Проверка гипотез о законе распределения

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайно вели­чины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, биномиальный или какой-либо дру­гой.

Пусть необходимо проверить гипотезу Hq о том, что с. в. X под­чиняется определенному закону распределения, заданному функцией распределения Fq(x), т. е. Hq: Fx{x) — Fq(х). Под альтернативной гипо­тезой Hi будем понимать в данном случае то, что просто не выполнена основная (т.е. Н\: Fx{%) ф Fq(x)).

Для проверки гипотезы о распределении случайной величины X проведем выборку, которую оформим в виде статистического ряда:

Xi	XI	XI		Хщ
щ	п 1	П2		Т1т

 

т

где ^ щ = п — объем выборки.

г=1

Требуется сделать заключение: согласуются ли результаты наблю­дений с высказанным предположением. Для этого используем специ­ально подобранную величину — критерий согласия.

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. (Он используется для проверки согласия предполагаемого вида распреде­ления с опытными данными на основании выборки.)

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера, Смирнова и др.

Критерий согласия Пирсона — наиболее часто употребляемый кри­терий для проверки простой гипотезы о законе распределения.

Критерий х² Пирсона

Для проверки гипотезы Но поступают следующим образом.

(7.12)

Разбивают всю область значений с. в. X на т интервалов Ai, Д2,..., Д_т и подсчитывают вероятности pi (г — 1, 2,..., т) попа­дания с. в. X (т.е. наблюдения) в интервал Д^, используя формулу Р{а ^ X ^ р} = Fo{/3) — Fo(at). Тогда теоретическое число значений с. в. X, попавших в интервал Д*, можно рассчитать по формуле п ■ р{. Таким образом, имеем статистический ряд распределения с. в. X (7.11) и теоретический ряд распределения:

Ai	д2		Am
Tb[ = npi	п'2 = пр2		пт = пРт

 

Если эмпирические частоты (щ) сильно отличаются от теоретиче­ских (npi = nj), то проверяемую гипотезу Hq следует отвергнуть; в противном случае — принять.

(7.11)

Каким критерием, характеризующим степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, следует воспользовать­ся? В качестве меры расхождения между щ и npi для i = 1, 2,..., т

К. Пирсон (1857-1936; англ. математик, статик, биолог, философ) пред­ложил величину («критерий Пирсона»):

m, ч о ^т 2

₂ ^ [Щ - ПРгУ ^ Щ

* =1.—Wi— = 1.т-^п' ^(7ЛЗ)

t=l

Согласно теореме Пирсона, при п —> оо статистика (7.13) имеет х^2_ распределение ск — т — г — 1 степенями свободы, где т — число групп (интервалов) выборки, г — число параметров предполагаемого распре­деления. В частности, если предполагаемое распределение нормально, то оценивают два параметра (аист), поэтому число степеней свободы к = т — 3.

Правило применения критерия х² сводится к следующему:

1. По формуле (7.13) вычисляют х²_абл — выборочное значение стати­стики критерия.

2. Выбрав уровень значимости а критерия, по таблице х^2_распреде­ления находим критическую точку (квантиль) Ха, к*

3. Если Хнабл ^ Xa, fc' ^то гипотеза Щ не противоречит опытным дан­ным; если Хнабл ^ X²*> ^то гипотеза отвергается. Необходимым условием применения критерия Пирсона является

наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений (т. е. щ ^ 5). Если в отдельных интервалах их меньше, то число интервалов надо уменьшить путем объединения (укрупнения) соседних интервалов.

Пример 7.8. Измерены 100 обработанных деталей; отклонения от за­данного размера приведены в таблице:

[Яч, ^i+l)	[-3, -2)	[-2, -1)	[-1, 0)	[0, 1)	[1, 2)	[2, 3)	[3, 4)	К, 5)
Щ

 

Проверить при уровне значимости а. — 0, 01 гипотезу Но о том, что отклонения от проектного размера подчиняются нормальному закону распределения.

О Число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, поэтому объ­единим их с соседними. Получим следующий ряд распределения (п - = 100):

	[-3, -1)	[-1, 0)	[0, 1)	[1, 2)	[2, 3)	[3, 5)
щ

 

Случайную величину — отклонение — обозначим через X. Для вычи­сления вероятностей pi необходимо вычислить параметры, определя­ющие нормальный закон распределения (а и а). Их оценки вычислим
по выборке: х = щ • (-2 • 13 + (-0, 5) • 15 +... + 4 • 10) = 0, 885 « 0, 9, D_B = 13 + 0, 25-15 +... +16-10)-(0, 885)² и 2, 809, сг « 1, 676 и 1, 7.

Находим р_г (i = 1, 6). Так как с. в. X ~ N{a, o) определена на (—оо, оо), то крайние интервалы в ряде распределения заменяем, соот­ветственно, на (—оо, —1) и (3, +оо). Тогда р\ = р{—оо < X < —1} =

~¹1~7° ⁹) ^фо(~°о) = ± - Ф₀(1, 12) = 0, 1314. Аналогично получаем: р₂ = 0, 1667, рз = 0, 2258, р₄ = 0, 2183, р₅ = 0, 1503, р_б = = р{3 ^ X < оо} = Ф₀(оо) - Ф₀ = - Ф₀(1, 24) - 0, 1075.

6 2 П7

Хна& л ^ у

npi

t=l

Критерий Колмогорова Критерий Колмогорова для простой гипотезы является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения F^(x) с функци­ей распределения F(x) непрерывной случайной величины X.

