Плотность распределения и ее свойства

Глава 2

Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

Рч| Под случайной величиной понимают величину, которая в результа

те опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописными латинскими буквами X, Y_y Z,... (или строчными греческими буквами £ (кси), г/ (эта), в (тэта), ф (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х₂, ■ ■ ■, у\, У2, Уз-> ■ • ■ ■

Примерами с. в. могут служить: 1) X — число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) Y — число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z — время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы, ...). Рч| Случайная величина, принимающая конечное или счетное множе-

— ство значений, называется дискретной (сокращенно: д. с. в.).

Если же множество возможных значений с. в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: н.с. в.).

То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и У (примеры 1) и 2)) являются дискретными. С. в. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0, t), где t ^ 0, правая граница не определена (теоретически t = +оо). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа.

Дадим теперь строгое определение с. в., исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей.

Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий 12, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число т.е.

X = X{w), юеП (или X = Дш)).

Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС £ 1 ~ = {ш^ад^гиз, V4}, где ui^ = ГГ, w₂ = ГР, = РГ, = РР, можно рассмотреть с. в. X — число появлений герба. С. в. X является функцией от элементарного события w_t\ X(tui) = 2, AT(102) = 1, JV(WJ3) — 1, X(v)/[) = 0; X — д.с. в. со значениями x^ ~ 0, x₂ — 1, £ 3 = 2.

Отметим, что если множество конечно или счетно, то случайной величиной является любая функция, определенная на О. В общем случае функция X(tu) должна быть такова, чтобы для любых х G Ш событие А = {w: X(w) < х} принадлежало сг-алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р{А) = Р{Х < х).

Для полного описания с. в. недостаточно лишь знания ее возможных значений; необходимо еще знать вероятности этих значений.

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий А С S (S — ст-алгебра событий пространства S7), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением). Про с. в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».

2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

Пусть X — д.с.в., которая принимает значениях\, х₂, хз,... _:х_п,... (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью р_гу где i = 1, 2, 3,..., п, — Закон распределения д. с. в. удобно задавать с помощью формулы р_г = Р{Х =: г_г}, г = 1, 2, 3,..., п,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение х_г. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:

X	х_х	Х₂
р	Р\	Р2		Рп

где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) с. в., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.

Так как события {X — xi}, {X ~... несовместны и образуют

полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12),

т.е. Y^Pi = i

Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (х\, р\), (х₂, р₂), •■ ■ называют многоугольником (или полигоном) распределения (см. рис. 17).

Рис. 17

Теперь можно дать более точное определение д. с. в. |нч| Случайная величина X дискретна, если существует конечное или

счетное множество чисел х-\, х₂, ...таких, что Р{Х = х^} = Pi > О [г = 1, 2,...) и pi + р2 + рз +. •. = 1-

Определим математические операции над дискретными с. в. ф Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей зна-

~ чения Х{ с вероятностями pi = Р{Х — Xi], г — 1, 2,..., п и д. с. в. У, принимающей значения yj с вероятностями pj = P{Y = у₃}, j = 1, 2,..., га, называется д. с. в. Z = X + У (Z = X — У, Z = X • У), принимающая значения z^j = х_г + yj (Zij = х\ — у i, Z{j — Х{ ■ уj) с вероятностями Pij = Р{Х — Xi, Y — yj} для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм Х{ + yj (разностей х₇ — у₃, произведений Xiijj) соответствующие вероятности складываются.

Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения cxi с вероятностями Pi — Р{Х — х^. PJ| Две д. с. в. X и У называются независимыми, если события

{X = = Ai и {У = yj} — Bj независимы для любых i = 1, 2,..., п;

j = 1, 2,..., m, т.е.

Р{Х = х_г; Y = < /, } = = хЛ • =

В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Пример 2.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

О Возможные значения с. в. X — числа белых шаров в выборке есть Xi — О, Х2 = 1, — 2, Х\ = 3. Вероятности их соответственно будут

Р/ Y nl • 1 „г у _лх • С.з 15

_Р1 = Р{Х = о} = = gg, Р2 = Р{Х = 1} = -^з- =

Рз —, = ^. Закон распределения запишем в виде таблицы.

