Отражения невысокого порядка в системе «анализатор – тестируемая цепь»

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

Хотя S-матричное представление формально решает эту проблему, проникновение в физический смысл соотношений в цепи уменьшается с увеличением ее сложности. Потоковый граф цепи, во-первых, помогает уяснить этот физический смысл, во-вторых, позволяет учесть отсутствующие на принципиальной схеме паразитные потоки, связанные с нежелательными отражениями и протечками, и в-третьих, позволяет проводить упрощения цепи путем хорошо обоснованных физически аппроксимаций и приближений.

Зафиксируем более точный и более узкий смысл, в котором далее будем использовать понятие потокового графа.

1) Потоковый граф будет пониматься как сигнальный граф, соответствующий -матричному описанию линейной эквивалентной цепи, состоящей из соединенных линиями передачи без потерь -полюсников.

2) Переменными, которым соответствуют узлы потокового графа, будут комплексные амплитуды монохроматических волн мощности, нормированные соответствующим образом (см. главу 10).

3) Описываемая потоковым графом цепь может включать как распределенные, так и сосредоточенные элементы.

4) Потоковый граф может включать узлы и ветви, отражающие существование и распространение паразитных волн, обязанных протечкам, отражениям от паразитных элементов и другим явлениям, не учтенным электрической эквивалентной схемой цепи.

5) Каждому порту эквивалентной принципиальной схемы соответствует два узла графа: узел типа исток, из которого исходят направленные ветви, соответствующий входящей (падающей извне, например, от генератора) волне, при необходимости обозначается буквой с соответствующим индексом; узел типа сток, к которому подходят направленные ветви, соответствующий выходящей наружу (отраженной) волне, при необходимости обозначается буквой с соответствующим индексом. Например, в случае двухпортовой цепи появляются узлы и, возможно, узел , связанный с генератором. Разумеется, как и во всяком сигнальном графе, в потоковом графе могут быть смешанные (внутренние) узлы.

6) С каждой ветвью связан и указывается рядом с ней множитель ветви (в общем случае комплексный).

7) Ветви начинаются в узлах независимых переменных и заканчиваются на узлах зависимых переменных (зависимость и независимость устанавливаются соответствующими уравнениями). На каждой ветви указывается стрелкой направление потока и числом или буквой – множитель.

8) Если поток от узла независимой переменной к узлу зависимой переменной проходит без изменения, то на связывающей их ветви указывается множитель 1.

9) Величина каждой зависимой переменной определяется множителями и независимыми переменными, связанными с ветвями от соответствующих узлов.

10) Хотя сказанное выше о структуре сигнального графа, естественно, остается в силе и для потокового графа, в построении, виде и интерпретации последнего имеется своя специфика, диктуемая, в основном, удобством работы с ним. Эта специфика будет проиллюстрирована примерами.

Декларированное выше удобство потоковых графов для анализа процессов измерения параметров устройств СВЧ с помощью анализаторов цепей было осознано давно и объясняется, во-первых, тем, что описываемая этими графами цепь может включать как распределенные, так и сосредоточенные элементы, во-вторых, простотой учета с помощью этих графов паразитных волн, что необходимо в рассмотрении систематических и случайных ошибок измерения и методов калибровки анализаторов цепей. Другим объектом стандартного применения потоковых графов, восходящего к работам [11.3, 11.4], являются цепи с обратными связями.

Построение потокового графа

Рис. 11.3.1, 11.3.2 иллюстрируют построение потоковых графов по уравнениям в S-параметрах или по принципиальным схемам в рамках ненагруженного и нагруженного четырехполюсников. Рис. 11.3.1 поясняет составление графа ненагруженного четырехполюсника, соответствующего S-параметрической системе уравнений

(11.3.1)

Составление графа ненагруженной двухпортовой цепи

Рис. 11.3.2. Схема и граф нагруженной двухпортовой цепи.