Полученные результаты приведем в следующей таблице:

[Xi, Xi+1)	(-оо, -1)	[-1, 0)	[0, 1)	[1, 2)	[2, 3)	[3, оо)
щ
п' = прг	13, 14	16, 67	22, 58	21, 83	15, 03	10, 75

 

Вычисляем Хнабл^: п =

⁼ (щ4 ⁺ I& ⁺ " • ⁺ iS) ~ ¹⁰⁰ ^ ¹⁰¹'⁰⁴⁵ " ^1Щ

^{т е}- *набл ~ ^! '⁰⁴⁵-

Находим число степеней свободы; по выборке рассчитаны два па­раметра, значит, г = 2. Количество интервалов 6, т. е. т — 6. Следо­вательно, А; ~б — 2 — X = 3. Зная, что а — 0, 01 и к = 3, по таблице х²-распределения находим xi, k ^{= 11}»³- ^Итак> Хнабл < следова­

тельно, нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу. •

Пусть xi, x2i..., х_п — конкретная выборка из распределения с не­известной непрерывной функцией распределения F(rc) и F* (х) — эмпи­рическая функция распределения. Выдвигается простая гипотеза Но: F(x) = F₀(; r) (альтернативная Ну. F(x) Ф Fq(x), х е К).

Сущность критерия Колмогорова состоит в том, что вводят в рас­смотрение функцию

D_n = max \FZ(x) - F₀(x)\, (7.14)

—oo< a: < oo

называемой статистикой Колмогорова, представляющей собой мак­симальное отклонение эмпирической функции распределения F*(x) от гипотетической (т. е. соответствующей теоретической) функции распре­деления Fo(x).

Колмогоров доказал, что при п оо закон распределения слу­чайной величины у/п • D_n независимо от вида распределения с. в. X стремится к закону распределения Колмогорова'.

P{y/n-D_n < х} К(х),

где К(х) — функция распределения Колмогорова, для которой соста­влена таблица, ее можно использовать для расчетов уже при n ^ 20:

а	од	0, 05	0, 02	0, 01	0, 001
Хо	1, 224	1, 358	1, 520	1, 627	1, 950

 

Найдем Do такое, что P{D_n > Z? o) = а.

Рассмотрим уравнение К{х) — 1 —а. С помощью функции Колмого­рова найдем корень а? о этого уравнения. Тогда по теореме Колмогорова, Р{у/п • D_n < хо} = 1 - а, Р{у/п • D_n > жо} = а, откуда Д> =

у/п

Если D_n < Do, то гипотезу Hq нет оснований отвергать; в против­ном случае — ее отвергают.

Пример 7.9. Монету бросали 4040 раз (Бюффон). Получили щ = 2048 выпадений герба и п₂ = 1992 выпадений решки. Проверить, используя а) критерий Колмогорова; б) критерий Пирсона, согласуются ли эти данные с гипотезой Но о симметричности монеты (а — 0, 05).

О Случайная величина X принимает два значения: х\ = — 1 (решка) и х₂ = 1 (герб). Гипотеза Но: Р{х — —1} = Р{х = 1} =

а) По таблице распределения Колмогорова находим корень урав-

Хо

нения К(х) = 1 — а при а ~ 0, 05. Следует — 1, 358. Тогда Do = -— =

у/п

= ^L » 0, 021.

у/Шо

Для нахождения по выборке D_n строим функции Fq(x) и F*(x) и вычисляем величину D_n — max |F*(a; ) ~ jPq(^)|.

 

	решка x\ ----- —1	герб X2 — 1
Pi	0, 5	0, 5

 

 

Xi	решка X\ = —1	герб x2 — 1
Щ
pi	~ 0, 493	~ 0, 507

 

0, при х ^ — 1, Fo(x) = ^ 0, 5, при - 1 < х < 1,

1, при 1 < х.

0, при х ^ —1, •FnfaO = \ 0)493, при - 1 < х ^ 1,

1, при 1 < X.

 

Максимальное отклонение Fq (re) от F* (х) равно 0, 007, т. е. D_n = = 0, 007. Поскольку D_n < Z> o, то нет оснований отвергать гипотезу Hq\ опытные данные согласуются с гипотезой Hq о симметричности монеты.

б) Вычисляем статистику х^2;

 

2048'

Хнабл ^ ^

- 4040 - 0, 776.

+

| •4040

² _п = ¹⁹⁹²² .₌₁ ± ■ 4040

 

По таблице х^^_ Р^аспР^еД^еления находим критическую точку Ха, к ~

= X0, 05; i — 3, 8. Так как Хнабл < Хо, 05; 1> ^то опытные данные согласуются с гипотезой о симметричности монеты. •

Упражнения

1. Распределение признака X (случайной величины X) в выборке за­дано следующей таблицей:

Xi— 1	0-0, 1	0, 1-0, 2	0, 2 - 0, 3	0, 3 - 0, 4	0, 4 - 0, 5
Щ
Xi	0, 5-0, 6	0, 6 - 0, 7	0, 7-0, 8	0, 8 - 0, 9	0, 9 - 1, 0
Tli

 

При уровне значимости а = 0, 01 проверить гипотезу До, состоящую в том, что с. в. X имеет равномерное распределение на отрезке (0, 1] (вероятности pi определяются формулами р_г — hi (i = 1, 2,..., к),

где hi — длина г-го отрезка [xi-i, Xi] ~ — )•

2. Результаты наблюдений над с. в. X (рост мужчины) представлены в виде статистического ряда:

Л" (рост)	[150 - 155)	[155 - 160)	[160 - 165)	[165 - 170)
щ (частота)
Х(рост)	[170 - 175)	[175 - 180)	[180 - 185)	[185 - 190)
щ (частота)

 

Проверить при уровне значимости а = 0, 05 гипотезу Но о том, что с. в. X подчиняется нормальному закону распределения, используя критерий согласия Пирсона.

3. По данным упражнения 2 проверить гипотезу о нормальном рас­пределении с. в. X, используя критерий Колмогорова.