X
р

(Контроль: ЕР. = ^ + | + 1 + | = 1.)

Упражнения

1. Монета бросается 4 раза. Построить многоугольник распределения с. в. X — числа выпадений герба.

2. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0, 6, а вторым — 0, 9. Составить ряд распределения с. в. Л" — числа студентов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пересдавать нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.

2.3. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Очевидно, ряд распределения с. в. может быть построен только для д. с. в.; для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдельно взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины — н. с. в. — точно равен л/3 — 1, 7320508... метров; купленная нами лампа проработает — н. с. в. — ровно 900 часов; .... Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет нулевую вероятность.

Для характеристики поведения н.с. в. целесообразно использовать вероятность события {X < х} (а не {JY —, т}), где х — некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. X — 900. Более важным является событие вида {X < 900} (или {X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при изменении х вероятность события {JV < х] в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность Р{Х < ж} является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая F\(x) (или просто F(x), без индекса, если ясно, о какой с. в. идет речь). К] Функцией распределения с. в. X называется функция F{x), которая

для любого числа х 6 R равна вероятности события {vY < х}.

Таким образом, по определению

F{x) = Р{Х < х} т. е. F(x) = P{w: X(w) < х}. (2.1)

Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с. в. X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки ж, т. е. случайная точка X попадет в интервал (—оо, х), см. рис. 18.

_______ Х< х

Л__________ -

X X

Рис. 18

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. F(x) ограничена, т.е.

О < F(x) ^ 1.

2. F(x) — неубывающая функция на i?, i.e. если х₂ > х, то

F{x₂)^F(X₁).

3. F(x) обращает в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности, т. е.

F(-oo) — 0, F(-j-oo) = 1.

4. Вероятность попадания с. в. X в промежуток [а, Ь) равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т. е.

Р{а < X < b} = F(b) - F(a). (2.2)

5. F(x) непрерывна слева, т. е.

lim F(x) = F(xо).

х —> хо—О

□ 1. Первое свойство следует из определения (2.1) и свойств вероятности (п. 1.11, 1.12).

2. Пусть А = {X < х\}, В ~ {X < х₂). Если х\ < х_2у то событие А влечет событие В (п. 1.4), т. е. А С В. Но тогда согласно свойству 4 (п. 1.12), имеем Р(А) ^ Р{В), т.е. Р{Х < х{\ < Р{Х < х₂} или F(x_l)^F(x₂).

Геометрически свойство 2 очевидно: при перемещении точки х вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки X в интервал (~оо, х" ) не может уменьшаться.

3. Третье свойство вытекает непосредственно из того, что {X < —оо} — 0, а {X < -|-оо} — П; согласно свойствам вероятности (п. 1.11, 1.12), имеем: F(-oo) = Р{Х < -оо} ^ Р{0} = О, оо) = = Р{Х < +оо} = Р{П} - 1.

4. Так как а < 6, то очевидно, что {X < b} — {X < а}-\-{а ^ X < Ь} (это хорошо видно на рис. 19).

Так как слагаемые в правой части — несовместные события, то по теореме сложения вероятностей (п. 1.11) получаем Р{Х < Ь} — = Р{Х < а} + Р{а < X < b}. Отсюда следует Р{а < X < Ь} - = Р{Х < b}~ Р{Х < а} = F(b) - F(a).

5. Свойство 5 проиллюстрируем далее на примере 2.2. ■

{£ < ь}___________

{X < а} ^а {а^Х < Ь] Рис. 19

Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1-3, 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины.

Заметим, что формула (2.2) (свойство 4) справедлива и для н.с. в., и для д. с. в.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события {X ^ х}:

7 Р{Х > х} = 1 - F(x). (2.3)

Можно дать более точное определение н.с. в.

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Используя свойство 4 можно показать, что «вероятность того, что н.с. в. X примет заранее указанное определенное значение а, равна нулю».

