА-СМИТА

Предисловие

Круговая диаграмма полных сопротивлений (круговая диаграмма, диаграмма Смита, диаграмма Вольперта-Смита, далее – круговая диаграмма, КД) – это графическое средство, или номограмма, помогающее в решении задач, связанных с линиями передачи и согласующими цепями. Начиная с 1939 г., когда она была предложена независимо Ф. Смитом и Вольпертом, популярность КД неуклонно росла с годами и в 60-е – 80-е годы ХХ века достигла невиданной высоты: ни одна номограмма в радиоэлектронике, а может быть – в любой области знания, не могла в этом отношении сравниться с КД. Она стала символом радиоэлектроники СВЧ диапазона.

В пике своей популярности КД использовалась не только для облегчения решения задач, но и для наглядной графической иллюстрации поведения радиотехнических параметров с частотой, как альтернатива табличному представлению, а также для представления многих характеристик [12.1, 12.4], таких как окружности сопротивления и проводимости, коэффициент отражения, параметры рассеяния, коэффициент шума, контуры постоянного усиления и области безусловной стабильности генераторов. Наиболее часто КД используется в области круга единичного радиуса, однако построения вне этого круга могут быть также полезны, например, в конструировании генераторов и анализе стабильности.

С появлением и развитием персональных компьютеров и специализированных электродинамических пакетов роль КД несколько угасла, так как во многих случаях расчет и его иллюстрация другими средствами на компьютере стали проще, быстрее и точнее. Однако и сейчас КД широко применяется и является стандартным элементом образования радиоинженера. Не в последнюю очередь причиной этому является привычка, благодаря которой опытному инженеру отображения на КД кажутся наглядными и весьма содержательными. Недаром, например, до сих пор формат КД – один из обязательных форматов дисплейного отображения векторного анализатора цепей.

КД изображается на плоскости комплексного коэффициента отражения в двух измерениях и масштабируется или в нормализованном импедансе ( -диаграмма), или в нормализованной проводимости ( -диаграмма). Нормализованное масштабирование позволяет использовать КД для задач, включающих любые характеристические сопротивления, хотя наиболее часто используется характеристическое сопротивление 50 Ом.

При относительно простой графической конструкции, КД устанавливает прямое соответствие между нормализованным сопротивлением (или нормализованной проводимостью) и соответствующим комплексным коэффициентом отражения по напряжению. На КД можно отобразить все многообразие режимов нагруженной однородной линии передачи без потерь. Использование КД и интерпретация результатов, полученных с ее применением, требует хорошего понимания теории цепей переменного тока и теории эквивалентных линий передачи.

Введение круговой диаграммы

Текущий коэффициент отражения

Выше было введено понятие комплексного коэффициента отражения (по напряжению) ; это понятие относится к сечению нагрузки линии и является комплексным числом (см. рис. 12.1.1). Теперь нам понадобится обобщить это понятие, введя текущий коэффициент отражения так, чтобы «старый» коэффициент отражения равнялся . Комплексная амплитуда напряжения падающей волны в сечении эквивалентной линии передачи (ЛП) с координатой (рис. 12.1.1): , а отраженной волны: . Текущим коэффициентом отражения в сечении называется отношение комплексных амплитуд напряжения отраженной и падающей волн в этом сечении:

(12.1.1)

Поскольку длина волны в линии равна , (12.1.1) можно переписать в виде , откуда видно, что по мере увеличения описывает окружности на комплексной плоскости с радиусом и периодом . Иногда удобно ввести нормированное расстояние .

Координата в линии передачи

Можно выразить напряжение и ток в линии через текущий коэффициент отражения:

(12.1.2)

где – волновое сопротивление линии. Деля напряжение в сечении на ток в том же сечении, получаем входное сопротивление как функцию координаты :

(12.1.3)

Удобно пользоваться нормированным входным сопротивлением:

(12.1.4)

и наоборот:

(12.1.5)

В силу периодичности также периодично с тем же периодом .

