Методика и этапы проведения математических исследований в экономике

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Сравним методику применения математики в практических исследованиях с методикой других естественных наук. Такие науки, как физика, химия, биология изучают непосредственно сам реальный объект (возможно в уменьшенных масштабах и в лабораторных условиях). Научные результаты, после необходимой проверки, также непосредственно можно применить на практике. Математика же изучает не сами объекты, а их модели. Описание объекта и формулировка проблемы переводятся с обычного языка на «язык математики» (формализуются), в результате чего получается математическая модель. Далее эта модель исследуется как математическая задача. Полученные научные результаты не сразу применяются на практике, так как они сформулированы на математическом языке. Поэтому осуществляется обратный процесс - содержательная интерпретация (на языке исходной проблемы) полученных математических результатов. Только после этого решается вопрос об их применении на практике.

Неотъемлемой частью методики прикладной математики является всесторонний анализ реальной проблемы, предшествующий ее математическому моделированию. В целом системный анализ проблемы, предполагает выполнение следующих этапов:

· гуманитарный (доматематический) анализ проблемы;

· математическое исследование проблемы;

· применение полученных результатов на практике.

Проведение такого системного анализа каждой конкретной проблемы должно осуществляться исследовательской группой, включающей экономистов (как постановщиков проблемы или заказчиков), математиков, юристов, социологов, психологов, экологов и т. д. Причем математики, как основные исследователи, должны участвовать не только в «решении» задачи, но и в ее постановке, а также во внедрении результатов на практике.

Для проведения математических исследований экономической задачи требуется выполнение следующих основных этапов:

1. изучение предметной области и определение цели исследования;

2. формулировка проблемы;

3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);

4. построение математической модели;

5. выбор ( или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи;

6. программирование алгоритма и отладка программы;

7. проверка качества модели на контрольном примере;

8. внедрение результатов на практике.

Этапы 1 - 3 относятся к доматематической части исследования. Предметная область должна быть досконально изучена самими экономистами для того, чтобы они, как заказчики, могли четко сформулировать проблему и определить цели перед исследователями. Исследователям должны быть предоставлены все необходимые документальные и статистические данные в исчерпывающем объеме. Математиками производится организация, хранения, анализ и обработка данных, предоставленных им в удобной (электронной) форме заказчиками.

Этапы 4 - 7 относятся к математической части исследований. Результатом этого этапа является формулировка исходной проблемы в виде строгой математической задачи. Математическую модель редко можно «подобрать» из числа имеющихся, известных моделей (рис.1.1). Процесс подбора параметров модели таким образом, чтобы она соответствовала изучаемому объекту, называется идентификацией модели. Исходя из характера полученной модели (задачи) и цели исследования выбирают либо известный метод, либо приспосабливают (модифицируют) известный метод, либо разрабатывают новый. После этого составляют алгоритм (порядок решения задачи) и программу для ЭВМ. Полученные с помощью этой программы результаты анализируют: решают тестовые задачи, вводят необходимые изменения и исправления в алгоритм и программу.

Если для «чистой» математики традиционным является однократный выбор математической модели и однократная формулировка допущений в самом начале исследования, то в прикладных работах часто бывает полезно вернуться к модели и внести в нее исправления после того, как первый тур пробных расчетов уже произведен. Более того, часто оказывается плодотворным сопоставление моделей, когда одно и то же явление описывается не одной, а несколькими моделями. Если выводы оказываются (приблизительно) одними и теми же при разных моделях, разных методах исследования - это является свидетельством правильности расчетов, адекватности модели самому объекту, объективности выдаваемых рекомендаций.

Заключительный этап 8 проводится совместными усилиями заказчиков и разработчиков модели.

Результаты математических (как и всяких научных) исследований являются только рекомендацией к использованию на практике. Окончательное решение этого вопроса - применять модель или нет - зависит от заказчика, т. е. от лица ответственного за исход и за последствия, к которым приведет применение рекомендуемых результатов.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

1. определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти? );

2. выявление важнейших факторов проблемы;

3. выявление управляемых и неуправляемых параметров;

4. математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе они называются экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними. В экономической литературе они называются эндогенными переменными.

В § 2 под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые, так или иначе, влияют на конечный результат. В § 3 управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.

С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения. Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (что отсутствует в описательных моделях).

Примеры составления математических моделей

Пример 1.1. Пусть некоторый экономический регион производит несколько видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта Обозначим известные величины: — спрос населения на -й продукт ; — количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы -го продукта по данной технологии . Обозначим неизвестные величины: — объем выпуска -го продукта . Совокупность называется вектором спроса, числа — технологическими коэффициентами, а совокупность — вектором выпуска. По условию задачи вектор распределяется на две части: на конечное потребление (вектор ) и на воспроизводство (вектор ). Вычислим ту часть вектора которая идет на воспроизводство. В силу обозначений для производства количества -го товара идет количества -го товара. Тогда сумма показывает ту величину -го товара, которая нужна для всего выпуска . Следовательно, должно выполняться равенство:

Обобщая это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая полученную систему линейных уравнений относительно находим требуемый вектор выпуска.

Для того чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная матрица А (размером ) называется технологической матрицей. Очевидно, модель можно записать в виде: или

(1.4.1)

Получили классическую модель «Затраты-выпуск», автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.2. Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом в количестве 10 единиц, сортом — 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин ( ) и мазут ( ). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М;

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М;

III: 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М.

Цена бензина — 10 долл. за единицу, мазута — 1 долл. за единицу. Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины: - количество использования -го технологического процесса . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.

Тогда одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора , для которого выручка завода равна долл. Здесь 32 долл. — это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. 3ед.Б + 1 долл. 2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А: ,

для сорта В: ,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор , чтобы

максимизировать

при выполнении условий:

Сокращенная форма этой записи имеет вид:

при ограничениях

, (1.4.2)

(целые)

Получили так называемую задачу линейного программирования. Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример 1.3. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины . Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг. Обозначим известные параметры задачи: — число разновидностей ценных бумаг; — фактическая прибыль (случайное число) от -го вида ценной бумаги — ожидаемая прибыль от -го вида ценной бумаги. Обозначим неизвестные величины: — средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида . В силу обозначений вся инвестированная сумма определяется как . Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, — это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида . Очевидно, что . Из условия задачи видно, что цель инвестора — достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск — это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией

прибыли для ценных бумаг вида и вида . Здесь М — обозначение математического ожидания. Математическая модель исходной задачи имеет вид:

(1.4.3)

Получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг. Модель (1.4.3.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример 1.4. На базе торговой организации имеется типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль , если же он не будет пользоваться спросом - убыток .

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом принимающим решение (ЛПР) является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своему предпочтению. Наихудшим для магазина «решением» населения является: «завезенный товар не пользуется спросом». Так что, для учета всевозможных ситуаций, магазину нужно считать население своим «противником» (условно), преследующим противоположную цель — минимизировать прибыль магазина.

Имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Причём магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего вариантов решений), а население — один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом ( вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с строками и столбцами (всего клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики — выбору населения. Тогда клетка соответствует той ситуации, когда магазин выбирает -й тип товара ( -ю строку), а население выбирает -й тип товара ( -ю столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

		…		…
		…		…
		…		…
…	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…
		…

выбор населения

Числа написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации «выигрыш» населения (условно) равен «выигрышу» магазина, взятому с обратным знаком. Сокращенный вид этой модели имеет вид:

(1.4.4)

Получили так называемую матричную игру. Модель (1.4.4.) является примером игровых моделей принятия решения.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