Узлы соответствуют независимым переменным и являются истоками, узлы – зависимым переменным и являются стоками. Напряжения от генераторов могут подаваться на вход четырехполюсника, т. е. на графе – на узел , или на выход, т. е. на графе – на узел , или на оба узла сразу. Направления потоков указаны стрелками, весами являются S-параметры, т. е. элементы S-матрицы четырехполюсника. Обратим внимание на генезис графа четырехполюсника (рис. 11.3.1)): первое уравнение системы представлено в виде графа на рис. 11.3.1а, наглядно показывающего, как зависимая переменная представляет линейную комбинацию независимых переменных ; аналогично устроен подграф на рис. 11.3.1б, представляющий второе уравнение системы. Однако, для получения удобного вида объединения этих подграфов в общий граф, второй подграф «перевернут».

На рис. 11.3.2б показан граф нагруженного четырехполюсника с характеристическим сопротивлением ; эквивалентная схема соответствующей цепи приведена на рис. 11.3.2а: слева подключен генератор с комплексной амплитудой напряжения и с внутренним (комплексным) сопротивлением , справа– нагрузка с комплексным сопротивлением . Нормированная комплексная амплитуда падающей волны от генератора

(11.3.2)

формально отображена на графе узлом ; комплексный коэффициент отражения генератора

(11.3.3)

формально отображен на графе ветвью от к с весом ; комплексный коэффициент отражения нагрузки

(11.3.4)

формально отображен на графе ветвью от к с весом .

В результате нагружения четырехполюсника слева и справа все четыре узла становятся смешанными узлами, а это означает, что при желании граф может быть упрощен (далее техника упрощения графа путем исключения смешанных узлов не излагается, а применяется общий метод решения графа).

Решение потокового графа

В общем смысле, решение графа есть вычисление зависимых переменных по независимым переменным, или, на специфическом языке теории графов, вычисление одних узлов по другим узлам. Излагаемое ниже правило решения графа позволяет вычислять зависимые переменные, или просто узлы-стоки по одному, т. е. общее решение графа включает набор решений для индивидуальных узлов-стоков (назовем их частными решениями). Иногда нет необходимости во всех частных решениях, а нужно найти только некоторые из них, а иногда даже только одно из них. Таким образом, необходимо правило нахождения частного решения для конкретного узла-стока. Определим некоторые дополнительные термины.

Путь от одного узла к другому есть непрерывная последовательность ветвей, связывающая эти узлы, такая, что ни один узел не проходится более одного раза; непрерывность здесь означает, что в этой последовательности конец одной ветви является началом следующей.

Прямой путь есть путь, в котором каждая ветвь проходится только в направлении ее стрелки. В дальнейшем нам понадобятся только прямые пути. Два узла могут связывать и несколько прямых путей, отличающихся одной или несколькими ветвями.

Путевой множитель (путевое усиление) есть произведение всех множителей ветвей вдоль прямого пути. Каждый прямой путь имеет, вообще говоря, свой путевой множитель. Например, в графе на рис. 11.3.2б есть один прямой путь от узла (или, что то же самое, от узла ) к узлу с путевым множителем , два прямых пути от узла к узлу с путевыми множителями и соответственно, один прямой путь от узла к узлу с путевым множителем и два прямых пути от узла к узлу с путевыми множителями и соответственно.

Петля (прямая петля) есть прямой путь, который начинается и заканчивается на одном и том же узле. Один и тот же узел может состоять в нескольких петлях.

Петлевой множитель (петлевое усиление) есть произведение множителей ветвей вдоль петли. Например, в графе на рис. 11.3.2б есть две петли, начинающихся и заканчивающихся на узле с петлевыми множителями и соответственно, две петли, начинающихся и заканчивающихся на узле с петлевыми множителями и соответственно.

Две или более петель называются непересекающимися (несоприкасающимися), если они не имеют не только общих ветвей, но даже общих узлов. Например, в графе на рис. 11.3.2б не пересекаются петля в левой части с петлевым множителем и петля в правой части с петлевым множителем .

Петля первого порядка – понятие тождественное понятию петля. Например, петли с петлевыми множителями , и суть петли первого порядка.

Петля второго порядка есть набор из двух непересекающихся петель первого порядка. Множитель петли второго порядка равен произведению множителей составляющих ее петель. Например, в графе на рис. 11.3.2б есть одна петля второго порядка, она объединяет две вышеупомянутых непересекающихся петли и имеет множитель .

Петля -го порядка ( =2, 3, …) есть набор из непересекающихся петель первого порядка. Множитель петли -го порядка равен произведению множителей составляющих ее петель. Например, в графе на рис. 11.3.2б нет петель третьего и более высоких порядков.

