Математические свойства матриц рассеяния

В зависимости от внутреннего устройства многополюсника его матрица рассеяния имеет те или иные математические свойства [10.9]. Чем более подробно известны внутренние свойства многополюсника, тем больше, в принципе, свойств можно обнаружить у его матрицы рассеяния. Однако существуют важные классы устройств, которым соответствуют довольно общие свойства матриц рассеяния, важные в приложениях. Приведем эти свойства без вывода. Как показано выше, матрица рассеяния существует для любого пассивного линейного -портового устройства, имеет размер ( ), ее элементы в общем случае комплексны и безразмерны.

1) Устройство СВЧ, в котором использованы только изотропные материалы, является взаимным. Матрица рассеяния взаимного устройства симметрична, т. е. , или (значок « » означает транспонирование). Справедливо и обратное: если матрица рассеяния устройства симметрична, то оно взаимно.

2) Если многополюсник не имеет потерь, он называется недиссипативным. Матрица рассеяния недиссипативного устройства унитарна, т. е.

,

где – единичная матрица порядка , «звездочка» означает эрмитово сопряжение, т. е. последовательные транспонирование и комплексное сопряжение элементов. Справедливо и обратное: если матрица рассеяния устройства унитарна, то оно недиссипативно. Из теории матриц известно, что столбцы (а также строки) унитарной матрицы ортонормированны:

,

т. е. модуль вектора-столбца (вектора-строки) унитарной матрицы равен единице:

,

а скалярное произведение двух разных векторов-столбцов (векторов-строк) равно нулю.

3) Устройство СВЧ называется симметричным, если оно не изменяется (инвариантно) при преобразовании симметрии, т. е. повороте устройства вокруг некоторой оси на какой-то угол, зеркальном отображении относительно какой-либо плоскости и т. п. Существуют различные типы симметрии, им соответствуют различные преобразования симметрии. Любое преобразование симметрии есть перенумерация портов без изменения самого устройства. На рис. 10.11.1 приведены простые примеры симметричных многополюсников: четырехпортовое устройство с зеркальной симметрией относительно плоскостей А-А и Б-Б (рис. 10.11.1(а)) (устройство не меняется при замене номеров портов и наоборот, и (или) номеров портов и наоборот); симметричный Y-тройник с поворотной симметрией на 120⁰ (рис. 10.11.1(б)) (устройство не меняется при замене номеров портов и наоборот).

(слева, справа))

Слева: четырехпортовое устройство с зеркальной симметрией относительно плоскостей А-А и Б-Б. Справа: симметричный тройник с поворотной симметрией на 120⁰

Общий метод учета симметрии данного устройства и формулировки следующих из нее соотношений элементов матрицы рассеяния таков:

А) Для каждой отдельной симметрии составляется матрица симметрии. Это квадратная матрица того же порядка , что и матрица . В каждом столбце (и в каждой строке) имеется один элемент, равный 1, остальные равны нулю (поэтому унитарна); для единичного элемента, стоящего на пересечении -го столбца и -ой строки, – номер порта до преобразования симметрии, – номер того же порта после преобразования симметрии. Например, для симметричного тройника (рис. 10.11.1 (справа)) матрица симметрии имеет вид:

;

четырехпортовое устройство с двумя плоскостями симметрии (рис. 10.11.1 (слева)) имеет две симметрии: относительно плоскости А-А и относительно плоскости Б-Б, им соответствуют матрицы симметрии:

(заметим, что симметрична относительно главной диагонали, а – относительно побочной диагонали). Обратное преобразование симметрии описывается матрицей симметрии , а поскольку унитарна, то = .

Б) Следующие из симметрии устройства свойства элементов матрицы получаются из системы равенств (одного матричного равенства):

,

означающей, что матрицы и коммутируют. Если у устройства несколько симметрий, которым соответствует несколько матриц симметрии, то коммутирует с каждой из них. Например, для приведенного на рис. 10.11.1 (слева) устройства одновременно справедливы равенства

, .

Несмотря на наличие общего метода учета симметрий, часто следующие из симметрии устройства свойства элементов матрицы находят непосредственно, глядя на рисунок и не прибегая к построению матрицы симметрии.

Главное значение рассмотренных общих математические свойства матриц рассеяния состоит в том, что использование этих свойств (если к этому есть основания: взаимность, отсутствие потерь и (или) симметрии) позволяет уменьшить число независимых элементов матрицы рассеяния и, тем самым, число параметров рассеяния, которые необходимо непосредственно измерять.

 

ПОТОКОВЫЕ СИГНАЛЬНЫЕ ГРАФЫ

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
2. Векторы и матрицы. Основные числовые характеристики.
3. Влияние металлической матрицы и структуры чугуна на механические свойства отливки
4. Встреча с рождением и смертью. Динамика перинатальных матриц
5. Вычисление определителя и обратной матрицы
6. Коммутаторы на основе коммутационной матрицы с арбитражем
7. Макет структурной матрицы оценочных средств для проведения текущего, промежуточного, рубежного контроля и итоговой оценки компетенций обучающихся
8. Математические величины в природе и их влияние на окружающую среду
9. Математические методы анализа экспертных оценок
10. Математические методы обработки результатов измерений
11. Математические модели задачи фирмы
12. Математические модели и характеристики САУ и ее элементов