Условные законы распределения

Бели случайные величины X и У, образующие систему (X, У), за­висимы между собой, то для характеристики их зависимости вводится понятие условных законов распределения случайных величин. К| Условным законом распределения одной из случайных величин, вхо­

дящей в систему (X, У), называется ее закон распределения, найден­ный при условии, что другая случайная величина приняла определен­ное значение (или попала в какой-то интервал).

Пусть (X, У) — дискретная двумерная случайная величина и р_1Э — = Р{Х = х _г, У ~ у j}, 1 — 1, n, j = 1, m. В соответствии с определени-

Р(АВ)

ем условных вероятностей событий (напоминание: Р(В\А) = - ---,

Р(А)

п. 1.14), условная вероятность того, что случайная величина У при­мет значение у₃ при условии, что X = х_г определяется равенством

г — 1, 2,..., п\ ^ = 1, 2,..., га (3.15)

(или коротко: piy₃\x_t) =

Совокупность вероятностей (3.15), т.е. piy\\x_l), piy2\x_l),... ■ • - > р(Ут|^{; с}г)> представляет собой условный закон распределения случай­ной величины У при условии X — х_г. Сумма условных вероятностей piy₃\x_l) равна 1, действительно:

т т т

= £ ft, = йгЕЙ» = к: ^{= 1}

3-1 J⁼¹

т

(см. П. 3.1: p_Xl = У^Ргз)-

J=1

Плотность вероятности условного распределения (или условная плотность) случайной величины Y при условии X = х определяется равенством

Тй^Г ^ ------------ ' iW^⁰- (^ЗЛ7)

/л.,

Условная плотность обладает свойствами плотности распределения,

оо

так

J f(y\x)dy = l.

Аналогично определяется условная плотность распределения слу­чайной величины X при условии Y = у:

dx

! Ш = ^ = J^{x'^y), Л(») * о. (3.18)

J f(x, y)

Используя соотношения (3.17) и (3.18), можно записать

у) = Л(ж) ■ /(г/И = My) • /(®|у), (3.19)

т. е. совместная плотность распределения системы случайных величин равна произведению плотности одной составляющей на условную плот­ность другой составляющей при заданном значении первой.

Равенство (3.19) называют теоремой (правилом) умножения плотностей распределений (она аналогична теореме умножения ве­роятностей для событий, п. 1.15).

Пример 3.7. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотно­стью совместного распределения

\ — \^СхУ^ ^ПР^И (^х> У) ^е А

при (*, < /)£ А

где D — область на плоскости

 

Найти безусловное и условное распределение составляющей X. Убе­диться, что случайные величины X и У зависимы.

\ ]
1 \уу/ 1 Л67У 1 Y// 1 \Л 1 \
-2	N '

Рис. 43

 

О Область D изображена на рис. 43.

Сначала найдем коэффициент С из условия нормировки:

оо оо

J J f(x, y)dxdy = 1.

-ОО —OO

оо оо 0 2 0

J J f{x, y)dxdy - J dx J Cxydy ~ С J xdx ^y ^ =

-г -x -2

о

 

—2C.

 

-2

Поэтому С = — Теперь находим

 

oo 2 ₂

ЛИ =

J f(x, y)dyj =J dy =■ =

т.е. /i(x) — -(ж³ — 4ж), x £ (—2, 0) (контроль:

oo о

J fi(x) dx = J\(x³-4x)dx = \(^-2x²^

-oo —2

Для нахождения f(x\y) воспользуемся формулой (3.18), предваритель­но найдя /г(у):

4 '

о

о _уз

Ыу) =

-у

-у

у б (0, 2). Тогда f(x\y) = (контроль:

/(*, У)1 1„„.. У3 2х

= " ^У: \ = (Я, у)? D

/2(У) J

J f(x\y)dx = J (-^dx = -

2_зг 2 2

У -у

о

= -±(0-у²) = 1). -У у

 

Как видно, безусловный закон распределения случайной величины X (fi(x)) не совпадает с условным законом распределения случайной ве­личины X {f{x\y))\ случайные величины X и У —- зависимы. •

В случае произвольного типа случайных величин функция распре­деления F(x, y) системы зависимых случайных величин (X, Y) может быть записала в виде:

F(x, y) = Fi(x) ■ F₂(y\X < z) = F₂(y) • ВДУ < у),

где F₂(y\X < x) = P{Y < y\X < x} — условная функция распреде­ления случайной величины У при условии {X < ж}; Fi(x|y < у) = = Р{Х < х\У < у} — условная функция распределения случайной величины X при условии {У < у}.

