Функции двух случайных аргументов

—оо —оо

Дифференцируя полученное равенство по переменной г, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получаем выражение для плот­ности распределения с. в. Z = X + У:

fz(z)= J f{x, z-x)dx. (4.6)

-оо

Если с. в. X и У независимы, то, как известно (п. 3.4), f(x, у) = — fl(^x)f2(y)- Формула (4.6) примет вид

оо

fz(z) = fx₊Y(z)= j h(x)f₂(z-x)dx. (4.7)

—оо

Закон распределения суммы независимых с. в. называется компо­зицией или сверткой законов распределения слагаемых.

Плотность распределения с. в. Z можно записать в виде fx+y ~ = fx * /у> где * — знак свертки, а формулу (4.7) называют формулой свертки или формулой композиции двух распределений.

Записав Z в виде Z = У+Х, можно получить другое представление для fzi^z)y ^а именно

оо

fz{z) = J f(z~y, v)dy

—оо

и

оо

f_z{z)= J fi(z-y)f₂(y)dy

—оо

в случае независимости с. в. X и У.

Задача нахождения закона распределения с. в, вида Z = X — У, Z = X ' У и других решаются аналогично.

Пример 4.4. Пусть с. в. X ~ iV(0, 1), с. в. У ~ JV(0, 1). Найти закон распределения с. в. Z — X + У, считая X и У независимыми с. в.

О Используя формулу (4.7), получаем

ОО _Л, , 9 оо „

1 1 (² -^х) Л Г 2х² - 2гх + z²

—оо -оо

ОО §)^{2 +} т) 2 ⁰⁰ ч2

к! ^е------ ^s = к^еЛ / ^е~^{И) d} (*-1) =

2тг

—oo —oo

Ч/2\/2тг

/. ^N

/ e ^u du~ \fn — интеграл Пуассона

т. е.

Сумма независимых нормальных с. в. (с т — 0, а = 1) имеет нормаль­ное распределение (с т = 0, с = \/2). •

Пример 4.5. Совместное распределение с. в. X и Y задано плотностью распределения вероятностей

Я*,! /) = {о,

Найти плотность распределения вероятностей с. в. Z — X — Y.

О Найдем сначала функцию распределения F(z) с. в. Z, а затем — ее производную F'_z(z) - fz(z).

F_z(z) = P{Z < z} = P{X - Y < z) = fJiz + У) dxdy_t

где D_z — множество точек, координаты которых удовлетворяют нера­венству х — у < 2, т. е. у > x — z (они находятся выше прямой у — х — z), где z — произвольное число. Очевидно, если г ^ —1, то F(z) — 0; так как f{x, y) = 0 вне квадрата Область интегриро­

вания D_z при —1 < 2 < 0 изображена на рис. 48, при 0 < г ^ 1 — на рис. 49).

ltz 1 ^

F{z) = JJ{x + у) dxdy = j dx J {x +у) dy= J dx ^xy +

D_s 0 x-z 0

1+z

= J (X + ±-X²+xz~(^X~₂^Z^ ^jdx = 0

(x². 1_Д x³_|2, x² - \ 2 ⁺ 2 3 2 6 J 0 "

_ (1 -Yz)², _{1 + z} (1 + 2)³, z(\ + z)² x _гз ^ (3, + iy

При 0 < z ^ 1 имеем

z 1 11

F{z) = JJ(х + у) dxdy = J dx J{x + y)dy + J dx J (x + y)dy =

D_z 0 0 z x—z

-f i⁺i^dx(^xy+Y) l=

0 z

z 1

= J (x + i) dx + J ^x + | - x² + xz - ^ ^ da; =

о г

/х² x\ ^г, fx², x x³. „х^{2 11}

^ 2 2y o \2 2 3 2 6

_ г², z, 1 г², 1 z LzV z³ U^*)³ _п=-г² + 2г + 1

" г^г^г 2~^2 2 3 3^2 26 2

При z > 1 имеем

l l

= JJ(X + y) dxdy = J dx J{x + y)dy =

D, 0 0

Ж, X 2 2

Таким образом,

при z ^ — 1, при — 1 < г ^ 0,

, при 0 < z < 1, при 2 > 1.

О, при z ^ —1, z > 1, = /2(2) = ^ + 1, при - 1 < г ^ 0, 1 — z, при 0 < z ^ 1.

-1

J f(z) dz — J 0 dz + J [z + \)dz + J (l-z)dz + J 0 dz

-l о 1

(z + l)² 0 (1 ~z)² 1

= i-0-0+i = l. О 2 z

IsT] Пример 4.6. Независимые с. в. X и У распределены равномерно X ~ Л[0, 4], У ~ Л[0, 1]. Найти плотность распределения вероятностей с. в. Z = X + Y (рис. 50).

x+y — z x+y — z Рис. 50

Q Система с. в. (X, У) равномерно распределена в прямоугольнике ^/l(X) \_0| s*[0, 4], ^Ш) (О, у* [0, 1].

Так как с. в. X и У независимы, то /(ж, у) = f\(x) • fi(y) = ^ - 1 —

F_z(z)=P{X + Y < z}= JJ \dxdy = \s_Dz,

D_z

(x+y< z)

где Sd_z — площадь области D_z — части прямоугольника, лежащей ниже прямой х + у = z. Если z < 0, то F(z) = 0; если 0 < г < 1, то F(z) = ^ ■ JjZ² (так как Sd_z = ^ * г • z); если 1 < z ^ 4, то

F(z) = \ ■ • l) = - 1);

если 4 < 2г < 5, то

F(z) = i • (l • 4 - 1(5 - *)(S - z)) = |(8 - (5 - zf).

Итак,

z < 0, 2 > 5, 0 < г < 1,

1 < * < 4, -z), 4< z^5.

Контроль:

oo

j f{z)dz = J \zdz + f\dz + ± J (5 — z)dz = 1.

-oo 0 14

Плотность распределения fz{z) можно найти, используя формулу

оо

/М = J f\{x)-f₂{z-x)dx.

—оо

4 4

/(*) = J \f2(z-x)dx^± J f₂(z-x)dx.

о 0

Функция под знаком интеграла отлична от нуля лишь в случае

Г 0 < х < 4, \0 ^ z — ж ^ 1,

— 1 < яг z.

Решение системы зависит от значения z.

1. Если 2^0, система несовместна; отрезки [0, 4] и [z — l, z] не пересекаются, (см. рис. 51).

Следовательно, f₂(z — ж) = 0 и fx+y{z) = 0.

2. Если 0 < z ^ 1, система (4.8) эквивалентна неравенству 0 ^ х < z (см. рис. 52).

-- K/WVyj

z—1 z

О 4 ^х

Рис. 51

М////Л

z—1 Z

О 1 4

Рис. 52

Поэтому

z

fx+y{z) = \ Jldx = \

3. Если 1 < г ^ 4, система (4.8) эквивалентна неравенству z — 1 < ^ х < г (см. рис. 53).