Ответы к упражнениям

Раздел первый Глава 1

1.3

 

1) в = в ' п = в {а + Л) = а • в + а • в; 2) (Л + С) - (В + с) = = ЛВ+ЛС+ВС+С = ЛВ+ЛС+С = Л^В+С; 3)_Пусть ги? Л 4- В

+ т. е. Л + 5СЛ-5.

Аналогично убеждаемся, что + + Л =

а) ABC; б) ЛВС; в)_Л+В+С; г) Л-В-С; д) ЛВС; е) Л^С+ЛВС+ХВС; ж) ЛВС = Л + В + С. Л1Л₂(Л₃ + Л₄ + Л₅)Л₆.

 

11.7

 

Из 90 двузначных чисел 9 имеют одинаковые цифры, т. е. п — 90, га =

= 90 — 9 = 81. Следовательно, р = ^ = 0, 9. р = 0, 01, так как m = 1, п = 10 • 10 = 100.

.8

 

5-4-3 = 60; 5-4-3 + 5- 4- 3-2 + 5- 4- 3- 2-1 = 300. 12 + 15 -f 7 — 34. 10 • 9 ■ 8 • 7 = 5040. (10 - 9 • 8)² = 72О² = 518400 или Л? ₀ 9⁴ - 6561.

Л?

ю-

= 12-11-10-9 = 11880. А\₀ = 720. А\'А\-А1 = 120. Р₅ • Р₃ = 720; Р₇ ~ 720 = 4320.

Рис. 66

 

2.112-7-16; 2520 — ■ Cf₆.

3. а) С| = 56; б) С\₂ ■ С$ = 6160.

4. С? ₆ • С? ■ С? или ^ = 135135.

5. А⁷2 = 2⁷ = 128 или 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2.

6. б³ = 216. Это 234, 666, 165, ....

7. А\ = 4⁶ = 4096.

8. = Сд = Cg - ItI"! = 21-4 = 84.

9. Cg = Cf₀ — ⁼ 45.

20. С⁴ = C₆⁴ = Cf = 15, 15 • P₄ = 360.

²¹-^{a) 4! = 24; 6)} ^rfhrrr = ³³⁶°-

²²' 2! • 3! - 4! " ¹²⁶°'

²³' 91^3! = ^{400400 =} " '

1.9

1. п = Л| = 8⁴ = 4096 a)m = 8- 7- 6- 5 = 1680, _Pl = « 0, 41; 6) m = 8,

^{P2 =} Шб ~ °'°^{0195; B) m = h П} = 1Ш ~ °⁰⁰²⁴-

2. n = C|_e, m =C2-C|, p=-^-ⁱ« 0, 000064.

C36

3.n = 7\, m = 6! -2, p=^ = |«0, 29.

4. _n = 5! - 120, т = 2- 2-1-1; р = ^ = 0, 033....

5. a) p = ^ « 0, 573; б) p = * 0, 36.

6. a) p = = A » o, 08; 6) p = ^ « 0, 408.

7. Группа из 5 команд может быть выбрана Сf₀ способами (вторая группа образуется автоматически), т.е. п — Cf_Q. В первую группу попадет ли­бо один лидер, либо два. Стало быть, m = С\ • С⁴ + С| • С|. Поэтому

10. = 4! = 24 (один сел где угодно). 11.3-2-8! = 241920.

р = ' ⁺₅ ' ^С' » 0, 833. Сю

С1 г> 2 г1 о о р _ 4 ' °32, " О* 8. р _ —^---------------------- + °36

^36

0, 21. Воспользовались свойством: Р{А + В)

= Р(Л) + АВ = 0. Здесь Л = одна дама, В = две дамы.

 

1.10

1. Сторона треугольника равна Ryfb. Значит, р = ^ = ^ R? ⁼ ss 0, 41. ° ^

2. р = ~ = 0, 32.

0, 25.

1.

2.

3. Обозначим длину I отрезка через ж, И — через у, тогда III отрезок имес длину I — х — у. fi = {{х, у}: 0 < х 4- у < Z}, т. е. 0 < х + у < I — вс возможные комбинации длин частей отрезка. Чтобы из них можно был составить треугольник, необходимо выполнение условий: х + у > I — х — i х + I - х - у > у, у + I - х - у > х, т.е. х < ^ у < х + у > Эт неравенства определяют область, заштрихованную на рис. 67.

Рис. 67

 

Имеем: Р =

1.15

Да. О = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, А = {2, 4, 6}, Б = {4, 5, 6}. Ясно, что Р(А) = | = ^ Р(Я) = I а Р(ЛВ) = | = i т.е. - | ^ • Р(В) = \ ■ ± =

а) А\ — первая буква Т, Л₂ — вторая буква И, ..., А5 — пятая букв. И. Вероятность события А — получится слово ТИСКИ, равна Р(А) = = P(AIA₂A₃A₄A₅) = _{00004; б) Qi так каж рторо|}

буквы К в слове СТАТИСТИКА нет; в) р = ^ • | • | = _ш

q_t ~ 0, 2 — вероятность отказа г-го элемента, р_г = 0, 8 — вероятность ег< исправной работы. Цепь последовательно соединенных элементов 1-2-,

0, 008

будет работать, если исправны все три элемента: р\2Ъ = P\'P2'Pz — 0, 8³ = = 0, 512. Цепь параллельно соединенных элементов 5-6 отказов, только в случае отказа обоих элементов q^ = < 7.5 < 7б ~ 0, 2² = 0, 04, а вероятность ее исправной работы равна = 1 — q^ = 0, 96, Р456 = Р4 ■ Р56 — 0, 8 • 0, 96 = = 0, 768; Р123456 == 1 - 9123 • 2456 = 1 - (1 - 0, 512) • (1 - 0, 768) « 0, 887; Ротк = 1 -Р123456 -Р7 « 1 - 0, 887. 0, 8 « 0, 291.