Действительно, применим формулу (2.2) к промежутку [а, ж): Р{а ^ X < х] = F(x)~F(a). Будем неограниченно приближать точку х к а. Так как функция F(x) непрерывна в точке а, то lim F(x) = F (а). В

x—ta

пределе получим Р{Х = а] = lim F(a; ) — F(a) — F(a) — F(a) = 0. Если

x—> o

функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. равна нулю.

Следовательно, для н. с. в. справедливы равенства

Р{а ^ х < Ь} = Р{а < x< b} = P{a^x^b} = Р{Х < Е (о, 6]}.

Действительно,

Р{а ^ х < 6} = Р{Х = а) + Р{а < х < b} = Р{а < х < 6}

и т.д.

Функция распределения д. с. в. имеет вид

= (2.4)

x_t< x

Здесь суммирование ведется по всем г, для которых х_г < х. Равенство (2.4) непосредственно вытекает из определения (2.1).

Пример 2.2. По условию примера 2.1 (п. 2.2) найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

О Будем задавать различные значения х и находить для них F(x) = = Р{Х < х}:

1. Если х ^ 0, то, очевидно, F(z) = Р{Х < 0} = 0;

2. Если 0 < х ^ 1, то F(x) - Р{Х < х} ~ Р{Х

3. Если 1 < х ^ 2, то F(x) = Р{Х -0} + Р{Х = 1} = i + Щ = Щ]

4. Если 2 < х < 3, то = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} + = 2} = L 4-1^ + 20 ₌ 46.

б" ¹" 56^ 56 56'

5. Если 3 < х, то F(ar) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1 } + Р{Х = 2} + Р{Х =

(2.5)

^h 56 Итак,

^г0,	если
56 '	если	0 < х <
56 '	если	1 < х <
46 56 '	если	2 < х <
Л	если	3 < х.

Строим график F(x), рис. 20.

F(x)> 1

46/56

> Рз

Р2

16/56? /56

Рис. 20

Как видим, функция распределения д. с. в. X есть разрывная, со скачками р_г в точках х_1у функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция F(x) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид.

Отметим, что, пользуясь равенством (2.4), функцию распределения можно сразу записать в виде (2.5)

'0,


	+

	+	+

	+	+
L 56

Упражнения

1. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0, 6, а для второго —- 0, 8. Найти и построить функцию распределения с. в. X — числа попаданий в мишень.

2. Убедиться, что функция

₍, __ ГО, если х < 0,

\l — если х > 0

является функцией распределения некоторой случайной величины. Найти Р{0 ^ х < 1} и построить график F(x).

3. Дана функция распределения

при X

0, при х < 0, Fx{x) = { прих < V2,

> у/2.

Найти вероятность того, что в результате четырех испытаний с. в. X трижды примет значение, принадлежащее интервалу (0; 1).

Упражнения

1. Случайная величина X задана функцией распределения:

{

0, при х ^ — 1,

а(х + I)², при - 1 < х < 2, 1, при о: > 2.

Найти значение о, построить графики и /(ж).

2. Кривая распределения н.с.в. X имеет вид, указанный на рис. 22. Найти выражение для fx (я), Функцию распределения Fx(x), вероятность события {Xef^;! )}.

№	м

	1 0	X

Рис. 22

3. Является ли плотностью распределения некоторой с. в. каждая из

следующих функций:

a) fix) = ^х при х G (-оо; +оо); 7Г(1 + X )

б )fix) = [b

(О, при х ( 1; 1];

f/„\ _ /°> ^ПР^И х < 0и х> 2,

Дисперсия

нч| Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи

дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.

Обозначается дисперсия через DX (или D[X], Dx, D(X)). Таким образом, по определению

DX = М{Х - MX)², (2.12)

или DX — MX², или DX = М(Х — тх)². Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:

dx = - mx)² ■ pi — для д. с. в. x, (2.13)

+оо

DX= J (х- MX)² • f(x) dx — для н. с. в. X. (2.14)

—оо

На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле

DX = MX² - {MX)². (2.15)

Она получается из формулы (2.12): DX = М(Х² ~2Х-МХ + (МХ)²) = = MX² - М{2Х - MX) + М{МХ)² = MX² - 2MX • MX + (MX)² = = MX² - (MX)².

Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и (2.14)) в другом виде:

DX^Yl^'Pi-iMX)², (2.16)

+СЮ

DX = J x²-f(x)dx-(MX)². (2.17)

-оо

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной равна нулю, т.е.

Dc = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат, т. е.

DcX = c²DX.

3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е. если X и У независимы, то

D(X + Y) = DX + DY.

4. Дисперсия с. в. не изменится, если к этой с. в. прибавить постоянную, т. е.

D(X + с) = DX.

5. Если с. в. X и Y независимы, то

D(XY) = MX² ■ MY² - (MX)² • (MY)².

□ 1. Dc - M(c - Mc)² = M(c - cf = MO = 0.

2. DcX = M{cX-M(cX))² = M{cX-cMX)² = M(c²(X-MX)²) = = c²M{X - MX)² = c²DX.

3. Используя формулу (2.15), получаем D(X + Y) = M(X 4- Y)² - ~{M{X + Y))² = M X² + 2M XY + MY² — (M X)² — 2M X - MY — (MY)² = = MX² - (MX)² + MY² - (MY)² + 2(MXY - MX ■ MY) = DX + DY + + 2(MX ■ MY - MX • MY) = DX DY.

Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то

D(X + Y) = DX + DY + 2М((Х MX) • (У - MY)).

4. D(c + Х) = М((с 4-Х) - М(с + X))² = М(Х - MX)² = DX. Доказательство свойства 5 не приводим. I

Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных с. в.

Х (DX) 2

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от MqX (рис. 24).

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от MqX (рис. 25).

а для н. с. в. — интегралом:

Коэффициентом эксцесса («островершинности») Ее. в. X называется величина

'х

_е=Р4 _г=М(Х~МХ)⁴ ₃

(DXy

№	/ \Л> 0 J.........................................................................................
	М₀Х х
	Рис. 24
/(*)
	i< y \
	М₀Х ж

Рис. 25

Величина Е характеризует островершинность или плосковершин- ность распределения. Для нормального закона распределения (см. п. 2.7) А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нормальным: если Е > 0 — более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26).

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик с. в., в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилъю уровня р с. в. X называется решение уравнения

Fx (х_р) = р,

где р — некоторое число, 0 < р < 1.

Квантили ^0, 25) и жо, 75 имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (М_еХ ~ #0, 5), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0, 25 (рис. 27).

fix

^0, 25 Х0, Ь ^0, 75

Рис. 27

Упражнения

1. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0, 9. Найти м.о. числа попаданий. Решить задачу в случае, если вероятности попадания при разных выстрелах различны: а) р\ = 0, 7, б) р₂ = 0, 8,

в) Рз = 0, 9.

2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения

при X ^ 0 и X > 7Г, при 0 < ГЕ < 7Г.

Найти математическое ожидание случайной величины X.

3. Пусть X и У — независимые д. с. в., причем MX = 2, MY — —3, DX = 2, DY = 9. Найти MZ и DZ, если Z — 5X - 3Y + 2.

4. По условию упражнения 2 найти DX и ох-

5. С. в. X задана функцией распределения

Найти значения А и В, MX и а_Х-

6. Пусть Xi, Х₂, ..., Х_п — последовательность независимых с. в. с МХ_г — а и DX_t = с², г = 1, 2, ..., п. Найти м.о. и дисперсию среднего арифметического п независимых с. в. Х_г.

Производящая функция

Нахождение важнейших числовых характеристик д. с. в. с целыми неотрицательными значениями удобно производить с помощью производящих функций.

Пусть д. с. в. X принимает значения 0, 1, 2,..., к,... с вероятностями р₀, РъР2, • • ■ = Р{Х = Aj>, ....

