Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства

Исчерпывающей характеристикой непрерывной двумерной случай­ной величины является плотность вероятности. Вводится это понятие аналогично тому, как это делалось при рассмотрении плотности рас­пределения вероятностей одной случайной величины (п. 2.4). Рч| Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее

функция распределения F(x, y) есть непрерывная функция, диффе­ренцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая смешанная производная F^_y(x, y). Р\| Плотностью распределения вероятностей (или совместной плот-

костью) непрерывной двумерной случайной величины (X, У) называ­ется вторая смешанная производная ее функции распределения.

Обозначается совместная плотность системы двух непрерывных случайных величин (X, Y) через f(x, y) (или р(х, у)). Таким образом, по определению

d²F(x, y) „

1(^Х'У) = ^ я.. =^Fxy(^Х'У)-

дх ду

Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной слу­чайной величины (X, Y) есть предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами Да; и Ау, примыкающий к точке (ж, у), к площади этого прямоуголь­ника, когда его размеры Ах и Ау стремятся к нулю (рис. 41).

(3.6)

У

у + Ду

 

+ & х *

Рис. 41

Действительно, используя формулу (3.6), получаем: средняя плот­ность вероятности в данном прямоугольнике равна

 

Р{х ^Х < х +A x, y^Y< y + Ay}

Ах ■ Ay

aV (

F(x + Ax, у + Ay) - F{x, у + Ду) F(x + Дя, у) - F(

Ax Ax

Переходя к пределу при Ах -> 0 и Ау —> 0, получаем

Ay

F'(x, y + Ay)-F'{x, y)

lim /_Ср = bm Да? -> 0 Aj/—> 0

/ср —

Ду-»0

 

т.е. f{x, у) = №(х, у))'_у = FZ_y(x, y).

(3.7)

По аналогии с плотностью вероятности одномерной непрерывной случайной величины, для двумерной случайной величины (X, Y) плот­ность вероятности определяется как функция f(x, y), удовлетворяю­щая условию

Р{х ^ X < х + dx, y ^Y < у + dy} « f[x, у) dxdy\

выражение f(x, y)dxdy называется элементом вероятности двумер­ной случайной величины {X, Y).

Геометрически плотность распределения вероятностей f(x, y) си­стемы двух случайных величин (X, У) представляет собой некоторую поверхность, называемую поверхностью распределения (рис. 42).

 

Плотность распределения / ( х, у) обладает следующими

свойствами:

1. Плотность распределения двумерной случайной величины неотри­цательна, т. е.

f(x, y)> 0.

2. Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D равна двойному интегралу от плотности по области D, т. е.

Р{(Х, У) е D} = IJ f{x, у) dxdy. (3.8)

D

3. Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность распределения по формуле:

X у

Fix, y)= J J fxyMdudv. (3.9)

—оо —оо

4. Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконеч­ных пределах от плотности вероятности двумерной с. в. равен еди­нице, т. е.

оо оо

f{x, y)dxdy = 1.

—оо —оо

5. Плотности распределения одномерных составляющих X и У могут быть найдены по формулам:

-f оо +оо

J f(x, y)dy = f_l(x) = f_x(x), j f(x, y)dx = f₂{y) = fy(y). (3.10)

□ 1. Следует из того, что F(x, у) есть неубывающая функция по каж­дому из аргументов.

2. Элемент вероятности f(x, y)dxdy (см. (3.7)) представляет собой вероятность попадания случайной точки (X, У) в прямоугольник со сторонами dx и dy (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению с произведением dxdy). Разбив область D на пря­моугольники и применив к каждому из них равенство (3.7), получаем, по теореме сложения вероятностей, при стремлении к нулю площадей прямоугольников (т. е. dx —У 0 и dy —У 0), формулу (3.8). Геометрически эта вероятность изображается объемом цилиндрического тела, ограни­ченного сверху поверхностью распределения f(x, y) и опирающегося на область D.

3. Выражение функции распределения F(x, y) системы случайных величин {X, У) через плотность f(x, у) получим, используя форму­лу (3.8) (область D есть прямоугольник, ограниченный абсциссами —оо, х и ординатами — оо, у):

F(x, y) = Р{Х < x, Y < у} = Р{~оо < X < х, -оо < У < у} =

a

х у

- J J f(x, y)dxdy.