1.16

1. А — первый шар белый, В второй шар черный. Тогда АВ + АВ — оба

шара разных цветов. Р(АВ + АВ) =? + = 0, 39.

У о У о IL 1о

2. а) А\ — попадание первого орудия, А₂ — второго, Аз — третьего. Значит,

ABC 4- ABC + ABC = D — попадание только одного из них. P(D) = = 0, 7-0, 3-0, 3-3 = 0, 189; б) S - A₁A₂A_s — три промаха. P(S) = 0, 3-0, 3-0, 3 = = 0, 027. Значит, P(S) = Р{А_Г + А₂ + А₃) = 1 - P{S) = 1 - 0, 027 = 0, 973.

3. Вероятность выхода из строя всех п приборов равна

(1 - 0, 7) • (1 - 0, 7) •... - (1 - 0, 7) = 0, 3^П.

^i...... ^.и,....I. I.к...... ✓

л

Следовательно, вероятность безотказной работы равна 1 — 0, 3^П. По усло­вию 1 - 0, 3ⁿ ^ 0, 95. Отсюда 0, 3^П < 0, 05, п In 0, 3 ^ In 0, 05,

In 0, 05: In 0, 3 «2, 488,

т.е. п^ 3. 1.18

1.А — вышла из строя одна микросхема, Hq — отказали обе, Hi — отка­зала первая микросхема, if2 — отказала вторая^ — обе не отказали.

Тогда Р{Н₀) = 0, 07 • 0, 1 = 0, 007, Р(Н{) = 0, 063, Р{Н₂) = 0, 093, Р{Щ) = з

= 0, 837 (Контроль: £ Р(Н_г) = 1). Р(А\Щ) = 0, P(A\H_t) = 1, Р{А\Н₂) = = 1, Р(А|Я₃) = 0. Значит, Р(А) = 0, 156 и Р{Н_Х\А) = 0, 404.

on о

2.Ai — студент П сдаст экзамен, если зайдет первым, P(Ai) = ~ = А₂ — студент П сдаст экзамен, если зайдет вторым, Р{А₂) =? Введем гипотезы: Hi — первый студент вытащил билет, который знает студент П, Н₂ — первый студент вытащил билет, который не знает студент П.

= I =! • = 1 = I (I + I = l). Далее: Р(А*\Н_Х) = f,

Р(Л₂|Я₂) = §. Значит, Р(Л₂) = | ■ || + i ■ || = Все равно.

3. Пусть А — изделие пройдет контроль, Н\ — взятое изделие стандар'

но, Я₂ — не стандартно. P(#i) = 0, 9; Р(Я₂) - ОД; P(A|#i) = 0, 91

Р{А\Н₂) = 0, 06. Следовательно, а) Р(А) = 0, 9 • 0, 96 + ОД • 0, 06 = 0, 8'

0 0 ■ 0 96 б) 0, 993.

1.20

1.а) Р₁₀(4) = Cf₀ • (i)⁴ • (i)⁶ « 0, 21; б) Р₁₀(0) = Q)*⁰ и 0, 00098; в) р = P_l0{ 1) + Рю(2) +... + Рю(10) = 1 - Рю(0) « 0, 999.

2.

Следует, что Р₄(2) > Рв(3), т.е. 2 из 4.

3.а) Р₃(3) - С| • 0, 51³ • 0, 49° « 0, 133, б) Р₃(1) = - 0, 51 • 0, 49² 0, 368.

4.Спички брались 2-10 — 6 = 14 раз, из них 10 раз из коробки, котора оказалась пустой. Имеем 10 «успехов» в 14 «испытаниях», т.е. Pi4(10) -

1.21

1.р = 1: 365 w 0, 0027, п = 84, а ъ 0, 23. По формуле Пуассона Р₈4(2) « ^{0, 232} ^^{, 7945} и 0, 021. (е~⁰'²³ » 0, 7945).

2.п = 200, р = 0, 02. Значит, а — [пр] = 4. Искомая вероятность:

Р₂оо(0) + Р₂₀о(1) = + ^ » 0, 09.

3.Здесь п = 100, т = 60, р = q — Используем локальную теорему Муав

ра-Лапласа: ж = 60 - 100 • 0, 5_ ₌ Рюо(60) = \ц> (2) = 0, 2-0, 054 я

^У V100 • 0, 5 • 0, 5 ^{V }} $ ^{К 1}

^ 0, 0108.

4.Р8оо(т, 800) = 0, 95. Используем интегральную теорему Myавра-Лапласа

^{= т} " у^^, х₂ = 29. Значит,

Ф₀Ы = 0, 5; 0, 5-Ф₀ (³⁸⁸₁~^т) =0, 95. Откуда Ф₀ (³⁸⁸_Х4 ^W) = 0, 45, ³⁸⁸ц ^т = 1, 65. Значит, т = 365.

Глава 2 2.2

1.Возможные значения с. в. X есть 0, 1, 2, 3, 4. Их вероятности равны со­ответственно: _Р1 = р{х = о} = с₄° • Q)⁰ • (±)⁴ = А, _{Р2 =} = 1} =

2.Пусть Ai — первый студент сдает экзамен, А₂ — второй сдает экзамен. С.в. X принимает три значения: 0, 1, 2. a) pi = Р{Х ~ 0} = Р(А\А2) = = 0, 4 • 0, 1 = 0, 04; р₂ = Р{Х = 1} = Р{А_хА₂ + А_хА₂) = 0, 6 • 0, 1 + 0, 4 • 0, 9 = = 0, 42; рз = Р{Х = 2} = Р(А_ХА₂) = 0, 6 ■ 0, 9 = 0, 54 = 1); б) р_х = = Р{Х ~ 0} - Р(А__ХА_ХА₂А₂) = 0, 4 0, 4-0, 1 • 0, 1 = 0, 0016; р₂ = Р{Х = 1} = = Р(А_хА₂А₂ + AiA_xA₂ + А₁А₂А₁А₂ + А_хА_хА₂А₂) =... = 0, 1668;

рз = Р{Х = 2} = P(AiA₂ + AiA₂A₂ + А_хА_хА₂ + AiA₂AiA₂) =

= 0, 6 • 0, 9 + 0, 6 ■ 0, 1 ■ 0, 9 + 0, 4 • 0, 6 • 0, 9 + 0, 4 ■ 0, 1 • 0, 6 • 0, 9 = 0, 8316

(Eft = i).