Производящей функцией для д. с. в. X называется функция вида

оо

Ф) = 52^рк ■ *^к=+^piz+^р2*^{2 +} •" ' (²-²°)

где г — произвольный параметр, 0 < z ^ 1.

Отметим, что коэффициентами степенного ряда (2.20) являются вероятности закона распределения д. с. в. X.

Дифференцируя по г производящую функцию, получим

сю fc-0

Тогда

оо

< p'(l) = Y, k-Pk = MX = a_u А=0

т. е.

а\ = mx = < р'(1). (2.21)

Взяв вторую производную функции < p(z) и положив в ней z — 1, получим:

оо оо оо

^''м = -1) • р* ■ ^" (i) = 52^к2 - рь - 52^к•^{рк = а2} ~

А—0 fc=0 к=О

где «2 и ai — начальные моменты соответственно 2-го и 1-го порядков (а₂ = MX², en = MX). Тогда DX = MX² - (MX)² = а₂ - af = = (аз - а_г) + ai - a² - tp" {l) + < p'( 1) - (у> '(1))², т. e.

DX = < p" (l) + v? '(l) — (< /? '(l))². (2.22)

Полученные формулы (2.21) и (2.22) используются для нахождения м. о. и дисперсии рассматриваемого распределения.

|\| Пример 2.6. Найти дисперсию с.в. X — числа попаданий в упражне- ¹—' НИИ 1 (п. 2.5).

Q Ряд распределения с. в. X:


р	0, 01	0, 027	0, 243	0, 729

Найдем DX, используя формулу (2.22). Производящая функция ip(z) = = 0, 01 + 0, 027z + 0, 243z² +0, 729z³. Тогда = 0, 027 + 0, 486z + 2, 187z². Полагая z ~ 1, находим < £ > '(1) = 2, 7 — MX (упражнение 1 из п. 2.5). сp" {z) = 0, 486 + 4, 374z. Поэтому < ^" (1) = 4, 46 и DX = 4, 86 + 2, 7- (2, 7)² = = 0, 27 (формула (2.22)).

Аналогично решаем во втором случае, когда вероятности при разных выстрелах различны (п. 1.20, пример 1.31). < p{z) = 0, 006 + 0, 0922 + + 0, 398-г² + 0, 504z³. ip'{z) = 0, 092 + 0, 796z + 1, 512^², у/(1) - 2, 4 - MX. ip" (_z) = 0, 796+ 3, 024z, = 3, 82. Поэтому DX = 3, 82 + 2, 4 - (2, 4)² = = 0, 46. •

Распределение Пуассона

К| Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона,

если ее возможные значения: 0, 1, 2,..., т,... (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона

р_т - Р{Х = ш] = (2.25)

где т = 0, 1, 2,..а — параметр.

Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда п оо и р 0 так, что пр = а — постоянно. Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за время if; число опечаток в большом тексте; число бракованных деталей в большой партии; число а-частиц, испускаемых радиоактивным источником, и т. д. При этом считается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, характеризующейся параметром а = пр.

Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, имеет следующий ряд распределения

X = т				га
Рт	е~^а	а • е~^а	а² ■ е~^а	а^т • е" ^а
1!	2!	ш!

Контроль: Z Рт = е~^а £ 2-г - е^-0 ■ е^а = 1.

771—0 Ш=0 ^т-

Найдем м.о. и дисперсию с.в. X, распределенной по закону Пуассона. Производящей функцией распределения Пуассона будет

ОО ОО / \_т

Ф) = У _zm _{= е}-а у Щ_ ₌ а. _{= с}«(*-1)

^ т\ ^ т\

т—0 т—О

т.е. ф) = e< ^z'^l\ Тогда < p'{z) = a • e^a⁽-^z~^l\ y" {z) = a² -. Стало

быть, MX = < ^(1) = a, DX = < p" ( 1) + ^'(1) - (v? '(l))² = a² + a - a² = a. Итак,

MX = DX — a, (2.26)

т. е. параметр а пуассоновского распределения равен одновременно м. о. и дисперсии с. в. X, имеющей это распределение. В этом состоит отличительная особенность изучаемого распределения, которая используется на практике (на основании опытных данных находят оценки для м.о. и дисперсии; если они близки между собой, то есть основание считать, что с. в. распределена по закону Пуассона).