Числовые характеристики двумерной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия

Для системы случайных величин также вводятся числовые харак­теристики, подобные тем, какие были для одной случайной величины. В качестве числовых характеристик системы (X, У) обычно рассмат­ривают моменты различных порядков (см. п. 2.5). На практике чаще всего используются моменты I и II порядков: математическое ожидание (м. о.), дисперсия и корреляционный момент. Математическое ожида­ние и дисперсия двумерной случайной величины служат соответствен­но средним значением и мерой рассеяния. Корреляционный момент вы­ражает меру взаимного влияния случайных величин, входящих в си­стему (X, У).

К] Математическим ожиданием двумерной с. в. (X, У) называется

совокупность двух м.о. MX и МУ, определяемых равенствами:

п т п т

MX = т_х = ^x*Pv> ^{MY = m}f ⁼ ЕЕ (³-²⁰)

если (Х, У) — дискретная система с. в. (здесь p_tj — Р{Х = Xi, Y = и

оо оо оо оо

МХ= J J xf{x, y)dxdy, MY = J I yf{x, y)dxdy, (3.21)

— oo —oo —oo —oo

если (X, У) — непрерывная система с. в. (здесь /(ж, у) — плотность распределения системы).

Дисперсией системы с. е. (Л", У) называется совокупность двух дисперсий DX и -ОУ, определяемых равенствами:

п т п т

DX = - m_x)²pi_h DY^Yl Sfe " ^my)²Piji (³-²²)

г—1 j=l j=l

если (X, У) — дискретная система с. в. и

оо оо оо оо

VX = J J (х -m_x)²f{x, y)dxdy, DY = J j (у - m_y)²f(x, y) dxdy,

—oo —oo —oo —oo

(3.23)

если (X, У) — непрерывная система с. в.

Дисперсии DX и DY характеризуют рассеяние (разброс) случай­ной точки (X, У) и в направлении осей Ох и Оу вокруг точки (т_х, т_у) на плоскости Оху — центра рассеяния.

Математические ожидания т_х и т_у являются частными случаями начального момента _s порядка k + s системы (X, У), определяемого равенством

a_kyS = M(X^kY^s);

т_х = М(Х^хУ⁰) = en, о и fTiy — М(Х°У! ) - а₀₎₁.

Дисперсии DX и 1> У являются частными случаями центрального.шшента /ifc_)S порядка k + s системы (X, У), определяемого равенством

ti_ki$ = M((X-m_x)^k(Y-m_yy);

DX = М(Х - т_х)² = /12, 0 и ЛУ = М(У - т_у)² = _Мо, 2-

Математическое ожидание с.в. с/? (Х, У), являющейся функцией компонент X и У двумерной с. в. (X, У) находится, аналогично, по фор­мулам:

оо оо

М(< р(Х, У)) = J J < p(x, y)f(x, y)dxdy (3.24)

для непрерывного случая и

7i т

М(< р(Х, У)) = Y, £ Vj)Pij (З-²⁵)

г—1 j=l

для дискретного случая.

Начальный момент II порядка «хд — MXY часто встречается в приложениях. Вычисляется по формуле

п т

MXY = (3.26)

Т=1 j = l

для дискретных с. в.

оо оо

MXY = J J xyf{x, y)dxdy (3.27)

для непрерывных с. в.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Абсолютизировало законы механики применительно к социальной философии философское направление: французского материализма XVIII века
2. Административно-рыночная экономика позднего СССР и обычное право — неписаные законы
3. Безусловные двигательные рефлексы.
4. Биоэлектрические явления в живых организмах. Законы раздражения.
5. Виды соединения потребителей. Законы Кирхгофа.
6. Влияние экологических факторов на организм. Законы минимума и максимума. Толерантность и экологическая пластичность вида
7. Вопрос 7 Кардиналистская (количественная) теория предельной полезности. Законы Госсена.
8. Выбор теоретического закона распределения износов.
9. Глава 10. ФУНКЦИИ И ЗАКОНЫ КРЕДИТА
10. Глава 15. Минимальные расчетные показатели распределения зон жилой застройки по видам жилой застройки
11. Глава 2 Условные предложения
12. Глава 2 УСЛОВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 73