На языке теории графов узел, ветвь, путь, петля могут пониматься как геометрические объекты или как величины (комплексные числа). Узел как величина есть значение соответствующей этому узлу переменной; ветвь, путь, петля как величины есть значения множителей этих объектов.

Переходя к технике отыскания частных решений потокового графа, сделаем три замечания.

1) Величина узла-стока (т. е. величина зависимой переменной, соответствующей этому узлу) равна сумме вкладов в этот узел от всех узлов-истоков, от которых имеется прямой путь к этому узлу. Это становится очевидным, если вспомнить, что потоковый граф есть графическое отображение соответствующей S - параметрической системы уравнений, в которой каждое уравнение представляет одну зависимую переменную как линейную комбинацию независимых переменных.

2) Вклад в зависимую переменную от одной независимой переменной, т. е. вклад в узел-сток от одного узла-истока находится по «правилу непересекающихся петель» Мэйсона (S. J. Mason), который предложил его в 50-е годы прошлого столетия и систематически его применял (см., например, [11.3, 11.4]). Строгий вывод этого правила на основе свойств определителей дан в [11.5].

3) Согласно этому правилу, вклад в зависимую переменную от одной независимой переменной равен произведению последней на некоторый множитель (переносная функция [11.9]), представляющий собой некоторое выражение от множителей ветвей графа. Обычно в качестве правила используют формулу для этого множителя, т. е. для отношения конкретной зависимой переменной к конкретной независимой переменной. Чтобы найти полное частное решение для конкретной зависимой переменной, находим вклад от каждой независимой переменной путем умножения переносной функции на величину последней и сложения всех таких произведений по независимым узлам, дающим вклад.

Формула для переносной функции от независимой переменной к зависимой переменной имеет вид:

(11.4.1)

где

,	(11.4.2)
,	(11.4.3)

– прямые пути для данной пары узлов;

– сумма всех петель первого порядка графа;

– сумма всех петель второго порядка графа; …

– сумма петель первого порядка, не касающихся ни в одной точке прямого пути ;

– сумма петель второго порядка, не касающихся ни в одной точке прямого пути ; …

Рис. 11.3.2. Схема и граф нагруженной двухпортовой цепи.

Заметим, что знаменатель формулы (11.4.1) одинаков для всех пар «независимый узел – зависимый узел» и зависит только от топологии графа. В графе на рис. 11.3.2б три петли первого порядка и их сумма

(11.4.4)

одна петля второго порядка и

(11.4.5)

нет петель третьего и более высоких порядков, в итоге

(11.4.6)

Вычисляем . Для этой пары узлов имеется только один прямой путь: и нет петель, не соприкасающихся с этим путем, поэтому

(11.4.7)

Вычисляем . Для этой пары узлов имеется два прямых пути: и . С путем не соприкасается только петля первого порядка ; петель, не соприкасающихся с путем нет. В итоге

(11.4.8)

где

(11.4.9)

(11.4.10)

Вычисляем . Для этой пары узлов имеется два прямых пути: и . С путем не соприкасается только петля первого порядка ; петель, не соприкасающихся с путем , нет. В итоге

(11.4.11)

где

(11.4.12)

ДИАГРАММА ВОЛЬПЕРТА-СМИТА

Предисловие

Круговая диаграмма полных сопротивлений (круговая диаграмма, диаграмма Смита, диаграмма Вольперта-Смита, далее – круговая диаграмма, КД) – это графическое средство, или номограмма, помогающее в решении задач, связанных с линиями передачи и согласующими цепями. Начиная с 1939 г., когда она была предложена независимо Ф. Смитом и Вольпертом, популярность КД неуклонно росла с годами и в 60-е – 80-е годы ХХ века достигла невиданной высоты: ни одна номограмма в радиоэлектронике, а может быть – в любой области знания, не могла в этом отношении сравниться с КД. Она стала символом радиоэлектроники СВЧ диапазона.