Пример 2.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелах составит не менее 5 и не более 10?

О Вероятность р = 0, 01 очень мала, а число выстрелов (опытов) достаточно велико. Поэтому искомую вероятность будем находить, используя формулу Пуассона. С. в. X — число попаданий. Требуется найти Р{5 ^ X ^ 10}. По теореме сложения вероятностей Р{5 < X ^ 10} - Р{Х = 5} + Р{Х = 6} +... + Р{Х = 10}. Имеем: а - пр = 200 • 0, 01 - 2, е" ^а = е^² и 0, 135,

(

о5 об п7 п8 о9 о10 \

I ⁺ 6! ⁺ 7! ⁺ 8! ⁺ I ⁺ 10! ) * °'°⁵³' '

Действительно,

^х 2 ⁰ 2 ¹ 2 Ф{х) = j е~~2" dt = / е~ 2" dt + f е~г dt =

y/bi J y/bi J

—oo —oo 0

(см. (2.40)).

оо

Установим смысл параметров а и а нормального распределения. Для этого найдем математическое ожидание и дисперсию с. в. X ~ ~ JV(a, сг).

(х - а)²

1 Г _ ^ ~ > х • fix) dx = Ц= х-е 2о-² =

сг ■ > /27Г J

—оо —оо

оо

= подстановка ^{х а} = t =---------- I (y/2ot + a)e~^{< 2} splo dt —

дуД yft

[ уДа J a • J

-oo oo

J V* J V⁷¹"

т. e. MX = a. Первый интеграл равен нулю, так как подинтегральная функция нечетная, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, а второй интеграл равен у/тх (см. равенство (2.39)). Таким образом, параметр а — математическое ожидание.

При нахождении дисперсии с. в. X ~ N(a, сг) снова сделаем подста-

/р_ а

новку — y=r— = t и применим метод интегрирования по частям: V2а

^{00 00} (х - о)²

DX = [ [x-a)²f{x)dx = [ =

²e-^t²dt=:

J J < jv27T

оо

= f 2< T²t²e-^t²*V2dt=*£ [ t

< 7\/27Г J \Д J

— OO

—oo

Таким образом, DX = сг², a cr — среднее квадратичное отклонение. Можно показать, что для с. в. X jV(a, cr): МоХ = М_еХ = а,

о⁶ сг⁴

Исследуем дифференциальную функцию (2.38) нормального закона:

1. f{x) > 0 при любом х £ = (—00, 00); график функции расположен выше оси Ох.

2. Ось Ох служит асимптотой графика функции /(х), так как

lim fix) = 0.

(х - о)²

3. Функция f(x) имеет один максимум при х = а, равный f{a) ~ — ^:. Действительно,

< 7> /2ТГ

(я — а) _

/'(_Я) = -1—^е 2а²V27T

Отсюда f'(x) — 0 при х = а, при этом: если х < а, то f^f(x) > 0, а если х > а, то /'(а? ) < 0. Это и означает, что х = а точка максимума

и /шах = /(о) = ¹

оу/ЪК

4. График функции /(з? ) симметричен относительно прямой х = а, так как аналитическое выражение f(x) содержит разность х — а в квадрате.

5. Можно убедиться, что точки

Mi (а - а, —\=е~2 ] и М₂ (а + а, —2 )

V ау/2тг ) \ ау/2тг J

являются точками перегиба графика функции f(x). Пользуясь результатами исследования, строим график плотности распределения вероятности нормального закона — кривую распределения, называемую нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис. 34).