»=1

2.3

А_х — попадание I стрелка, А₂ — II. Тогда Р{Х = xi} = Р{Х — 0} = = Р{А_хА₂) = 0, 08, Р{Х = х₂} = Р{Х = 1} - P(AiA₂ + А_хА₂) = 0, 44, Р{Х = 2} = 0, 48.

ГО,

F(x) — i O5O8, 0 < х ^ 1; ^w | 0, 52, 1 < х < 2; [l, 2< х.

F(x) удовлетворяет свойствам функции распределения;

Р{0 < ж < 1} = F( 1) - F(0) = 1 - е" ¹ = 1 - \ » 0, 632.

Р{Х е (0, 1)} - F(l) - Р(0) - Значит, Р₄(3) = С₄³ • (±)³ • = 0, 25.

2.4

1. F(2) = 1. Значит,

( 2(х + 1) ^

⁹ [О, 2].

2. 5_Д = ± • = 1. Значит, ОМ = Л = 4. Уравнение MJV: | = f—т.<

2 ^{_ 0}

у = —8а; -f- 4. Стало быть,

^f{x) = < , ) U

= / 0 oft = 0;

О, xi (0; ±j;

если х ^ 0, то

X

F(x)= J

если 0 < х ^ то

0 х

F(s) = J Qdt + J {-St + 4 )dt = -4x² 4- 4z;

-oo О

если x > то

= J 0dt +J(-8t + 4)dt +J 0dt = l,

-oo 0 1

таким образом

0, я О,

i? (ar) = J ~4х² + 4х, 0 < х ^

1,

? = J(-8х + 4)dx + JOdx = I.

l l 4 2

oo

3. а) нет, так как /(x) ^ 0 при x £ f-oo, 0); б) да, f(x) > 0, J f(x)dx = 1

—oo

00 0 2 oo

г о = 1, a - Есл: О о

в) J f{x)dx= J Odx +J ax²dx +J Odx = 1, т. e.

-oo -oo 0 2

3 4

a = q, то /(ж) — плотность распределения; а ф f — нет. о о

2.5

Учитывать результаты примера примера 1.31 (п. 1.20) в первом случае имеем: MX = 0 • 0, 001 + 1 • 0, 027 + 2 • 0, 243 + 3 • 0, 729 = 2, 7; во втором случае: MX = 0 • 0, 006 + 1 • 0, 092 + 2 • 0, 398 + 3 • 0, 504 - 2, 4.

ОО 0 7Г ОО 7Г

MX = xj(x) dxj = J x-Odx+J ^xsmxdx+Jx-Odx = ^ Jxsinxdx =

— oo — OO О 7Г 0

— ZL 2'

3. Согласно свойствам м. о. и дисперсии, имеем MZ = М(5Х — ЗУ + 2) = = М5Х - МЗУ + М2 - 5M.Y - ЗМУ + 2 = 5-2-3- (-3) + 2 = 21 иDZ = D(bX ~ ЗУ + 2) = Я5Х + D(-ZY) + D2 = 25£ > Х + 9/? У + 0 = -25-2 + 9-9 = 131.

ОО 0 1Г оо

4.= ^J x²f(x)dx-{MX)² = j x²-0dx + J x²-±sinxdx +J x²-0dx-

— OO —OO 0 7Г

n

— = ^ J x² s'mxdx ~ = x² cosx ^+2 ^xsinx|_o + cosx|_ojj -

5. Если x Л, то F(x) 0, lim 0, 25x² = 0, т.е. 0, 25Л² = 0, A = 0;

^V ' x-tA+0

lim 0, 25x² = 1, т.е. 0, 25B² = 1, В = 2. Поэтому

x-tB

Г0, при x ^ 0,

j? (x) = < 0, 25x², при 0 < x < 2, [ 1, при 2 < x.

Тогда

, _ Г0, при х ^ 0 и х > 2, 7 w — |о, 5х, при 0 < х < 2.

Поэтому

2 2 MX = J X • 0, 5xdx = 4/3, DX - J X² ■ 0, 5xdx - = |. о о

Значит, ax —

⁶- = = йХ> = + » + + = n

^ ' i=l i=l _n

_ 2 cr2

 

(П v. / ^П \ ^{П П}

_n na = a;

2.7

1. Р{-3 < X < 5} = Ф₀ - Фо = Фо(1) + Фо(3) = О,

Р{Х < 4} - Р{-оо < X < 4} = Ф₀ - Фо (~°°₂~³) = Ф_о(0, 5)

+ Фо(оо) = 0, 19146 + 0, 5 = 0, 69146; Р{\Х - 3| < 6} = Р{\Х - 3| < 3 • 2} = 2Фо(3) = 0, 9973.

2. По условию а = 0, < 7 = 1 а) Р{Х < Е (1, 3)} = Ф₀ (^у^) (^у^)

= Ф₀(3) - Ф₀(1) = 0, 49865 - 0, 34134 = 0, 1573; б) 2Ф₀ = 0, 8926, отсну

Фо (0 = 0, 4463. По таблицам находим, I = 1, 62, и интервал имеет в* (-1, 62; 1, 62); в) М₀Х = 0\ М_е = 0.

