Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 10Следующая ⇒

Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обозначается через MqX. Для н.с. в. MqX — точка максимума (локального) плотности fx{x)-

Если мода единственна, то распределение с. в. называется унимодальным, в противном случае — полимодальным (рис. 23).

Рис. 23

Медианой М_еХ н.с. в. X называется такое ее значение х_р, для которого

Р{Х < х_р\ = Р{Х > х_р} = i, (2.19)

т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше х_р или больше х_р(рис. 23).

С помощью функции распределения F(x) равенство (2.19) можно записать в виде F(M_eX) = 1 - F{M_eX). Отсюда F(M_eX) = |. Для д. с. в. медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий — моментов с. в.

Начальным моментом порядка к с. в. X называется м.о. к-й степени этой величины, обозначается через ад.. Таким образом, по определению

а_к = М(Х^к).

Для д. с. в. начальный момент выражается суммой:

J x^k-f{x)dx.

В частности, а\ ~ MX, т.е. начальный момент 1-го порядка есть м.о.

Центральным моментом порядка к с. в. X называется м. о. величины (X — МХ)^к, обозначается через pk- Таким образом, по определению

(л_к = М(Х - МХ)^к.

В частности, ц₂ = DX_: т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; = М(Х — MX) — 0 (см. свойство 4 м. о.). Для д. с. в.:

= МХ)^к -р_г,

а для н.с. в.:

оо

J (x-MX)^k-f(x)dx.

—оо

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Так, р₂ — DX — а₂ — а² (действительно: р₂ — DX — = MX'² — (MX)² = а₂ — а²)-, = аз — За^а^ + 2af, /м = 0.4 — 4а1аз + + 6а²а₂ - За^ и т.д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом асимметрии («скошенности») Л с. в. X называется величина

ju₃ М(Х - MX)³

Л —

_гз з

Х (DX) 2

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от MqX (рис. 24).

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от MqX (рис. 25).

а для н. с. в. — интегралом:

Коэффициентом эксцесса («островершинности») Ее. в. X называется величина

'х

_е=Р4 _г=М(Х~МХ)⁴ ₃

(DXy

№	/ \Л> 0 J.........................................................................................
	М₀Х х
	Рис. 24
/(*)
	i< y \
	М₀Х ж

Рис. 25

Величина Е характеризует островершинность или плосковершин- ность распределения. Для нормального закона распределения (см. п. 2.7) А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нормальным: если Е > 0 — более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26).

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик с. в., в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилъю уровня р с. в. X называется решение уравнения

Fx (х_р) = р,

где р — некоторое число, 0 < р < 1.

Квантили ^0, 25) и жо, 75 имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (М_еХ ~ #0, 5), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0, 25 (рис. 27).

fix

^0, 25 Х0, Ь ^0, 75

Рис. 27

Упражнения

1. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0, 9. Найти м.о. числа попаданий. Решить задачу в случае, если вероятности попадания при разных выстрелах различны: а) р\ = 0, 7, б) р₂ = 0, 8,

в) Рз = 0, 9.

2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения

при X ^ 0 и X > 7Г, при 0 < ГЕ < 7Г.

Найти математическое ожидание случайной величины X.

3. Пусть X и У — независимые д. с. в., причем MX = 2, MY — —3, DX = 2, DY = 9. Найти MZ и DZ, если Z — 5X - 3Y + 2.

4. По условию упражнения 2 найти DX и ох-

5. С. в. X задана функцией распределения

Найти значения А и В, MX и а_Х-

6. Пусть Xi, Х₂, ..., Х_п — последовательность независимых с. в. с МХ_г — а и DX_t = с², г = 1, 2, ..., п. Найти м.о. и дисперсию среднего арифметического п независимых с. в. Х_г.

Производящая функция

Нахождение важнейших числовых характеристик д. с. в. с целыми неотрицательными значениями удобно производить с помощью производящих функций.

Пусть д. с. в. X принимает значения 0, 1, 2,..., к,... с вероятностями р₀, РъР2, • • ■ = Р{Х = Aj>, ....

Производящей функцией для д. с. в. X называется функция вида

оо

Ф) = 52^рк ■ *^к=+^piz+^р2*^{2 +} •" ' (²-²°)

где г — произвольный параметр, 0 < z ^ 1.

Отметим, что коэффициентами степенного ряда (2.20) являются вероятности закона распределения д. с. в. X.

Дифференцируя по г производящую функцию, получим

сю fc-0

Тогда

оо

< p'(l) = Y, k-Pk = MX = a_u А=0

т. е.

а\ = mx = < р'(1). (2.21)

Взяв вторую производную функции < p(z) и положив в ней z — 1, получим:

оо оо оо

^''м = -1) • р* ■ ^" (i) = 52^к2 - рь - 52^к•^{рк = а2} ~

А—0 fc=0 к=О

где «2 и ai — начальные моменты соответственно 2-го и 1-го порядков (а₂ = MX², en = MX). Тогда DX = MX² - (MX)² = а₂ - af = = (аз - а_г) + ai - a² - tp" {l) + < p'( 1) - (у> '(1))², т. e.

DX = < p" (l) + v? '(l) — (< /? '(l))². (2.22)

Полученные формулы (2.21) и (2.22) используются для нахождения м. о. и дисперсии рассматриваемого распределения.

|\| Пример 2.6. Найти дисперсию с.в. X — числа попаданий в упражне- ¹—' НИИ 1 (п. 2.5).

Q Ряд распределения с. в. X:


р	0, 01	0, 027	0, 243	0, 729

Найдем DX, используя формулу (2.22). Производящая функция ip(z) = = 0, 01 + 0, 027z + 0, 243z² +0, 729z³. Тогда = 0, 027 + 0, 486z + 2, 187z². Полагая z ~ 1, находим < £ > '(1) = 2, 7 — MX (упражнение 1 из п. 2.5). сp" {z) = 0, 486 + 4, 374z. Поэтому < ^" (1) = 4, 46 и DX = 4, 86 + 2, 7- (2, 7)² = = 0, 27 (формула (2.22)).

Аналогично решаем во втором случае, когда вероятности при разных выстрелах различны (п. 1.20, пример 1.31). < p{z) = 0, 006 + 0, 0922 + + 0, 398-г² + 0, 504z³. ip'{z) = 0, 092 + 0, 796z + 1, 512^², у/(1) - 2, 4 - MX. ip" (_z) = 0, 796+ 3, 024z, = 3, 82. Поэтому DX = 3, 82 + 2, 4 - (2, 4)² = = 0, 46. •

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