Как влияет изменение параметров а и а на форму кривой Гаусса? Очевидно, что изменение а не изменяет форму нормальной кривой (графики функции f{x) и f(x — а) имеют одинаковую форму; график f[x — а) получается из графика функции f(x) путем сдвига последнего на а единиц вправо, если а > 0, и влево, если а < 0). С изменением о максимальная ордината точки кривой изменяется. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице при любом значении < 7, то с возрастанием а кривая Гаусса становится более пологой, растягивается вдоль оси Ох —

На рис. 35 изображены нормальные кривые при различных значениях a (< 7i < о < СГ2) и некотором значении а (одинаковом для всех трех кривых).

SW	г	\	-- сг i
___ —-i	J-	N	Чс
	а		X

Рис. 35

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величинь износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес- клубней картофеля, величина шума в радиоприемном устройстве, колебания курса акций и т. д.

Найдем вероятность попадания с.в.Х~ N(a, a) на заданный участок (а, /3). Как было показано,

Р{а< Х < Ь} = J f{x)

(п. 2.4, формула (2.8)). В случае нормального распределения

₁ г _> ~^й)2 г _ л

Р{а < X < /3} = / е 2с² dx = - t \ =

< jy/2'K J L J

ft — a fi — Q а — а

° t^{2 а} t^{2 С} t²= —/ 2" dt = —/ е~2' dt / dt.

ч/2тг J \/2тг 7 ч/2тг У

а — а а

Получаем

Р{«< Х< [3} = Фо - Фо • (2.43)

Через функцию Лапласа Фо(я) выражается и функция распределения Fix) нормально распределенной с. в. X.

Г 1 ~ *)²

Fix) = / —е 2сг² rfi = Р{-оо < X < .7; } =

= Ф„ - Фо = Фо + i,

Т. е.

Fix) = \ + Фо. (2.44)

Здесь воспользуемся формулой (2.43), нечетностью функции Фо(я) и тем, что Ф₀(оо) = действительно

°° 2 о

Упражнения

1. Известно, что с. в. X ~ iV(3, 2). Найти

3 < X < 5}, Р{Х < 4}, - 3| < 6}.

2. Нормально распределенная с. в. X задана плотностью вероятностей

Найти: а) вероятность попадания с. в. в интервал (1, 3); б) симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0, 8926 попадет с. в. X в результате опыта; в) MqX и М_еХ. Построить нормальную кривую f{x).

Найти коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения с параметром а = 0.

Глава 3

Системы случайных величин

Упражнения

1. Двумерная случайная величина (X, У) задана совместной плотностью распределения

fix у) = {^Ае~^Х~^У1 яри ж ^ 0, у > О,

\0, в противном случае.

Найти: 1) коэффициент А\ 2) Г_Х)у(х, у»); 3) ^лг(ж) и Fy(y); 4)

и /у(у); 5) Р{Х> 0, У< 1}.

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для I стрелка равна 0, 4, для II — 0, 6. Оба стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела в цель. Найти: 1) закон распределения случайных величин X и У; 2) совместный закон распределения системы случайных величин (X, Y); 3) функцию распределения Fx_fY(^x, y)> если случайная величина X — число попаданий I стрелка, случайная величина Y — II стрелка.

Kxy — Кух-

2. Дисперсия с. в. есть ковариация ее с самой собой, т. е.

Кхх = DX, Куу = DY.

3. Если случайные величины X и Y независимы, то

К_Ху = 0.

4. Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих случайных величин, т. е.

D{X ± Y) = DX + DY ± 2K_Xy.

5. Постоянный множитель можно вынести за знак ковариаций, т. е. K_cx, y = с-Kxy — Kx, cy ^или cov(cX, У) = ccov(X, У) = cov(X, сУ).

6. Ковариация не изменится, если к одной из с. в. (или к обоим сразу) прибавить постоянную, т. е.

Kx+c, y = Kxy = Кх, у+с = Kx+c_yY+c

или

cov(X + с, У) — cov(X, У) = cov(X, Y + с) — cov(X + с, У + с).

7. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит их с.к.о., т.е.

\Kxy\ ^ ' о-у

Q 1. Следует из определения (3.28) ковариации.