3. Коэффициент асимметрии А нормального распределения равен 0 {А — 0 так как кривая Гаусса симметрична относительно прямой х = а, проход: щей через центр распределения а. Найдем (аналитически) коэффициеь эксцесса, т. е. Е = ~ — 3. Сначала найдем /х₄:

 

и = х³

dv — хе 2< г² dx

= —Lf-sVe" ^ оу2тг \

+3(7'

(-

хе 2о-2 а2

/ е dx =

0 + 3 а'

(Т\/27Г \

оо

J х²е 2а² dx^j

-оо

оо /

du = Зж2 dx

е 2 о-2 dx =

/i4 =

X

-л/2тг

v = —а2е 2сг2

оо ₀ /

—оо

⁰⁰ /д. \ ²

V2cr

= —(зсг² ^0 + ctW2 J d

 

Стало быть: Е = - 3 3-3

< 7

= = За

СГ1/27Г

Глава 3

3.3

оо оо оо оо оо

1.1) J J f{x, y)dxdy = 1. Поэтому A J J е~^х~^у dxdy = A J е~^х dxx

-оо -оо 0 0 0

оо оо оо

х J е~^у dy = A J е~^х dx = A j е~^х dx = А = 1. 2) F(x, y) =

0 0 о

х у х у х

⁼ / / ^e~^U~^{Vdudv =} / ^e~^Udu / ^e~" ^{dv =} / ^e~^U (^_е~1о) ⁼ ~ 0 0 0 0 о

X

х J е~^и du = (1 - е^-аг)(1 - е^_г/) при ж ^ 0, у ^ 0, т. е. о

0,

' (1 - е~*)(1 - при х > 0, у ^ О,

Fx, У -

в противном случае.

 

X ОО X ОО X

3) Fx{x)

0 0

J i^j f{x, y)dyjdx = J (^J e~^ue~^vdvjdu = J 1 • e~^u du =

— oo —oo

= 1 — e ^x_i при x ^ 0, т. e.

 

Аналогично

[^U, пр

^.М-ЛМ^ВД»! '¹-⁰' приоо_{> =} |р

[0, при х < 0, [0,

I f> ~У гти и П

Аналогично, /у (у)

5) > 0, У < 1} = J e~^xdx J е~^у dy = -(е^-1 - 1) J е~^х dx =

0 0 о

1 — e при ж ^ 0, О, при х < 0. 1 - еГу, при у > 0, 0, при у < 0. (1 — e~x)f, при 0, при е-у, при у ^ 0, 0, при у < 0. оо 1

Fx

при х ^ 0, при я; < 0.

= (! -! ) (е-)^ 1-|-0, 63.

оо оо 4 4-х 4

dx = 1, О = q.

!. 1) J J f{x, y)dxdy = 1, т.е. J dx J С dy = 1, С J (4 - x)

о 0

, при x > 0, у > 0, x + у ^ 4;

Следовательно, /(ж, у) ~ < 8

I 0, в противном случае.

4-х

J f(x, y) dy- J= ®G(0, 4), /у(у) =

-oo 0

2) Мх) = 4-у

, 0 < у < 4; 3) P{0 < X < 1, 1 < Y < 3} = JJ f(x, y)dxdy =

 

D_x

1 л

= | J dx J dy = 0, 25 (см. рис. 68).

 

3. 1) С. в. X принимает значения 0, 1, 2. Очевидно, p\ = P{X = 0} — 0, 6 0, 6 — = 0, 36, p2 = 0, 4 • 0, 6 + 0, 6 • 0, 4 - 0, 48, p_z = 0, 4 ■ 0, 4 - 0, 16. Стало быть:

р	0, 36	0, 48	0, 16

 

з

(У^Рг ~ 1). Аналогично находим, что х=1

У
Р	0, 16	0, 48	0, 36

 

есть ряд распределения с. в. Y. 2) Возможные значения системы (X, У): (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2). Совместная таблица

распределения имеет вид:

X\Y
	0, 0576	0, 1728	0, 1296
	0, 0768	0, 2304	0, 1728
	0, 0256	0, 0768	0, 0576

 

так как р_п = Р{Х = О, У = 0} = 0, 4 • 0, 4 ■ 0, 6 ■ 0, 6 = 0, 16 • 0, 36 = 0, 0576, Р12 = Р{Х = О, У = 1} = 0, 36 • 0, 48 = 0, 1728, р₁₃ - Р{Х - О, У = 2} = = 0, 36 • 0, 36 = 0, 1296, p2i = Р{Х = 1, У = 0} = 0, 48 • 0, 16 = 0, 0768, Р22 = Р{Х = 1, У = 1} = 0, 48 • 0, 48 = 0, 2304, р₂₃ = Р{Х = 1, У = 2} = = 0, 48 • 0, 36 = 0, 1728, р₃1 = Р{Х — 2, У — 0} — 0, 16 • 0, 16 - 0, 0256, Р32 - Р{Х = 2, У - 1} = 0, 16 • 0, 48 - 0, 0768, р₃₃ - Р{Х = 2, У = 2} = = 0, 16-0, 36 = 0, 0576. 3) По таблице распределения, пользуясь равенством F(x> y) — ^^ Pijy находим значения функции распределения F(x, y):

Xi< X yi< y

X\Y	У < 0	0 < y < 1	1 < У < 2	У> 2
x < 0
0 < x < 1		0, 0576	0, 2304	0, 3600
1 < x < 2		0, 1344	0, 5376	0, 8400
ж > 2		0, 1600	0, 6400	1, 0000

 

3.7

1. Имеем

X				и	У
P	0, 33	0, 33	0, 34	P	0, 24	0, 28	0, 27	0, 21

 