С общематематической точки зрения уравнения (12.1.4), (12.1.5) представляют собой преобразования Мёбиуса, связывающие функции и ; с позиций теории функций комплексного переменного это частный случай дробно-линейных преобразований. Подобные соотношения часто встречаются в прикладной электродинамике и теории цепей. Круговая диаграмма как раз и предназначена для наглядного выполнения и интерпретации этих преобразований. Функции и параметрически зависят от частоты.

Векторная диаграмма падающей и отраженной волн

Идея КД состоит в том, чтобы текущий коэффициент отражения выражался своими модулем и углом в полярной диаграмме на комплексной плоскости, а нормированное сопротивление – в декартовой системе координат на той же плоскости. Так как , то на конкретной частоте и в конкретном сечении линии будет выражен точкой внутри круга единичного радиуса, а на совокупности частот в некоторой полосе отобразится некоторой траекторией внутри этого круга. С другой стороны, как следует из (12.1.1), на данной частоте с ростом (т. е. по мере приближения к генератору) точка движется по окружности радиуса в направлении по часовой стрелке с текущим углом . Прежде чем обратиться к собственно КД, следуя [12.3], рассмотрим векторную диаграмму полных напряжения и тока в линии в зависимости от (рис.12.2.1).

Примеры применения круговой диаграммы

А) Определение модуля коэффициента отражения и КСВ по заданному входному сопротивлению. Пусть задано входное сопротивление и активное волновое сопротивление . Делим на , получая нормированное входное сопротивление , где , . Выделяем окружности постоянного и постоянного , на их пересечении находится точка . Модуль коэффициента отражения находится как расстояние точки от центра диаграммы в выбранном масштабе; его и можно определить по шкале на движке или по шкале, нанесенной на поддиаграммной прямой.

Б) Определение модуля и фазы коэффициента отражения и КСВ по заданному сопротивлению нагрузки. Пусть задано сопротивление нагрузки и волновое сопротивление . Находим нормированное сопротивление нагрузки , далее действуем как в п. А). Кроме и , можно определить , беря отсчет по азимутальной шкале на внешней окружности диаграммы. Если необходимо знать действительную и мнимую части коэффициента отражения , их отсчет можно взять на осях декартовой системы .

В) Определение входного сопротивления нагруженной линии заданной длины. Пусть заданы сопротивление нагрузки , волновое сопротивление и длина линии . Как в п. Б), находим нормированное сопротивление нагрузки , изображающую точку на диаграмме, вектор с концом в точке . Используя азимутальную шкалу на внешней окружности диаграммы, поворачиваем вектор по часовой стрелке на рад и выделяем окружности постоянного и постоянного , тем самым находя .

Г) Определение расстояний от нагрузки до ближайших пучности и узла напряжения. Пусть заданы и . Найдя точку, изображающую , поворачиваем вектор с концом в этой точке по часовой стрелке до совпадения с отрезком (угол поворота ) и до совпадения с отрезком (угол поворота ). Расстояние от нагрузки до ближайшего узла напряжения равно , а до ближайшей пучности напряжения – .

Д) Определение сопротивления нагрузки с помощью измерительной линии. Пусть с помощью измерительной линии измерено распределение амплитуды стоячей волны напряжения вдоль линии, в результате чего известны напряжение в пучности , напряжение в узле , вид ближайшего к нагрузке экстремума (пучность или узел) и расстояние от него до нагрузки. Вычисляем модуль коэффициента отражения по формуле:

тем самым выделяем окружность радиуса с центром в начале (0, 0) диаграммы. Находим изображающую точку сдвигом по этой окружности против часовой стрелки на угол : от пересечения окружности с отрезком , если ближайший к нагрузке экстремум напряжения – узел; от пересечения окружности с отрезком , если ближайший к нагрузке экстремум напряжения – пучность. Активную и реактивную части нормированного сопротивления нагрузки находим по пересекающимся в т. окружностям постоянного

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