2. К_ХХ = М[(Х- т_х){Х - т_х)} - М{Х - т_х)² = DX.

3. Из независимости с. в. X и У следует независимость их отклонений X — т_х и У — т_у. Пользуясь свойствами м.о. (п. 2.5), получаем К_Ху = М(Х - т_х) • M{Y - т_у) = 0.

4. D(X + У) = М{{Х + У) - М(Х + У))² =

= M{{X-MX)+{Y-MY))² = M(X-MX)²+2M(X-MX)(Y~MY)+

+ М(У - MY)² = DX + DY + 2K_Xy, — У) = DX + D(—Y) + 2M(X - МХ)(-У - М(-У)) =

= DX + DY- 2K_xy.

5. K_cX, y = M{cX - McX)(Y - MY) = M[c(X - MX)(Y - MY)] = = cK_XY-

6. Доказывается аналогично.

г, тт ^ X -m_x Y -m_y

7. Применяя свойство 4 к двум стандартным с. в. ——— и ———

(см. 2.5), получаем:

±2М

= 1 + 1

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

2 (l ± ^ 0. (3.33)

Отсюда следует, что -а_ха_у < К_Ху < о^сгу, т. е. \Kxy\ ^ ■

Из свойства 3 следует, что если Kxy ф 0, то с. в. X и У зависимы. Случайные величины X и У в этом случае (Kxy ф 0) называют коррелированными. Однако из того, что Кху = 0, не следует независимость с. в. X и У. В этом случае (Кху = 0) с. в. X и У называют некоррелированными. Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно.

Как следует из свойств ковариации, она [Кху) характеризует и степень зависимости случайных величин, и их рассеяние вокруг точки (т_х, т_у). Размерность ковариации равна произведению размерностей с. в. X и У. В качестве числовой характеристики зависимости (а не рассеяния) с. в. X и У берут безразмерную величину — коэффициент корреляции. Он является лучшей оценкой степени влияния одной с. в. на другую.

Коэффициентом корреляции гху двух с. в. X и У называется отношение их ковариации (корреляционного момента) к произведению их с. к. о.:

^ХY ^j ) /о cmn

Kxy ₌ cov(X, Y) ^{7х< т}у у/Ш^Ш

Очевидно, коэффициент корреляции равен ковариации стандартных

„ X -тп_х Y -ТПу

с.в. Z\ = —— и Z₂ = —щ—, т.е. г_Ху = cov(Zi, Z₂).

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1, т.е.

\г_Ху\ < 1 или - 1 < г_Ху < 1.

2. Если X и У независимы, то

rxY = о.

3. Если с. в. X и У связаны линейной зависимостью, т. е. У = аХ + b, а ф 0, то

\гху \ = 1,

причем txy — 1 при а > 0, гху = —1 при а < 0.

4. Если \гху \ = 1, то с. в. X и У связаны линейной функциональной зависимостью.

Q 1. Тале как \'И ^ о_х • а_у (свойство 7 ковариации), то

и I \^К*У\ / ₁

2. Kxy = 0 в случае независимости X и У. Следовательно,

_ kxy _ _ПrxY — _{а п} = U.

V_x(Jy

3. Согласно свойствам ковариации, имеем

cov(X, У) = cov(X, аХ + 6) = cov(aX + 6, X) = a cov (x + x) -

= acov(X, X) =аШГ

и £ > У = + Ъ) = a²DX. Поэтому

_r соу(Х, У) ₌ аДХ a ^ fl, при a > 0,

у/Шу/Ш \ПХХ-\а\-\ПХХ i°l l" ¹* при a < 0.

4. Пусть txy — 1. Тогда из равенства

/X-m_x __ Y-my\ ₌ / _ K_Ky\

^ Ox Vy ) \ °х< Уу )

(см. свойство 7 ковариации) получаем

_D(X-m_x_Y__mA ₌

\ cr_x < 7у J '

X -т_х Y - ту т. е. — z= = с — постоянная. Но

(J х О у

= 0-0 = 0,

л гл X — m_x Y — т_у сг_у

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