Тогда тп_х = 1 ■ 0, 33 + 2 ■ 0, 33 + 3 • 0, 34 = 2, 01, т_у = 1 ■ 0, 24 + 2• 0, 28 + 3 • 0, 27 + + 4 • 0, 21 - 2, 45. Так как

Р{Х = 1, У = 1} = 0, 07 ф Р{Х = 1} • Р{У = 1} = 0, 33 • 0, 24 = 0, 0792,

то с. в. X и У — зависимы. Находим МХУ: МХУ = 1 • 0, 07 + 2 • 0, 04 + + 3-0, 11+4-0, 11+ 2-0, 08+4-0, 11+6-0, 06+8-0, 08+3-0, 09 +6-0, 13 + 9-0, 10 + + 12 • 0, 02 = 4, 71. Поэтому cov(Х, У) = 4, 71 - 2, 01 • 2, 45 = -0, 2145.

JJ f(x, y) dxdy ~ 1, поэтому

^{11 1} 4 ¹

a J dx J(1 — xy^)dy — a J dx ^y — | ^ — a J 2 dx ~ Aa = ^{a =}

i L

MX = ^J xdx J (1 ~xy³)dy =... = 0,

-l -l l l l

MY^ifdxJ _y{l-_xy*)dy = \ J dx(^-x^j

-l -l -l l l

-l

1 1

DX=\ J(x-0)²dx J(l-xy³)dy =...^±,

-l

значит, < j_x =

л/3

= 1 3 & л 4 5* 2

oo oo

DY -

J J {y-m_y)²f(x, y)dxdy = ± J dx Jy²(l~xy³) dy -...

— oo —oo

значит, a_v =

Уз

^хк = \ff ^хУ(^г ~ ^ХУ^Ъ) ^dxdy ~ ⁰ = ■ • ■ = ~ i^- -l -l

__ L

Следовательно, rxv ~ ~[—= —

Vs V3

l l

I. с J dx J(x + y) dy — 1. Отсюда с = 1. Находим плотность вероятность

/lM = J(х +у) +

о

/гЫ = + У) dx = ^ + yrrj у + i о

Так как /_х(х) ■ f₂(y) = + + Ф х + у = /(гс, у), то с. в. X

1 1 1

-1 -1

1 1

0 0

зависимы.

MX = J xdx J(х + у) dy = J х (х + dx =

MY = — 12'

 

11 144

DX

= J ~ 12) dx J{x +у) dy =

 

или

1 1

DX = J x²dx J(x + y)dy-^y =

 

0, 10 0, 25

144'

3.9

25 25

= % РЫУ2) = Щ Значит, M(X|y2) = 0 • + 1 ■ § =

1. Найдем условное распределение X: p(xi|yi) = P{X = 0|У = —1} =

= рыух) = Щ = Значит, М(Х|_У1) = 0 • щ + i. If = 1| = ₀, 6.

0, 15

p(zi\V2)

0, 40 40'40* — v-i^/ - ₄₀ 25 _ „..о „/„ \ _ 20... \ 15 о U/vl л _ 15

= |g « 0, 63. p(®i|y₃) = рЫуз) = Значит, Af(X|y₃) = Щ « 0, 43. Кривая регрессии X на у имеет вид, изображенный на рис. 69.

i+

 

0, 43

-1

Рис.

2. Как известно, для нормально распределенной с. в. (X, У) ее составляющая У также распределена по нормальному закону (формула (3.37)):

(У -ту)²

^{/2(y) =} rfe^e~ •

< Jy V 27Г

/ОФ) -

Имеем

/(g> y) ₌ 1 _с~2(1-г2)^(х2~^{2ГЗГ1/+у2)}. =

DY =

/2 (у) 27гл/1 - г² ' л/2тг

V2k -\fl - г²

т. е. условная плотность распределения f(x\y) есть плотность нормальн распределения с параметрами т = у г и сг = \/1 — г². Аналогично наход что

(х — уг

// \ (у~^хг)²

_f{y\_x) = 1Щ1 = ¹.

/lM v^Wl - г²

3.11 1. Так как

, х? [а, 6],

 

10, х£ [а, 6],

 

то

 

о

М = rb / = rb ■ - ^eita> = -

 

2. Так как р* = ^Q*^e, ^Q, /с = 0, 1, 2,..то

 

⁰⁰ А- л ⁰⁰ (_nJ-t\k

^(t) = £ j*9£ fil = £ iili. = _е- • e-^lt = е-*¹-" *.

к\ ^ к! к=0 fc-0

Тогда (ft(t) = е-^в(¹" ^е" )-(-а)-(-е" )-г, значит, MX = [-гУ(О)] - -t-(l-m = а, т. е. MX = а.

-1 0 оо 0

L = J j^tx • 0 dx + J e^itx{-2 x)dx + J e^itx • Odx = -2 J e^itxxdx

-oo -1 0 -1

₌ _₂ ( -1 • ±eH° ^ = " 2(0 " + 4(1 " = ^

\it Ui it si |-i J ^v it t² *

_ 2, 2e~^u ₌ - 2 + 2e~^

i² t² t²

Глава 4 4.1

У	-3	-1
p	0, 30	0, 45	0, 20	0, 05

У			V2			V5
р	0, 10	0, 20	0, 30	0, 25	0, 10	0, 05
У	Уз 2		ч/З 2
р	0, 3	0, 35	0, 35

б) в)

2.

 

 

У
V	0, 5	0, 5

Многоугольники распределения с. в. X и У изображены, соответственно, на рис. 70, 71.

