Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне

При случайном прогнозном фоне обычно предполагается, что значения независимых факторов в будущие моменты времени T+k являются случайными величинами, которые можно представить в виде суммы их математических ожиданий и случайных ошибок

 

 

При этом дисперсии и ковариации ошибок Dх_{i, T+1}, Dх_{j, T+1}, в общем случае предполагаются известными, и математические ожидания ошибок M[Dх_{i, T+1}]=0; i, j=1,..., n; s²(х₀)=M[Dх₀]=0 в силу тождества х₀º 1.

Тогда, например, для момента Т+1 истинное значение прогноза определяется следующим выражением:

 

 

Далее обычно выдвигается вполне реалистическое предположение о независимости ошибок оценок параметров модели Dа_i и соответствующего прогнозного фона Dх_{i, T+1}. Их независимость, в частности, является следствием того, что параметры модели и прогнозный фон обычно определяются в ходе разных, не связанных между собой исследований.

После раскрытия скобок в выражении (12.27) несложно заметить, что расчетное прогнозное значение (математическое ожидание процесса) определяется выражением (12.11), а его ошибка Dу_T+1 – выражением следующего вида:

 

 

где х_{0, T+1}º 1, Dх_{0, T+1}º 0.

Дисперсия такой ошибки определяется на основании известного выражения s²(Dу_T+1)=M[Dу_T+1]² с учетом некоторых дополнительных предположений, касающихся свойств ошибки модели. В случае ее гомоскедастичности и отсутствия автокорреляционных связей, т. е. при s_e²=const, Сov( e )=s_e²× E, имеет место и независимость ошибок коэффициентов модели Dа_i и ошибки e_T+1. Независимость ошибки прогнозного фона и ошибки e_T+1 практически очевидна.

В этом случае, возводя в квадрат правую часть выражения (12.28) и беря математическое ожидание от полученного выражения после несложных вычислений, получим

 

 

где cov(х_{i, T+1}, х_{j, T+1}) – ковариация случайных i-го и j-го значений прогнозного фона; при i=j, cov(a_i, a_j)=s²(a_i, ); cov(х_{i, T+1}, х_{j, T+1})=s²(х_{i, T+1}); cov(a_i, a_j)=cov(a_j, a_i) и cov(х_{i, T+1}, х_{j, T+1})=cov(х_{j, T+1}, х_{i, T+1}); х_{0, T+1}=0; s²(х_{0, T+1})=0; cov(х_{i0, T+1}, х_{j, T+1})=0, j=1,..., n.

При выводе выражения (12.29) также учтено, что математические ожидания сомножителей типа Dа_i× Dх_{i, T+1}× Dх_{j, T+1}× Da_j, Dх_{i, T+1}× Dа_i× Da_j× Dх_{j, T+1}, Dа_i× Dх_{j, T+1}× Da_j× Dх_{i, T+1} равны нулю в силу введенных предположений о равенстве нулю математических ожиданий рассматриваемых ошибок и независимости ошибок Dа_i, Dх_{j, T+1}, j=1,..., n.

Для получения выражения, определяющего дисперсию прогноза при случайном прогнозном фоне и свойствах ошибки модели, отличных от белого шума, представим выражение (12.28) в векторной форме записи:

 

D у_T+1= х _T+1¢ × D a +D х _T+1¢ × a +D х _T+1¢ × D a +e_T+1. (12.30)

 

Далее, как и в разделе 12.2, выразим векторы оценок коэффициентов модели и их ошибки в векторно-матричной форме записи a =( X ¢ × X )^–1× X ¢ × y, D a =( X ¢ × X )^–1× X ¢ × e, где e – вектор истинной ошибки модели, X – матрица наблюдаемых значений независимых факторов, y – вектор наблюдаемых значений зависимой переменной на интервале (1, Т). Получим

 

Dу_T+1= х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × e +D х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × y +

+D х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × e +e_T+1. (12.31)

 

Дисперсию ошибки прогноза с учетом оговоренных выше предположений о независимости и свойствах ошибок Dа_i, Dх_{j, T+1}, i, j=0,..., n; определим как математическое ожидание от квадрата этой ошибки

 

s²( )=M[Dy_T+1] ²= х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × M[ e × e ¢ ]× X × ( X ¢ × X )^–1× х _T+1+

+ у ¢ × X × ( X ¢ × X )^–1× M[D х _T+1, D х ¢ _T+1] × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × y +M[e²_T+1]+

+M[D х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × M[ e × e ¢ ]× X × ( X ¢ × X )^–1× D х _T+1]+

+ х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × M[e_T+1× e ]. (12.32)

 

В предположении, что M[ e × e ¢ ]=s_e²× E и независимости ошибок e_T+1 и e_t, t=1,..., Т имеем

 

1) M[D х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× X ¢ × M[ e × e ¢ ]× X × ( X ¢ × X )^–1× D х _T+1]=

=s_e²× M[D х _T+1¢ × ( X ¢ × X )^–1× D х _T+1]=

2) M[e_T+1× e ]=0.

 

В этом случае несложно показать, что выражение (12.32) приобретает следующий вид:

 

s²( )= х _T+1¢ × Сov( a )× х _T+1+ a ¢ × Cov(D х )× a +

M[D х _T+1¢ × Сov( a )× D х _T+1]+s_e², (12.33)

 

где Cov(D х ) – ковариационная матрица вектора ошибок прогнозного фона;

 

M[D х _T+1¢ × Сov( a )× D х _T+1]=

 

Несложно заметить, что выражения (12.29) и (12.33) эквивалентны.

При наличии у ошибки модели только свойства гетероскедастичности последнее слагаемое в правой части выражения (12.32) обращается в нуль, а ковариационная матрица ошибки имеет следующий вид:

 

При наличии автокорреляционных связей у ошибки модели вектор M[e_T+1× e ] имеет специфический вид, определяемый характером этих связей.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. AT : химич. Природа, строение, свойства, механизм специфического взаимодействия с АГ
2. AVC достигают макс. величины при этом объеме
3. Aбстрактные классы, используемые при работе с коллекциями
4. E) может быть необъективным, сохраняя беспристрастность
5. E) Способ взаимосвязанной деятельности педагога и учащихся, при помощи которого достигается усвоение знаний, умений и навыков, развитие познавательных процессов, личных качеств учащихся.
6. Else write('не принадлежит')
7. else write('не принадлежит')
8. Gerund переводится на русский язык существительным, деепричастием, инфинитивом или целым предложением.
9. I. Общие обязанности машиниста перед приёмкой состава в депо.
10. I. Понятие и система криминалистического исследования оружия, взрывных устройств, взрывчатых веществ и следов их применения.
11. I. Предприятия крупного рогатого скота
12. I. Прием и отправление поездов