4. Положив в формуле (3.9) х = у = +оо и учитывая, что F(+oo, -Ьоо) = 1, получим

оо оо

F(+oo, +oo)= J J f{x, y)dxdy = 1.

— oo —oo

Геометрически свойство 4 означает, что объем тела, ограниченного по­верхностью распределения и плоскостью Оху, равен единице.

5. Найдем сначала функции распределения (зная совместную плот­ность двумерной случайной величины (X, У)), составляющих X и У:

х +оо

Fi{x) = F(z, +oo) - J J f(x, у) dxdy,

+ 00 у

F₂{y)-F{+oo, y) = J J f{x, y)dxdy,

-оо —00

т. е.

х / +оо \ у / +00 \

Fi(xJ I J f(x, y)dy}dx, F₂(? /)= J [ J f(x, y)dx J dy.

-oo Voo / — OO Voo /

(3.11)

Дифференцируя первое равенство по x, а второе по у, получим плот­ности распределения случайных величин X и У:

/! (*)= (я) = J f(x, y)dy —00

и

оо

Л(у)=^Ы= J f(x, y)dx. — 00

Отметим, что решение обратной задачи (восстановить закон распреде­ления системы (X, У) по известным законам распределения составля­ющих системы) в общем случае невозможно. I

Пример 3.4. Двумерная случайная величина (X, У) задана плотно­стью распределения вероятностей /(х, у) = ----------------------------------------------------------------------- г—----- г-. Найти:

(1 + х^г)(1 +у^г)

оо оо //

1) А\ 2) F(x, y); 3) Р{Х < 1, У < 1}; 4) Ш и /₂(у).

О 1) Постоянную А найдем, используя условие нормировки:

dxdy = 1,

(1+^)(1 + у*)

— СО —00

оо оо

А [ ^ /-^ = 1, У 1 + a: ² J 1 + у²

У

—оо

+оо

• arctg у

+оо = 1, —оо

Л ■ arctg а:

—оо Л. 7Г² = 1.

2) Используя формулу (3.9), находим:

^{J? (}-»⁾ " /(/? ■ Т^) ТТ? - i ⁺*) -^arctgyL⁼

—оо Voo /

= ж + i) arctg у +.

3) < 1, У < 1} = F(l, l) = + (И4) - £ (использовали формулу (3, 2), можно воспользоваться формулой (3.8)).

4) По формуле (ЗЛО) получаем:

оо

dy 1 ¹⁰⁰

arctg у

(X + ж^[4])(1 + у²) тг²(1 + _Ж²)

₌ 1 /тг, тг\ ₌ 1

■ 2 И _{+: с}2_} * 2) тг(1 + Ж²) '

7Г (1 3J )

оо

Му) = J 4 - - ¹

„² (1 + х²)(1_+г/²) •• 7г(1+у²)'

—оо

Упражнения

1. Двумерная случайная величина (X, У) задана совместной плотно­стью распределения

fix у) = {^Ае~^Х~^У1 яри ж ^ 0, у > О,

\0, в противном случае.

Найти: 1) коэффициент А\ 2) Г_Х)у(х, у»); 3) ^лг(ж) и Fy(y); 4)

и /у(у); 5) Р{Х> 0, У< 1}.

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для I стрел­ка равна 0, 4, для II — 0, 6. Оба стрелка, независимо друг от дру­га, делают по два выстрела в цель. Найти: 1) закон распределе­ния случайных величин X и У; 2) совместный закон распределе­ния системы случайных величин (X, Y); 3) функцию распределе­ния Fx_fY(^x, y)> если случайная величина X — число попаданий I стрелка, случайная величина Y — II стрелка.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. AVC достигают макс. величины при этом объеме
2. E) Прямую зависимость величины предложения от цены товара
3. Величины припусков на швы, предусматриваемые при раскрое одежды (в соответствии с ОСТ 17—835—80)
4. Володин И.Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. - Казань: (Издательство), 2006. - 271с.
5. Временные ряды с использованием процесса скользящего среднего могут иметь место, когда уровни динамического ряда характеризуются случайной колеблемостью.
6. Выбор теоретического закона распределения износов.
7. Глава 15. Минимальные расчетные показатели распределения зон жилой застройки по видам жилой застройки
8. Денежные потоки в виде серии платежей произвольной величины
9. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
10. Дополнительное изменение измеряемой величины
11. ЗАТРАТЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ: ОБЩИЕ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
12. Изменение величины оценочных обязательств