В пике своей популярности КД использовалась не только для облегчения решения задач, но и для наглядной графической иллюстрации поведения радиотехнических параметров с частотой, как альтернатива табличному представлению, а также для представления многих характеристик [12.1, 12.4], таких как окружности сопротивления и проводимости, коэффициент отражения, параметры рассеяния, коэффициент шума, контуры постоянного усиления и области безусловной стабильности генераторов. Наиболее часто КД используется в области круга единичного радиуса, однако построения вне этого круга могут быть также полезны, например, в конструировании генераторов и анализе стабильности.

С появлением и развитием персональных компьютеров и специализированных электродинамических пакетов роль КД несколько угасла, так как во многих случаях расчет и его иллюстрация другими средствами на компьютере стали проще, быстрее и точнее. Однако и сейчас КД широко применяется и является стандартным элементом образования радиоинженера. Не в последнюю очередь причиной этому является привычка, благодаря которой опытному инженеру отображения на КД кажутся наглядными и весьма содержательными. Недаром, например, до сих пор формат КД – один из обязательных форматов дисплейного отображения векторного анализатора цепей.

КД изображается на плоскости комплексного коэффициента отражения в двух измерениях и масштабируется или в нормализованном импедансе ( -диаграмма), или в нормализованной проводимости ( -диаграмма). Нормализованное масштабирование позволяет использовать КД для задач, включающих любые характеристические сопротивления, хотя наиболее часто используется характеристическое сопротивление 50 Ом.

При относительно простой графической конструкции, КД устанавливает прямое соответствие между нормализованным сопротивлением (или нормализованной проводимостью) и соответствующим комплексным коэффициентом отражения по напряжению. На КД можно отобразить все многообразие режимов нагруженной однородной линии передачи без потерь. Использование КД и интерпретация результатов, полученных с ее применением, требует хорошего понимания теории цепей переменного тока и теории эквивалентных линий передачи.

Введение круговой диаграммы

Текущий коэффициент отражения

Выше было введено понятие комплексного коэффициента отражения (по напряжению) ; это понятие относится к сечению нагрузки линии и является комплексным числом (см. рис. 12.1.1). Теперь нам понадобится обобщить это понятие, введя текущий коэффициент отражения так, чтобы «старый» коэффициент отражения равнялся . Комплексная амплитуда напряжения падающей волны в сечении эквивалентной линии передачи (ЛП) с координатой (рис. 12.1.1): , а отраженной волны: . Текущим коэффициентом отражения в сечении называется отношение комплексных амплитуд напряжения отраженной и падающей волн в этом сечении:

(12.1.1)

Поскольку длина волны в линии равна , (12.1.1) можно переписать в виде , откуда видно, что по мере увеличения описывает окружности на комплексной плоскости с радиусом и периодом . Иногда удобно ввести нормированное расстояние .

Координата в линии передачи

Можно выразить напряжение и ток в линии через текущий коэффициент отражения:

(12.1.2)

где – волновое сопротивление линии. Деля напряжение в сечении на ток в том же сечении, получаем входное сопротивление как функцию координаты :

(12.1.3)

Удобно пользоваться нормированным входным сопротивлением:

(12.1.4)

и наоборот:

(12.1.5)

В силу периодичности также периодично с тем же периодом .

С общематематической точки зрения уравнения (12.1.4), (12.1.5) представляют собой преобразования Мёбиуса, связывающие функции и ; с позиций теории функций комплексного переменного это частный случай дробно-линейных преобразований. Подобные соотношения часто встречаются в прикладной электродинамике и теории цепей. Круговая диаграмма как раз и предназначена для наглядного выполнения и интерпретации этих преобразований. Функции и параметрически зависят от частоты.

Векторная диаграмма падающей и отраженной волн

Идея КД состоит в том, чтобы текущий коэффициент отражения выражался своими модулем и углом в полярной диаграмме на комплексной плоскости, а нормированное сопротивление – в декартовой системе координат на той же плоскости. Так как , то на конкретной частоте и в конкретном сечении линии будет выражен точкой внутри круга единичного радиуса, а на совокупности частот в некоторой полосе отобразится некоторой траекторией внутри этого круга. С другой стороны, как следует из (12.1.1), на данной частоте с ростом (т. е. по мере приближения к генератору) точка движется по окружности радиуса в направлении по часовой стрелке с текущим углом . Прежде чем обратиться к собственно КД, следуя [12.3], рассмотрим векторную диаграмму полных напряжения и тока в линии в зависимости от (рис.12.2.1).

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