Рис. 70

 

MY = 0 • 0, 5 +1 • 0, 5 = 0, 5; DY = [MY² - (МУ)²] = О² • 0, 5 +1² • 0, 5 - (0, 5)² = = 0, 5 - 0, 25 = 0, 25. Отсюда < тУ = s/Ш = _v^/p5 = 0, 5. 3. С. в. X имеет равномерное распределение, значит,

\о, xi[-2, 2].

Функция у =: с + 1 строго возрастает в (—оо, оо), обратная функция х = у - 1 = Vfo), У? [-1, 3]. По формуле р(у) = /(ф(у)) • \ф'(у)\ нахо­дим:

[0, у i [-1, 3],

т. е. У ~ R[-1, 3]. Находим МУ: МУ - J ^dy = 1 (или МУ = М(Х +1) =

-1

2 3

Рис. 71

= J(x + l)-±dx = l). DY = МУ²-(МУ)² = J^dy-1² = < тУ =

1 ——

4.По условию fx(x) — ____ е 2. а) Функция у = Заг имеет обратную

v 2 7г

^х= \j\ = ^Ы, = = • Поэтому

1 1 _!? /? (? (у) = • —j=e2V9, у^О.

V2? r Зд/Зу²

б) у = |х| = х < о' обратная функция для у = |х| есть

х\ = —у = ipi(у). На [0, оо) обратная функция есть х₂ = у ~ Ф2{у)- Стало быть,

9(У) = £ /«>, (y))W< (v)l = • 1 + • 1 = -j^e'T,

v27T Л/2ТГ у2тг

у? [0, оо).

5.а) По условию f(x) = е^-ж, ж ) 0 и Р(х) — 1 — е~^х, х ^ 0. < 3(у) = - Р{У < у} = Р{2Х-1 < у} = = ^{+ l}

у + 1

— 1-е 2, у ^ —1 (так как условие х ^ 0 переходит для у = 2а; - 1

__у±1 / 1 \

в условие у ^ -1). Следовательно, д{у) — G'{y) = -е 2 / — 1 _У±1

= 2^{е 2 П}Р^И У ^{> -1 = 0 П}Р^И У ^{< б}) ^Если У ^ ^т0 ^fe) =

= Р{У < 0} = 0 и ₅(у) = G'(y) = 0. При у > 0 имеем G(y) = Р{У < у} = = Р{Х² < у} = Р{|Х| < уу} = Р{-^у < X < у/у] = Р{0 < X < уу} = = Р{Х < ^у}-Р{Х < 0} = P(v1/)-P(0) = (1——(1—е°) = l-e^, у > 0. Тогда д(у) = G^f(y) = (1 - e^K - • е" ^, т. е.

¹ У> о,

< /(у) = { W

[0, у< 0.

ОО 0 ОО 00

Контроль: J 0(y)dy = l, J 0 • dx + J = - J e~^d(-y/y) =

—00 —00 о 0

= —e = — (0 ~ 1) = 1. (Иначе: при x G (0, 00) имеем x = ^/y = V'(y)-

Поэтому g(y) - /(^y) • (^/у)'_у = e" ^ • у > 0.)

4.2

1. Находим F_x+y(z). F{z)= Р{Х+ Y < z} = JJ {х + у) dxdy. F{z) = О

Dz

(х + у < г)

при при 0 < z ^ 1 (на рис. 72 область D_z заштрихована вертикаль­

ными линиями) имеем

 

x)2\

2 (Z ~ zx — x Л----------------- ~

z z—x

F[z) = j dx j (x + y)dy = у (

 

o" 3Z '

zx² x^[6]. (x-zf 2 3 6

при 1 < z ^ 2 (область D_z заштрихована горизонтальными линиями) имеем

z—l 1

J dxj{x +у) dy+ J dx J (яг + у) dy

0 0 2-1 о

г—1 1

= /(*₊! )d*₊/(

F(z) =

zx2 хг jx-z) 2 3 6

= (т ⁺ |) Г⁺¹¹ =h-z* + 3z²-l),

2 (z - x)' xz — x H------ r---- I dx =

2-1 О

 

Итак,

 

Г0» 3 '

F(z) =

0 < z < 1,

|(-z³ + 3z²-l), 1< Z< 2, U, z > 2.

 

Отсюда

0, z ^ 0, или z > 2,

f(z) = F'(z)

2z - z², 1 < 2 < 2.

У = z - х

 

5. F(z) = Р j-^r < zj = J {х + у) dxdy. F(z) — 0 при z < 0; при 0 <

D_z

у = ZX

Рис. 73

имеем

 

1 zx

_ z, z_ з^б-

о 0

F(z) = J dx J{x + y)dy При 1 < z < oo имеем

z xz

F(z) = J dx J{x + y)dy + J dx J{x + y)dy = 0 0 10

 

Следовательно,

 

ro, 3 ' 3

no = /(*) = 4

Z < 0, i + l, o< 2< i,

 

oo 1 oo

Контроль: J f{z) dz = J + §) dz+ j f + J dz = 1 (см. рис.

-ОО

Глава 5

5.5

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться:

Популярное:

1. Биофильтрационная гипотеза А. П. Лисицина
2. В качестве рабочих гипотез при разработке методики изучения мотивационных характеристик личности были избраны следующие.
3. Возм. нейронные механизмы обучения. Гипотезы о селект. и инструктив. механизмах процессов обучения (№22)
4. Возможные нейронные механизмы обучения. Гипотезы о селективных и инструктивных механизмах процессов обучения. (вторая часть вопроса была выше)
5. Вступление: Повтор и проверка применения.
6. Выбор и проверка разъединителей
7. Выбор теоретического закона распределения износов.
8. Гипотез в формировании индивидуального опыта
9. Гипотеза глобального изменения климата Земли
10. Гипотеза стабилизации численности населения Земли
11. Гипотезы о внеземной жизни и НЛО
12. Гипотезы о естественном происхождении религий